1-laboratoriya mashg’uloti. Funksiyalarni interpolyatsiyalash. Lanranj interpolyatsion formulasi Reja
Download 0.52 Mb. Pdf ko'rish
|
1-lab. Funksiyalarni interpolyatsiyalash. Lanranj interpolyatsion formulasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- Funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasining qo’yilishi
- Bu ko’phad Lagranj interpolyasion formulasi deyiladi
- Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
|
1-laboratoriya mashg’uloti. Funksiyalarni interpolyatsiyalash. Lanranj interpolyatsion formulasi Reja: 1. Funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasining qo’yilishi 2. Lagranj interpolyatsion formulasi. 3. Namunaviy misollar 4. Mustaqil yechish uchun topshiriqlar.
Aksariyat hisoblash metodlari, masalaning qo’yilishida qatnashadigan, funksiyalarni unga biror muayyan ma'noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo’lgan funksiyalar bilan almashtirish g’oyasiga asoslangan.
Ushbu §-da funksiyalarni yaqinlashtirish masalasining eng sodda va juda keng qo’llaniladigan qismi-funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasi qaraladi. Interpolyatsiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik
a,
segmentda funksiya berilgan yoki hech bo’lmaganda uning ) ( ..., ) ( ), ( 1 0 n x f j x f x f
qiymatlari ma'lum bo’lsin. Shu oraliqda aniqlangan va hisoblash uchun qulay bo’lgan qandaydir funksiyalar ) (x P sinfini, masalan, darajali ko’phadlar sinfini, olamiz.
Berilgan ) (x f y funksiyani
a, segmentda interpolyatsiyalash masalasi deb ) (x f funksiyani berilgan sinfning shunday ) (x P funksiyasi bilan taqribiy ravishda ) (
( x P x f almashtirishidan iboratki ) (x P -berilgan n x x x ...,
, , 1 0 nuqtalarda ) (x f bilan
bir xil qiymatlarni qabul qilsin. ) , 0 ( ). ( ) ( n i x f x P i i
Bu yerda ko’rsatilgan n x x x ...,
, , 1 0 nuqtalar interpolyatsiya tugunlari yoki tugunlar deyiladi, ) (x P esa interpolyatsiyalovchi funksiya deyiladi. Agar
(x P sinfi
sifatida darajali ko’phadlar olinsa, u holda interpolyatsiyalash algebraik yoki parabolik deyiladi.
Algebraik interpolyatsiyalash apparati hisoblash matematikasining ko’p sohalarida qo’llaniladi, chunonchi: differensiallash va integrallashda, differensial va integral tenglamalarni yechishda, funksiya ekstrimumini topishda hamda funksiya jadvalini tuzishda, Teylor yoyilmasi klassik analizda qay darajada ahamiyatga ega bo’lsa algebraik interpolyatsiyalash ham hisoblash matematikasida shunday ahamiyatga egadir.
Ayrim hollarda interpolyatsiyalashning boshqa ko’rinishlarini qo’llash maqsadga muvofiqdir. Masalan, ) (x f - davriy funksiya bo’lsa, u holda
(x P sinfi
sifatida trigonometrik funksiyalar sinfi olinadi; agar interpolyatsiyalaydigan funksiya berilgan nuqtalarda cheksizga aylanadigan bo’lsa, u holda
(x P sinfi sifatida ratsional funksiyalar sinfini olish ma'quldir.
Biz asosan algebraik interpolyatsiyalash bilan shu g’ullanamiz. Masalaning qo’yilishi quyidagilardir. Darajasi n - dan yuqori bo’lmagan shunday ko’phad quriladiki u berilgan ) 1 (
ta
...,
, , 1 0 nuqtalarda ) (
), ( ), ( 1 0 n x f x f x f
qiymatlarni qabul qilsin. Bu masalani geometrik ta'riflash ham mumkin. Darajasi n - dan ortmaydigan shunday ) (x P ko’phad quriladiki uning grafigi berilgan ) 1
n ta М
к
) , 0 ( ), ( , ( n k x f x M k k k nuqtalardan o’tsin. Demak
m C koeffitsientlarni shunday aniqlash kerakki n n x C x C x C C x P ... ) ( 2 2 1 0 (1) ko’phad uchun ushbu ) ..., , 1 , 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( n k x f x P k k tengliklar bajarilsin. Bu tengliklarni ochib yozsak, m C -larga nisbati ) 1
n nomalumli ) 1
n ta tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:
) ( ... ) ( ... ) ( ... 2 2 1 0 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 2 0 2 0 1 0
n n n n n n n n n x f x C x C x C C x f x C x C x C C x f x C x C x C C (3) Bu sistemaning determinanti Vandermond determinantidir va u ) ...,
, , ( 1 0
x x x N . Bilan birgalikda. Masala mazmunidan ko’rinadiki nuqtalar bir-biridan farqli, demak bu determinant noldan farqlidir. Shuning uchun ham (3) sistema va shu bilan birga qo’yilgan interpolyatsiya masalasi yagona yechimga ega. Bu sistemani yechib n C -
larni topib (1)-ga qo’ysak ) (x P ko’phad aniqlanadi. Biz ) (x P - ning oshkor ko’rinishini topish uchun boshqacha yo’l topamiz, avvalo fundamental ko’phadlar deb ataluvchi ) ( , i j n x Q -larni, ya’ni
j i j i x Q h i i j n , 1 , 0 ) ( , Kroneker savoli Shartlarni qanoatlantiradigan n - chi darajali ko’phadlarni quramiz, u holda
n j j n j n x Q x f x L 0 , ) ( ) ( ) ( (4) izlanayotgan ko’phad bo’ladi, haqiqatdan ham da j i x f x f x Q x f x L n j n j i j i j i j n j i n 0 0 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
va ikkinchi tomondan ) (x L n
- darajali ko’phaddir.
Endi ) ( , x Q j n - ning oshkor ko’rinishini topamiz, j i bo’lgandа 0 ) ( ,
j n x Q
Shuning uchun ham ) ( , x Q j n ko'phad j i bo’lgandaа i x x - ga bo’linadi. Shunday qilib n -darajali ko’phadning n - ta bo’linuvchilari bizga ma'lum, Bu yerda ) ( ) ( , i j i j n x x C x Q kelib chiqadi. Noma'lum ko’paytiruvchi S-ni esa shartdan topamiz. ) ( 1 1 ) ( ) ( , i j j i i j j i j j n x x C x x C x Q
Demak, i j i j i j j n x x x x x Q ) ( , bu ifodani (4)-ga qo’yib, kerakli ko’phadni aniqlaymiz:
j i j j i j n x x x x x f x L 0 1 ) ( ) ( (5)
Bu formulaning xususiy hollarini quraylik 1
bo’lganda Lagranj ko’phadi ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq formulasini beradi. ) (
( ) ( 1 1 0 0 0 0 1 1 1 x f x x x x x f x x x x x L
Agar 2 n bo'lsa. u vaqtda kvadratik interpolyatsion ko’phadga ega bo'lamiz, bu ko’phad uchta nuqtadan o'tuvchi va vertikal o'qqa ega bo'lgan parabolani aniqlaydi.
kvadratik ko’phad quring 5 ) ( , 2 ) ( , 1 ) ( ; 2 , 1 , 0 2 1 0 1 0
f x f x f L x x i
) ( ), )( ( ), )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ), )( ( ), )( ( ) ( 2 1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 1 0 2 1 2
f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x L
1 5 ) 1 2 )( 0 2 ( ) 1 )( 0 ( 2 ) 2 1 )( 0 1 ( ) 2 )( 0 ( ) 2 0 )( 1 0 ( ) 2 )( 1 ( ) ( 2 2 x x x x x x x x L
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar Lagranj interpolyatsion ko‘phadini ishlatib argumentning berilgan qiymatida funksiya qiymatini taqriban toping.
Download 0.52 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|