1-ma’ruza ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar. Determinantning asosiy xossalari. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar
Download 261.21 Kb. Pdf ko'rish
|
1-MARUZA
- Bu sahifa navigatsiya:
- Determinantlarni hisoblash
- Ma’vzu yuzasidan savollar
|
1-MA’RUZA Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar. Determinantning asosiy xossalari. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar.
1. Ikkinchi tartibli determinantlar. 2. Uchinchi tartibli determinantlar. 3. Determinantning asosiy xossalari. 4. Minor va algebraik to’ldiruvchilar. 5. Yuqori tartibli determinantlar.
Matematikaning qator masalalarini yechishda ma’lum xossalarga ega bo’lgan ifodalardan foydalaniladi. Bunday maxsus ifodalardan biri determinantlardir.
Aytaylik, 4 ta , , , a b c d haqiqiy sonlar berilgan bo’lsin. Ushbu ad bc ayirma (son)ni berilgan sonlarni yo’l va ustun ko’rinishida joylashtirib, quyidagicha a b c d
ifodalaymiz. Demak, . a b ad bc c d
(1) (1) ifoda 2-tartibli determinant deyiladi. Bunda , , ,
- determinantning elementlari, ,
va
, c d sonlar mos ravishda determinantning birinchi va ikkinchi yo’llari, ,
va
, b d sonlar determinantining mos ravishda birinchi va ikkinchi ustunlari, ,
sonlar determinantning bosh diagonali, ,
sonlar determinantning yordamchi diagonali deyiladi.
Odatda determinantning elementlarini ikkita indeks qo’yilgan harflar bilan belgilanadi. Bunda birinchi indeks yo’lni, ikkinchisi esa ustunni bildiradi. Masalan, 21
son determinantning ikkinchi yo’l birinchi ustunida turgan element bo’ladi. Ikkinchi tartibli determinant ta’rifiga ko’ra 2 2 3 5 3 2 5 7 6 35
41, 7 2 sin cos
sin sin
cos cos
sin cos
1 cos
sin x x x x x x x x x x
bo’ladi. Endi ikkinchi tartibli determinant 11 12 21 22 a a a a
ning asosiy xossalarini keltiramiz: 1) Determinant yo’li ustuni bilan almashtirilsa, shuningdek ustunini yo’li bilan almashtirilsa, uning qiymati o’zgarmaydi. Bu xossaning isboti determinant ta’rifidan kelib chiqadi. 2) Determinantning yo’lini o’zaro almashtirilsa, uning ishorasi o’zgaradi: 11 12 21 22 21 22 11 12 a a a a a a a a
. ◄Ravshanki,
12 21 22 11 22 12 21 12 21 11 22 21 22 11 12 a a a a a a a a a a a a a a a a .► 3) Determinantning biror yo’lida turgan barcha elementlarni biror o’zgarmas k songa ko’paytirilsa, determinantning qiymati ham k ga ko’payadi: 11 12 11 12 21 22 21 22 ka ka a a k a a a a
◄Haqiqatdan ham, 11 12 11 12 11 22
12 21 11 22 12 21 21 22 21 22 ka ka a a ka a ka a k a a a a k a a a a . bo’ladi. ► 4) Determinantning bir yo’lidagi elementlari ikkinchi yo’lidagi elementlariga proporsional bo’lsa, determinant 0 ga teng bo’ladi: 11 12 11 12 0 a a ka ka
◄Bu tenglik determinant ta’rifidan kelib chiqadi. ► 5) Determinantning bir yo’lidagi elementlarni biror songa ko’paytirib, ikkinchi yo’lidagi mos elementlarga qo’shilsa, determinantning qiymati o’zgarmaydi: 11 21 12 22 11 12 21 22 21 22
ka a ka a a a a a a . ◄Determinant ta’rifidan foydalanib topamiz: 11 21 12 22 22 11 21 21 12 22 21 22 a ka a ka a a ka a a ka a a
11 12 11 22 22 21 21 12 21 22 11 22
21 12 21 22 a a a a ka a a a ka a a a a a a a .► Endi uchinchi tartibli determinant tushunchasini keltiramiz. Aytaylik, 9 ta 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , , , , , , , , a а а а а а а а а sonlar berilgan bo’lsin. Bu sonlarni uchta yo’l, uchta ustun tarzida joylashtirib yozilishidan hosil bo’lgan ushbu
11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a
ifoda uchinchi tartibli determinant deyiladi. Uchinchi tartibli determinant son bo’lib, uning qiymati 22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 32 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a ga teng bo’ladi. Demak, 11 12
22 23 21 23 21 22 21 22 23 11 12 13 32 33 32 33 31 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a . (2)
Masalan, ushbu 1 2 3 2 3 4 3 4 5 d
uchinchi tartibli determinant ta’rifiga binoan
3 4 2 4 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 1
0 4 5 3 5 3 4 d
ga teng bo’ladi.
Uchinchi tartibli determinantlarda ham determinant elementlari, yo’llari, ustunlari, bosh va yordamchi diagonallari tushunchalari xuddi ikkinchi tartibli determinantlardagi kabi kiritiladi. Shuningdek, uchinchi tartibli determinant ham, ikkinchi tartibli determinant singari xossalarga ega bo’ladi.
Faraz qilaylik, biror 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a
(3) uchinchi tartibli determinant berilgan bo’lsin. Bu determinantning biror 1, 2,3; 1, 2,3
ik a i k elementini olib, shu element joylashgan yo’lni hamda ustunni o’chiramiz. Ravshanki, qolgan elementlari ikkinchi tartibli determinantni hosil qiladi. Bu determinantga
elementning minori deyiladi va u ik M kabi belgilanadi. Masalan, (3) determinantning 31
element turgan yo’lni hamda ustunni o’chirish 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a
natijasida ikkinchi tartibli ushbu 12 13 31 22 23 a a M a a
determinant hosil bo’ladi. Bu (4) determinantning 31
elementi minori bo’ladi. Ravshanki, (3) determinant 9 ta minorga ega. Ushbu
1 i k ik M
miqdor (3) determinant ik a elementining algebraik to’ldiruvchisi deyiladi. U ik А orqali
belgilanadi. Demak,
1 i k ik ik A M . Masalan, 2 0 3 1 2 0 3 0 1 determinantning 13 3
elementining algebraik to’ldiruvchisi
1 3 13 1 2 1 1 1 0 2 3 6 3 0 A
bo’ladi. 1-Teorema..Determinantning biror yo’lida joylashgan barcha elementlarning ularga mos algebraik to’ldiruvchilari bilan ko’paytmasidan tashkil topgan yig’indi shu determinantning qiymatiga teng bo’ladi. ◄Bu teoremani 11 12
21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a
determinantning birinchi yo’lida joylashgan 11 12 13 , ,
a a elementlaridan foydalanib isbotlaymiz.
Ravshanki, bu 11 12 13 , ,
a a elementlarning algebraik to’ldiruvchilari 1 1
22 23 11 11 32 33 1 1 , a a A M a a
1 2 21 23 12 12 31 33 1 , a a A M a a
1 3 21 22 13 13 31 32 1 1 , a a A M a a
bo’ladi. Unda 22 23 21 23 21 22 11 11 12 12 13 13 11 12 13 32 33 32 33 31 32 a a a a a a a A a A a A a a a a a a a a a
bo’lib, bu tenglikning o’ng tomonidagi ifoda (3) ga ko’ra uchinchi tartibli determinant teng ekanini topamiz. Demak, 11 12 13 22 23 21 23 21 22 21 22 23 11 12 13 32 33 32 33 31 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a . ►
Eslatma. Biz yuqorida ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar bilan tanishdik va ularning xossalarini bayon etdik. Xuddi shunga o’xshash n
n
11 12
21 22 2 1 2 ... ... ...
... ...
... ...
n n n n nn a a a a a a a a a determinant tushunchasi kiritiladi va ularning xossalari o’rganiladi.
Ma’lumki, ikkinchi tartibli determinant, ta’rifga ko’ra 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a a a bo’ladi. Uchinchi tartibli determinant, ta’rifga ko’ra 11 12 13 22 23 21 23 21 22 21 22 23 11 12 13 32 33 32 33 31 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
bo’ladi. Bu tenglikda qatnashgan ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblab topamiz: 11 12 13 21 22 23 11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 31 32 33 13 21 32 22 31 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a (4) Demak, uchinchi tartibli determinant 6 ta had yig’indisidan iborat bo’lib, ularning uchtasi musbat ishorali, uchtasi manfiy ishorali bo’ladi.
Musbat va manfiy ishorali hadlarni yozishda quyidagi tasvirlangan sxemalardan foydalanish qulay bo’ladi, . Agar uchinchi tartibli determinantni quyidagi ko’rinishda yozib olsak
32
33 32 31 22 21 23 22 21 12 11 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a
determinantning qiymatini Sarryus usuli deb ataluvchi usul bilan xam xisoblash mumkin;
Misol. Ushbu 2 3 7 5 4 1 6 8 9 determinant hisoblansin.
◄Bu determinantni hisoblashda (4) formula va keltirilgan sxemadan foydalanamiz: 2 3 7 5 4 1 2 4 9 3 1 6 7 5 8 7 4 6 3 5 9 2 1 8 6
9
72 18 280 168 135 16 51. ► Determinantni (ayniqsa, yuqori
tartibli determinantlarni) hisoblashda determinantning xossalari va yuqorida keltirilgan teoremadan foydalaniladi. Misol tariqasida bitta 4-tartibli determinantning hisoblanishini ko’rsatamiz. Aytaylik, ushbu 1 2 3 4 0 2 5 9 0 0 3 7 2 4 6 1 determinantni hisoblash lozim bo’lsin. Avvalo determinantning birinchi yo’lini 2 ga ko’paytirib 4-yo’liga qo’shamiz. Natijada 5-xossaga ko’ra
1 2 3 4 0 2 5 9 0 0 3 7 0 0 0 9
bo’ladi. Keyingi determinantning birinchi yo’lini birinchi ustun bilan almashtiramiz. Unda 1-xossaga ko’ra 1 0 0 0 2 2 5 9 3 0 3 7 4 0 0 9 bo’ladi. Endi keltirilgan teoremadan foydalanib (determinantning birinchi yo’lda joylashgan elementlari bo’yicha) topamiz: 11 12
14 1 0 0 0 2 2 5 9 1 0 0 0 3 0 3 7 4 0 0 9 A A A A
1 1 11 2 5 9 1 1 0 3 7 54 0 0 0 0 0 54. 0
9 A
1. Determinantni xossalarini ating? 2. Minor nima? 3. Algebraik to’ldiruvchi nima? 4. Minor va algebraik to’ldiruvchini farqi qanday? 5. Yuqori tartibli determinant hisoblashning usullarini ating? Download 261.21 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|