1. Funksiyalarning ortogonal va normal sistemalari Berilgan funksiyaning ortogonal sistema bo`yicha Fure qatori


Download 371.19 Kb.
bet1/5
Sana14.02.2022
Hajmi371.19 Kb.
#576756
  1   2   3   4   5
Bog'liq
Garmonik analiz Ismoilov Zufarjon
Garmonik analiz Ismoilov Zufarjon 2, 1-mavzu, ozbetinshe psixol, 2-mavzu, 3-mavzu, hisobot, boshliqqa-tushgan-oquvchilar-bilan-ishlash-hujjatlari, Zohid, 2-ma ruza shartli ehtimol. Hodisalarning bog liqsizligi. Ehtimol, 2634 15.12.2014, Хисобот Бегзод оргинал 6.04.2022, Ajiniyoz nomidagi Nukus Davlat, услубий курс иши, услубий курс иши

Funksiyalarning ortogonal sistemalari va berilgan funksiyaning ortogonal sistema bo`yicha Fure qatori.

Reja:
1. Funksiyalarning ortogonal va normal sistemalari
2. Berilgan funksiyaning ortogonal sistema bo`yicha Fure qatori
3. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi
4. O`rtacha kvadratik chetlanish va uning eng kichik qiymatiga oid masala
5.Xulosa
6.Foydalanilgan adabiyotlar

Funksiyalarning ortogonal va normal sistemalari


1º. Ta`rif. Agar f(x) va g(x) funksiyalar uchun
= 0 (3.1)
bo`lsa, u holda bu funksiyalar [a, b] da ortogonal deyiladi.
Misollar. 1) f(x) = 2x va g(x) = x – 1 funksiyalar [0,1] kesmada ortogonaldir. Haqiqatan, = = = - | = 0
2) f(x) = sin(m+ )x, g(x) = sin(n + )x funksiyalar [0,π] kesmada ortogonaldir, bu yerda m,n (m≠n) – ixtiyoriy natural sonlar.
Darhaqiqat, = = = = o
3) f(x)=x va g(x)= (5 -3x) funksiyalar [-1, 1] da ortogonaldir.
Tekshirish.
= = ( |= (
2º. Ta`rif. Agar
φ0(x), φ1(x), φ2(x),… (3.2)
funksiyalar sistemasining istalgan ikkita φn(x), φm(x) funksiyasi uchun
= (3.3)
bo`lsa, u holda (3.2) Sistema [a,b] da ortogonal deyiladi.
Ravshanki, (3.3) tenglik berilgan sistema istalgan ikkita funksiyaning o`zaro orthogonal bo`lishi shartidir.
Misollar. 1) 1, cosx, cos2x, …,cosnx,… Sistema [0,π] da ortogonaldir.
Tekshirish. m≠n uchun
= = o; = > 0.
2) sinx, sin3x,…,sin(2n+1)x,…sistema [0, ] da ortogonaldir.
Tekshirish. m≠n (m=0,1,2,…; n= 0,1,2,…) bo`lganda
= = o; = > 0.
3) Juda katta nazariy va tatbiqiy ahamiyatga ega bo`lgan Lejandr1 polinomlari deb ataluvchi
Pn(x) = , n = 0, 1,… (3.4)
funksiyalar [-1, 1] da orthogonal sistemadir , chunki istalgan n va m (m, n= 0, 1, …) uchun
(3.4ʹ)
Darhaqiqat, (3.4ʹ) ni bo`laklab integrallasak,
= =

bo`ladi. Istalgan m va k= 0, 1, 2,…(m-1) lar uchun hosila x = ± 1 da nolga teng bo`lgani tufayli
- = - = .
Agar bo`laklab integrallash qoidasini ketma-ket m marta tatbiq etsak, quyidagi tenglikka kelamiz:
- . (3.4ʹʹ)
x = ± 1 da = o bo`lib, m > n uchun = 0 bo`lgani tufayli o`ng tomondagi kata qavslar ichidagi ifoda nolga tengdir. Agar m= n bo`lsa, (3.4ʹʹ) tenglik quyidagicha yoziladi:
= = 2 > 0.
Demak, (3.4ʹ) o`rinlidir. Agar m < n bo`lsa, u holda yuqoridagi mulohaza va hisoblashlarni n ga nisbatan o`tkazamiz. Shunday qilib, (3.4ʹ) tenglik ixtiyoroy m va n uchun o`rinli ekan.
Agar (3.2) Sistema [a, b] da ortogonal bo`lsa, u holda sistema ham o`sha kesmada ortogonal bo`ladi.
Haqiqatan,
= =
3º. Ta`rif. Agar p(x) funksiya [a, b] da musbat va uzluksiz bo`lib,
= (3.5)
bo`lsa, u holda (3.2) Sistema [a, b] da p(x) vaznli ortogonal deyiladi.
Misol. Ushbu
= n= 0, 1, 2, …
ko`phadlar [-1, 1] da p(x) = vaznli ortogonal ekani ko`rsatilsin.
Ixtiyoriy m, n uchun
=
ekanini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham, sodda hisoblashlar ko`rsatadiki, m bo`lganda
I = =
= - = = = ⃒ = = 0
m= n bo`lganda esa

Demak, { }, n = 0,1,2,… sistema [-1, 1] da P(x)= vaznli ortogonal ekan.
4º. Ta`rif. Agar (3.2) funksiyalar sistemasining istalgan n = 0, 1, 2, 3, …hadi uchun
= 1 (3.6)
bo`lsa, u holda bu Sistema normallangan deyiladi. Agar o`sha { }sistemaning istalgan , n = 0, 1, 2, … hadi va [a, b] da musbat uzluksiz p(x) funksiya uchun
= 1 bo`lsa, u holda bu sistema [a, b] da p(x) vaznli normallangan sistema deyiladi.
Quyida biz istalgan ortogonal sistemani normallash mumkinligini ko`rsatamiz. (3.2) sistema [a, b] da ortogonal bo`lsin. Agar bu ssistema hadlarini mos ravishda o`zgarmas ≠ 0 sonlarga ko`paytirsak, undan undan hosil bo`lgan
, , … (3.7)
sistema ham [a, b] da ortogonal va
= > 0, n = 0, 1, 2, …
bo`ladi. Bunda = yoki = ,
n = 0, 1, … deb olsak, u holda (3.7) Sistema uchun (3.6) o`rinli, ya`ni (3.7) Sistema normallangan bo`ladi.
Misollar. 1) 1- bobda
, , , , … , , … systema [0, 2] da normallangan sistema ekanini ko`rgan edik;
2) yuqorida ushbu
= , n = 0, 1, 2 … (3.8)
Lejandr polinomlari [-1, 1] da ortogonal ekanini ko`rdik. Endi bu Sistema uchun tegishli {
= dx =
ni hisoblaymiz. Agar tenglikning chap tomonidagi integralni ushbu
=
ko`rinishida yozib, so`ngra n marta ketma-ket bo`laklab integrallasak, (3.4) ga asosan
m = n uchun
= 2 dx
bo`ladi. Agar bu integralda x = sint almashtirish bajarilsa, Vallis formulasiga ko`ra
dx = =
bo`ladi yoki
= = = .
Demak,
= .
Shunday qilib, (3.8) sistema hadlarini mos ravishda
=
larga ko`paytirsak, normallangan sistema hosil bo`ladi. Yuqorida kiritilgan sonlar funksiyalarning mos normallovchi ko`paytuvchisi deyiladi. Ushbu
= , n = 0, 1, 2, …
son esa funksiyaning normasi deyiladi.
Ta`rif. [a, b] da ortogonal va normallangan { n = 0, 1, 2, … sistema o`sha kesmada ortonormal deyiladi.

Download 371.19 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling