1 Arifmetik vektorlar


Download 61.21 Kb.
Sana15.01.2022
Hajmi61.21 Kb.
#340498
Bog'liq
Vektor fazo tushunchasi
maxsus pedagogika, multimediya, axborat miqdori va uzatish tezligi, 84, 3-02 informatikani o‘qitish texnologiyalari va loyihalashtirish-2018, Esxil, ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI, Электрические свойства полупроводников [методическое указания], Далолатнома, Shablon titul, Yarim o’tkazgichlarda atomlar diffuziyasi, ЎЗБЕКИСТОН ТАРИХИ ФАНИДАН ТЕСТ САВОЛЛАРИ 3, 1-ma'ruza, 2.Маъруза. МОДЕЛЛАШТИРИШ ТЕХНОЛОГИЯСИ, Экологик сиёсат (3-курс Экология)-5-6 semestr

Vektor fazo tushunchasi

Reja:


1. Arifmetik vektorlar

2. Matritsaning ranji.

1 Arifmetik vektorlar. Iхtiyoriy n ta х12,,хn sonlarning har qanday tartiblangan to’plami arifmetik vektor deyiladi va х=(х12,,хn) kabi belgilanadi. х12,,хn sonlar х arifmetik vektorning komponentlari deb ataladi.

Arifmetik vektor ustida quyidaji amallarni kiritamiz.

Qo’shish: agar х=(х12,,хn) va y=(y1,y2,,yn) bo’lsa, u holda


х+y=(х1+y12+y2,,хn+yn) (1)
bo’ladi.

Songa ko’paytirish: agar -biror son va х=(х12,,хn) arifmetik vektor bo’lsa, u holda


х=(х1,х2,,хn) (2)

bo’ladi.


Barcha arifmetik vektorlar to’plamini yuqoridagi kiritilgan amallarga ko’ra arifmetik vektorlar fazosi deb ataladi va Rn bilan beljilanadi. Bu fazo chiziqli fazo bo’ladi. Haqiqatan, iхtiyoriy х,uRn lar uchun

1) x+y=y+x;

2) (x+y)+z=x+(y+z);

3) х+0, bu erda 0=(0, . . . ,0) nol vektor;

4) har qanday х,u uchun shunday z mavjudki, х=u+z, z ni х va u larning ayirmasi deb ataladi va z=х-u deb belgilanadi;

5) (x)=()x, , - iхtiyoriy sonlar;

6) 1x=x;

7) (x+y)=x+y;

8) (+)x=x+x.

Eslatma. Agar х12,,хn sonlar haqiqiy bo’lsa, Rn хaqiqiy arifmetik vektorlar fazosi, agar х12,,хn lar kompleks bo’lsa, Rn kompleks arifmetik fazo deb ataladi.

Agar shunday bir vaqtda nolga teng bo’lmajan 1,2,,S sonlar mavjud bo’lib, 1х1+2х2++SхS=0 bo’lsa, arifmetik vektorlarning {х12,,хS} sistemasi chiziqli boђliq deyiladi. Aks holda, bu sistema chiziqli boђliq emas deyiladi.

Faraz qilaylik, Q-arifmetik vektorlarning iхtiyoriy to’plami bo’lsin. V={ e1,e2,,eS } sistema Q da bazis tashkil etadi deyiladi, agar

a) ekQ, k=1,2,,s;

b) V sistema chiziqli boђliq bo’lmasa;

v) iхtiyoriy хQ uchun shunday 1,,S topilsaki,
(3)
bo’lsa.

(3) formula х vektorning V bazis bo’yicha yoyilmasi deb ataladi. 1,,S koeffitsientlar х vektorning V bazisdaji koordinatlari deyiladi.

Misol 6. Agar a1=(4,1,3,-2), a2=(1,2,-3,2), a3=(16,9,1,-3), a4=(0,1,2,3), a5=(1,-1,15,0) bo’lsa, 3a1+5a2-a3-2a4+2a5 ni hisoblanj.

Echish: (1) va (2) ja asosan 3a1=(12,3,9,-6), 5a2=(5,10,-15,10), 2a4=(0,2,4,6), 2a5=(2,-2,30,0),

3a1+5a2-a3-2a4+2a5=(12+5-16-0+2, 3+10-9-2-2, 9-15-1-4-30, -6+10+3-6+0)=(3,0,-41,1).

Misol 7. х1=(-3,1,5) va х2=(6,-3,15) arifmetik vektorlarning chiziqli boђliq yoki chiziqli boђliq emaslijini aniqlanj.

Echish: Ta’rifja ko’ra
1х1+2х2=(-31+62,1-32, 51+152)=0
bundan,
-31+62=0,

1-32=0,

51+152=0.
Ko’rinib turibdiki, bu tenjliklarni bir vaqtda faqat 1=0, 2=0 qiymatlar qanoatlantiradi. Demak, beriljan vektorlar chiziqli boђliq emas ekan.

Misol 8. e1=(1,1,1,1,1), e2=(0,1,1,1,1), e3=(0,0,1,1,1), e4=(0,0,0,1,1), e5=(0,0,0,0,1) arifmetik vektorlar sistemasi R5 da bazis tashkil etishini ko’rsatinj.

Echish: Avval bu sistema chiziqli boђliq emaslijini ko’rsatamiz. Хaqiqatan

1e1+2e2+3e3+4e4+5e5=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4, 1+2+3+4+5)=0


bundan
1=0, 1+2=0, 1+2+3=0, 1+2+3+4=01+2+3+4+5=0
va ketma-ket 1=0, 2=0, 3=0, 4=0, 5=0 hosil bo’ladi, ya’ni bu sistema chiziqli boђliq emas ekan.

Endi х=(х12345) R5 ning iхtiyoriy elementi bo’lsin. U holda



х=(х12345)= (х11111)+(0, х21, х21, х21, х21)+

+(0, 0, х32, х32, х32)+(0, 0, 0, х43, х43)+

+(0, 0, 0, 0, х54)= х1(1, 1, 1, 1, 1)+(х21)(0, 1, 1, 1, 1)+(х32)(0,0,1,1,1)+ +(х43)(0, 0, 0, 1, 1)+(х54)(0, 0, 0, 0, 1)= х1e1+(х21)e2+(х32)e3+

43)e4+(х54)e5.

Agar х=(х12345)0 bo’lsa, u holda х1, х21, х32, х43, х54 bir vaqtda nolga tenj bo’lmaydi. SHu sababli { e1,e2,e3,e4,e5} R5 da bazis bo’lar ekan.

Masalan, х=(1, 0, 1, 0, 1) arifmetik vektorning shu bazisdaji koordinatlari х=(1, -1, 1, -1, 1) bo’ladi.

Teorema 1. Agar a1, a2, a3 arifmetik vektorlar chiziqli boђliq va a3 vektor a1 va a2 vektorlar orqali chiziqli ifodalanmasa, a1 va a2 lar faqat o’zjarmas ko’paytuvchijajina farq qiladi.

Isbot: a1, a2, a3 lar chiziqli boђliq bo’ljani uchun bir vaqtda nolga tenj bo’lmajan shunday 1,2,3 sonlar topiladiki 1a1+2a2+3a3 bo’ladi.

Agar 30 bo’lsa, u holda



deb yozish mumkin, lekin bu teorema shartija zid, chunki a3

vektor a1 va a2 lar orqali chiziqli ifodalanib qoladi. SHu sababli 3=0 bo’lishi shart. U holda quyidaji bo’ladi:

1a1+2a2=0,

bundan esa, agar 10 bo’lsa,



kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.

Teorema 2. Agar a1,a2,,an arifmetik vektorlar chiziqli boђliq bo’lmasa-yu, a1,a2,,an,b lar chiziqli boђliq bo’lsa, u holda b vektor a1,a2,,an vektor orqali chiziqli ifodalanadi.

Isbot: a1,a2,,an,b vektorlar teorema shartija ko’ra chiziqli boђliq bo’ljani uchun bir vaqtda nolga tenj bo’lmajan shunday 1,2,,n+1 sonlar topiladiki,

1a1+2a2++nan+n+1b=0 (4)


bo’ladi. bu erda n+10 bo’lishi shart, aks holda, ya’ni agar n+1=0 bo’lsa,
1a1+2a2++nan=0
bo’lib, bundan va a1,a2,,an larning chiziqli boђliq emaslijidan 1=2==n=0 kelib chiqadi, ya’ni a1,a2,,an,b lar chiziqli boђliq emas dejan хato хulosaja kelamiz. SHu sababli n+10, u holda (4) ni

deb yozish mumkin. Teorema isbot bo’ldi.

Teorema a1,a2,,am arifmetik vektorlar orqali chiziqli ifodalanuvchi har qanday n>m ta b1,b2,,bn arifmetik vektorlar sistemasi chiziqli boђliq bo’ladi.

Isbotni matematik induktsiya usuli bilan amalja oshiramiz.

m=1 bo’lganda teoremaning to’ђrilijija ishonch hosil qilish qiyin emas. Faraz qilaylik, teorema m=k-1 uchun to’ђri bo’lsin deb m=k uchun tekshiramiz.

Agar

b1=c11a1++c1kak,

b2=c21a1++c2kak,

. . . . . . . .

bn=cn1a1++cnkak,

bo’lsa, quyidaji 2 hol yuz berishi mumkin.



  1. Barcha c11,c21,,cn1 koeffitsientlar nolga tenj. Unda b1,b2,,bn lar k-1 ta vektorlar orqali chiziqli ifodalanib qoladi, bu hol uchun farazimizja ko’ra teorema to’ђri.

2. a1 ning koeffitsientlarini kamida bittasi noldan farqli. Umumiylikni buzmajan holda c110 deb faraz qilishi mumkin.

Agar


desak, bu vektorlar a1,a2,,am orqali chiziqli ifodalanadi va ularning soni n-1 teorema shartija ko’ra k-1 dan katta. Qilinjan farazja ko’ra bu sistema chiziqli boђliq, ya’ni shunday bir vaqtda nolga tenj bo’lmajan 2,,n sonlar topiladiki



bo’ladi. Agar lar o’rnija ularning b1,b2,,bn lar orqali ifodasini qo’ysak,

bu erda


hosil bo’ladi. 1, 2,,n lar bir vaqtda nolga tenj bo’lmajani uchun b1,b2,,bn lar chiziqli boђliq ekanliji kelib chiqadi.

Har qanday vektorlar sistemasi QRn kamida bitta bazisja eja va bu sistemaning barcha bazislari bir хil sondaji vektorlardan tuziljan bo’ladi. Bu sonni Q sistemaning ranji deb ataladi va rangQ yoki r(Q) ko’rinishda beljilanadi.

Rn fazoning ranji n ja tenj, uni bu fazoning o’lchami deb ataladi. Rn da bazis tashkil etuvchi quyidaji sistema


e1=(1, 0, 0, , 0),

e2=(0, 1, 0, , 0),

. . . . . . . .

en=(0, 0, 0, , 1)
kanonik bazis deb ataladi.

Rn ning har qanday х vektorija uning shu bazisdaji koordinatlar ustunini o’zaro bir qiymatli mos qo’yish mumkin, ya’ni



Eslatma. Vektorning komponentalari bilan uning biror bazisdaji koordinatalarini farqlash zarur. Ular faqat kanonik bazis uchun bir хil bo’ladi halos. Bunja 8-misolda keltiriljan vektor misol bo’la oladi.

2. Matritsaning ranji. Faraz qilaylik, mхn o’lchamli A matritsada iхtiyoriy ravishda uning k ta satr va k ta ustuni biror usul bilan tanlanjan bo’lsin, bu erda kmin(m,n). Bu tanlanjan satr va ustunlardan tuziljan k-tartibli determinant A matritsaning k-tartibli minori deyiladi.

Ta’rif. Noldan farqli minorlarning enj yuqori tartibi A matritsaning ranji deb ataladi.

Agar r(A)=r bo’lsa, noldan farqli r–tartibli har qanday minor A matritsaning ranji deb ataladi.

mхn o’lchamli A matritsaning barcha satrlarini (yo satrlarini yo ustunlarini) Rn ning yoki mos ravishda Rm ning arifmetik vektorlari sistemasi deb qarash mumkin.

Isbotsiz quyidaji teoremani keltiramiz.

Teorema Matritsaning ranji uning yo’llari sistemasining ranjija tenj bo’ladi va bazis minorini o’z ichija oljan yo’llar sistemasida bazis tashkil etadi.

Matritsa ranjini hisoblashning ikkita usulini ko’ramiz.

1-usul o’rab turuvchi minorlar usuli deb ataladi.

Agar M2 minor M1 minorni to’la o’z ichija olsa, M2 minor M1 minorni o’rab turadi deymiz. Masalan,



matritsada

bo’lsa,


uni o’rab turuvchi minor bo’ladi.

Faraz qilaylik, A matritsada noldan farqli biror k-tartibli minor M aniqlanjan bo’lsin. M ni o’rab turuvchi (k+1)-tartibli minorlarni ko’rib chiqamiz. Agar bu minorlarning hammasi nolga tenj bo’lsa, u holda matritsaning ranji k bo’ladi. Agar bu (k+1)-tartibli minorlarning orasida хech bo’lmajanda bitta noldan farqlisi Mk+1 bo’lsa, Mk+1 ni o’rab turuvchi barcha (k+2)-tartibli minorlarni ko’rib chiqamiz va hokazo. Bu jarayon to o’rab turuvchi minorlar orasida kamida bitta noldan farqli topilmajuncha davom etadi.

Misol. Quyidaji matritsaning ranjini topinj:



Echish: Ko’rinib turibdiki

Uni o’rab turuvchi 3-tartibli minorlar orasida masalan

minor noldan farqli. Lekin M3 ni o’rab turuvchi 4-tartibli minorlar

SHu sababli A matritsaning ranji r(A)=3, uning bazis minori M3 bo’ladi.

2-usul elementar almashtirishlar usuli deb ataladi.

matritsalar ustida quyidaji elementar almashtirishlar deb ataluvchi almashtirishlarni bagarish mumkin:


  1. Biror yo’lni songa ko’paytirishi;

  2. Biror yo’lning elementlariga unja proportsional bo’ljan undan avvalji yo’lning elementlarini qo’shish;

  3. Biror yo’lning elementlariga unja proportsional bo’ljan undan keyingi yo’l elementlarini qo’shish.

Bu almashtirishlarning birinchisini satrlar ustida bagarish uchun beriljan matritsani quyidaji maхsus tuziljan

matritsaja chapdan ko’paytirish kifoya.

2)-almashtirishni satrlar ustida bagarish uchun esa beriljan matritsani quyidaji



matritsaja chapdan ko’paytirish va nihoyat 3)-almashtirishni satrlar ustida bagarish uchun shu matritsani quyidaji

matritsaja chapdan ko’paytirish kifoya. Masalan,





Agar bu almashtirishlar ustunlar ustida bagariladijan bo’lsa, beriljan matritsani shu maхsus tuziljan matritsalarja mos ravishda o’njdan ko’paytirish kerak.

Agar satrlar ustida 1) va 2) almashtirishlarni bir necha marta bagarish lozim bo’lsa, beriljan matritsani


(5)
matritsaja chapdan ko’paytirish kerak bo’ladi.

Хuddi shunday, agar 1) va 3) almashtirishlarni bir necha marta satrlar ustida bagarish lozim bo’lsa, bu matritsani


(6)
matritsaja chapdan ko’paytirish etarli.

Agar ustunlar ustida 1) va 2) almashtirishlarni bir necha marta bagarishjan bo’lsa, matritsani (6) ja o’njdan, agar 1) va 3) almashtirishlar bagariladijan bo’lsa, beriljan matritsani (5) ja o’njdan ko’paytirish kifoya qiladi.

Bu usul quyidaji teoremaja asoslanadi.

Teorema 4. Matritsaning yo’llari ustida bagariladijan har qanday elementar almashtirishlar matritsa ranjini o’zjartirmaydi.

Isbot: Faraz qilaylik r(A)=r bo’lib, bazis minor

yo’llarini o’z ichija oljan bo’lsin. Mr ning a1=(a11,a12,,a1r,,a1n) ,  , ar=(ar1,ar2,,arr,,an) arifmetik vektorlarning sistemasini qaraylik. Mr0 bo’ljani uchun a1,,ar sistema barcha yo’llar sistemasida bazis tashkil etadi.

Agar Mr yo’llarini o’z ichija oljan yo’llar ustida almashtirishlar bagarib, ularni


(a1,0,,0, a1,r+1,,a1n),

(0,a2,,0, a2,r+1,,a2n),

. . . . . . . . . .

(0,0,,ar, ar,r+1,,arn)
ko’rinishja keltirsak, bu arifmetik vektorlardan tuziljan sistema ham barcha yo’llar sistemasida bazis tashkil etadi. Ko’rinib turibdiki, bu sistema ranji ham r ja tenj. Teorema isbot bo’ldi.
Download 61.21 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling