1-ma’ruza матрицалар ва улар устида арифметик амаллар. Reja

1-ma’ruza 

МАТРИЦАЛАР ВА УЛАР УСТИДА АРИФМЕТИК АМАЛЛАР. 

Reja 

1.  Matritsaga doir asosiy tushunchalar. 

2.  Matritsalar ustida arifmetik amallar. 

3.  Matritsalar ustida elementar almashtirishlar. 

 

Tayanch  soʻz  va  iboralar:  matritsa,  satr  matritsa,  ustun  matritsa,  satr-

vektor,  ustun-vektor,    nol  matritsa,  teng  matritsalar,    zanjirlangan  matritsalar, 

kvadrat matritsaning  bosh  diagonali,  diagonal matritsa,  skalyar matritsa,  birlik 

matritsa,  transponirlangan  matritsa,  simmetrik  matritsa,  qiya  simmetrik 

matritsa. 

 

 

Matritsa  tushunchasi  va  unga  asoslangan  matematikaning  “Matritsalar 

algebrasi” boʻlimi amaliyotda, jumladan, AKT va dasturlashda katta ahamiyat kasb 

etadi. Bu  shu  bilan  tushuntiriladiki,  aksariyat  dasturlash  obyekt  va  jarayonlarning 

matematik  modellari  matritsalar  yordamida  sodda  va  kompakt  koʻrinishida 

tasvirlanadi.  

 

Matritsa tushunchasi birinchi marta ingliz matematiklari U.Gamilton (1805-

1865-y.y.)  va  A.Kel  (1821-1895  y.y.)  ishlarida  uchraydi.  Hozirgi  kunda  matritsa 

tushunchasi  tabiiy  va  amaliy  jarayonlarning  matematik  modellarini  tuzishda 

muhim vosita sifatida qoʻllaniladi. 

 

1-ta’rif. Matritsa deb  m  ta satr va  n  ta ustunga ega boʻlgan qavslar ichiga olingan 

toʻrtburchakli sonlar jadvaliga aytiladi. 

 

 

Matritsalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi. Masalan, 

11

12

1

21

22

2

1

2

...

...

.

...

...

...

...

...

n

n

m

m

mn

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a



























 

 

Matritsani tashkil qilgan sonlar uning elementlari deyiladi. Matritsa oʻlchami 

m n



  kabi  yoziladi.  Matritsaning  i



satr,  j



ustun  kesishmasidagi  element 

ij

a

 

kabi  belgilangan.  Demak, 

34

a



3  -  satr  va  4  -  ustin  kesishmasida  joylashgan 

elementdir. 

 

Ba’zida matritsalarni yozishda (...) qavslar oʻrniga [...] qavslar yoki ||...|| kabi 

belgilardan foydalaniladi. 

 

 

 

(1 n



)  oʻlchamli  matritsaga  satr  matritsa,  (

1

m



)  oʻlchamli  matritsaga  esa 

ustun matritsa deyiladi, ya’ni 





11

12

1n

K

a

a

a



, 

11

21

1

.

m

a

a

L

a



























 

 

Bundan  tashqari  ba’zida  bu  matritsalar  mos  ravishda  satr-vektor  va  ustun-

vektor deb ham ataladi. Matritsaning elementlari esa vektorlarning komponentlari, 

deyiladi. 

 

Har  bir  elementi  nolga  teng  boʻlgan,  ixtiyoriy  oʻlchamli  matritsaga  nol 

matritsa deb aytiladi va quyidagi koʻrinishda boʻladi: 

0

0

...

0

0

0

...

0

.

... ... ... ...

0

0

...

0













 













 

 

2-ta’rif. 

A va  B   matritsalar  bir  xil  oʻlchamga  ega  boʻlib,  ularning  barcha  mos 

elementlari  oʻzaro  teng  boʻlsa,  bunday  matritsalar  teng  matritsalar  deyiladi  va 

A

B



 koʻrinishda yoziladi. 

 

 

1-misol.  Quyidagi  matritsaviy  tenglikdan  x   va 

y

  noma’lumlarning 

qiymatlarini toping: 

3

2

3

.

1

2

1

y

x

y



 







 







 



 

 

Yechish.

 

Matritsalarning  mos  elementlarini  taqqoslab  quyidagi  tengliklarni 

hosil qilamiz: 

2,

2

0

y

x

y

x



   

. 

 

3-ta’rif. 

A   matritsaning ustunlari soni  B   matritsaning satrlari soniga teng boʻlsa, 

A  matritsa 

B

 matritsa bilan zanjirlangan matritsa deyiladi. 

 

 

Masalan, 

2 3 4

4 5 2

9 8 2

A









 











  va 

5 8

1 4

4 3

B









 











  matritsalar zanjirlangan  matritsalar 

boʻladi. Chunki,  A matritsaning oʻlchami 

3 3



 ga, 

B  matritsaning oʻlchami 

3 2



 

ga teng.  

 

Shuni ta’kidlash lozimki  B  va  A matritsalar zanjirlangan emas. Chunki,  B  

matritsaning  ustunlari  soni  2  ga, 

A   matritsaning  satrlari  soni  3  ga  teng  boʻlib, 

oʻzaro bir xil emas. 

 

4-ta’rif.  Ham  satrlar  soni,  ham  ustunlar  soni  n   ga  teng  boʻlgan,  ya’ni  n n



  

oʻlchamli matritsa  n



tartibli kvadrat matritsa deyiladi. 

 

 

Masalan, 

1

8

6

1

2

5

7

3

1

0 11 15

0

5

3

9

A































  matritsa  4-tartibli  kvadrat  matritsadir. 

Kvadrat  matritsaning 





11

22

,

,...,

nn

a a

a

  elementlarning  tartiblangan  tо‘plami 

kvadrat  matritsaning  asosiy  diagonali  deyiladi.  Agar 

(

)

ij

A

a



  kvadrat  matritsada 

(

)

i

j i

j





  munosabat  bajarilganda 

0

ij

a



  boʻlsa,  u  holda 

A

  matritsa  yuqori 

(quyi) uchburchakli matritsa deyiladi. 





11

12

1

22

2

...

0

...

yuqori uchburchakli matritsa

...

...

...

...

0

0

...

n

n

nn

a

a

a

a

a

A

a



























 

 





11

21

22

1

2

0

...

0

...

0

quyi uchburchakli matritsa

...

...

...

...

...

n

n

nn

a

a

a

A

a

a

a



























 

 

(

)

ij

A

a



 kvadrat matritsada  i

j



 boʻlganda, 

0,

ij

a



  i

j



 boʻlganda, 

0

ij

a



 

boʻlsa, u holda 

A

 matritsaga diagonal matritsa deyiladi ya’ni 

11

22

0

...

0

0

...

0

.

...

...

...

...

0

0

...

nn

a

a

A

a



























 

 

Agar diagonal matritsaning barcha diagonal elementlari oʻzaro teng boʻlsa, u 

holda bunday matritsaga skalyar matritsa deyiladi ya’ni  

0

...

0

0

...

0

.

... ... ... ...

0

0

...

a

a

A

a



























 

 

Agar  skalyar  matritsada 

1

a



  boʻlsa,  u  holda  bunday  matritsaga  birlik 

matritsa deyiladi va odatda 

E

 harfi bilan belgilanadi, ya’ni 

1

0

...

0

0

1

...

0

.

... ... ... ...

0

0

...

1

E



























 

 

Oʻlchamlari  aynan  teng  boʻlgan  matritsalar  ustidagina  algebraik  qoʻshish 

amali bajariladi. 

 

Oʻlchamlari aynan teng boʻlgan 

11

12

1

1

21

22

2

2

1

2

1

2

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

j

n

j

n

i

i

ij

in

m

m

mj

mn

a

a

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

a

a

a

a

a

















 























 va    

11

12

1

1

21

22

2

2

1

2

1

2

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

j

n

j

n

i

i

ij

in

m

m

mj

mn

b

b

b

b

b

b

b

b

B

b

b

b

b

b

b

b

b

















 























 

matritsalarni qoʻshish uchun, ularning mos elementlari qoʻshiladi, y’ani 

11

11

12

12

1

1

1

1

21

21

22

22

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

j

j

n

n

j

j

n

n

i

i

i

i

ij

ij

in

in

m

m

m

m

mj

mj

mn

mn

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

A

B

C

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

































   







































 

 

Matritsani  biror  haqiqiy 



  songa  koʻpaytirish  uchun  bu  son  matritsaning 

har bir elementiga koʻpaytiriladi, y’ani

 

11

12

1

1

21

22

2

2

1

2

1

2

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

j

n

j

n

i

i

ij

in

m

m

mj

mn

a

a

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

a

a

a

a

a



















































 























 

 

Ikkita matritsa ayirmasi quyidagicha topiladi: 

11

11

12

12

1

1

1

1

21

21

22

22

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

j

j

n

n

j

j

n

n

i

i

i

i

ij

ij

in

in

m

m

m

m

mj

mj

mn

mn

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

A

B

D

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

































   







































 

 

2-misol. Quyidagi matritsalarning yigʻindisi va ayirmasini toping: 

3 1

0

2

4

1 2

2

,

.

1

4

3

1

3

0

4

0

A

B



































 

 

Yechish. 

A

 va 

B

 matritsalarning oʻlchamlari 

2 4



 ga teng. Shu sababli bu 

matritsalarni qoʻshish va ayirish mumkin. Ta’rifga asosan 

3 4

1 1

0

2

2

2

7

0

2

0

;

1 3

4

0

3 4

1 0

2

4

7

1

A

B











 



 





 















 



 

3 4

1 1

0

2

2

2

1 2

2

4

.

1 3

4

0

3 4

1 0

4

4

1 1

A

B















 



 





 















 



 

 

3-misol. Quyidagi 

A

 matritsani 

2





 soniga koʻpaytiring:

 

2 3

8 2 .

7 6

A









 











 

 

Yechish.

 

2

3

2 2

2 3

4

6

2

2

8

2

2 8

2 2

16

4 .

7

6

2 7

2 6

14 12

A

A









 

 





 

 



 

 











 

 





 

 









 

 



 

 

 

 

Matritsalarni algebraik qoʻshish va matritsani songa koʻpaytirish amallariga 

matritsalar ustida chiziqli amallar deyiladi.  

 

Matritsalarni  qoʻshish  va  songa  koʻpaytirish  amallari  quyidagi  xossalarga 

boʻysinadi: 

1)

;

2)

(

)

(

)

;

3) (

)

;

4) (

)

(

) ;

A

B

B

A

A

B

C

A

B

C

k A

B

kA

kB

k nA

kn A

  



















   

 

5) (

)

;

6)

;

7)

;

8)1

.

k

n A

kA

nA

A

A

A

A

A

A







  

 

 

 

 

Bu  yеrda 

, ,

A B С



bir  xil  o‘lchamli  matritsalar, 



  matritsa 

, ,

A B С

  matritsalar 

bilan bir xil o‘lchamli nol matritsa, 

,

k n



ixtiyoriy haqiqiy sonlar. 

 

 

 

5-ta’rif. 

A   matritsaning  ustunlari  va  satrlarining  orinlarini  almashtirishdan 

hosil bolgan  matritsaga,  

A  matritsaga transponirlangan  matritsa deyiladi va 

T

A  

ko‘rinishda belgilanadi.  

Matritsani transponirlash amali  quyidagi xossalarga ega: 

 

1)

,

2) (

)

,

3(

)

,

4(

)

.

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

A

A

kA

kA

A

B

A

B

AB

B A













 

 

Masalan, 

2

1

3

4

5

0

A











 











  boʻlsa, 

2

3 5

1 4

0

T

A





 









 boʻladi. 

 

Agar

A

 kvadrat matritsa uchun 

T

A

A



 munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda bu 

matritsaga simmetrik matritsa deyiladi. 

 

Masalan, 

4 5 2

5 8

3

2 3 7

A









 











  simmetrik  matritsaning  elementlari  bosh 

diagonalga nisbatan simmetrik joylashgan. 

 

n



tartibli simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan 

(

1)

2

n n



 

ga teng, bunda  n



natural son. 

 

Agar 

A   kvadrat  matritsada 

T

A

A

 

  munosabat  oʻrinli  boʻlsa,  bunday 

matritsaga qiya simmetrik matritsa deb ataladi. Masalan, 

0

5

2

5

0

3 .

2

3

0

A











 















 

 

n



tartibli  qiya  simmetrik  matritsaning  turli  elementlari  soni  koʻpi  bilan 

2

1

n

n

 

 formula yordamida topiladi, bunda  n



natural son. 

 

6-ta’rif.  Nolmas  satrlarga  ega 

A   matritsada  har  qanday 

k



  nolmas  satrning 

birinchi  noldan  farqli  elementi 





1

k

 

  nolmas  satrning  birinchi  noldan  farqli 

elementidan oʻngda tursa, u holda  A  pog‘onasimon matritsa deyiladi. 

 

 

Masalan,  

1

4

2

3

5

0

0

4

0

1

0

0

0

7

0

0

0

0 0

6

A





























 matritsa pog‘onasimon matritsadir. 

Quyidagi 

elementar 

almashtirishlar 

yordamida 

berilgan 

matritsani 

pog‘onasimon matritsaga keltirish mumkin: 

1.  matritsa  biror  satri  (ustuni)  har  bir  elementini  biror  noldan  farqli  songa 

koʻpaytirish; 

2.  matritsa satrlari (ustunlari) oʻrinlari almashtirilganda; 

3.  matritsa  biror  satri  (ustuni)  elementlariga  uning  boshqa  parallel  satri  (ustuni) 

mos elementlarini biror noldan farqli songa koʻpaytirib, soʻngra qoʻshganda; 

4.  barcha elementlari noldan iborat satrni (ustunni) tashlab yuborganda; 

 

9-misol. 

3

1

2

1

2

1

1

2

5

2

3

1

A



































 

Matritsani pog‘onasimon matritsaga keltiring. 

Yechish. Matritsada birinchi satrni 

2  ga va ikkinchi satrni  3



 ga koʻpaytirib, 

birinchini ikkinchiga qoʻshsak, soʻngra yana birinchi satrni  5  ga, uchunchi satrni 3  

ga koʻpaytirib, natijalarni qoʻshsak, 

3

1

2

1

0

5

7

4

0

1

1

2

































 

matritsa hosil boʻladi.  

 

Bu matritsada ikkinchi satrni 1 ga, uchunchi satrni 5 ga koʻpaytirib, ikkinchi 

satrni uchunchi satrga qoʻshsak, 

3 1

2

1

0 5

7

4

0 0

12

6































 

matritsa hosil boʻladi. 

  

10-misol. 

2

3

3

0

4

2

4

5

2

1

1 5

B











 





















 

Matritsani pog‘onasimon matritsaga keltiring. 

Yechish. Matritsani olib, yuqoridagi singari almashtirishlarni bajarsak,  

2

3 3 0

2

3 3 0

0

4

2 5

0

4

2 5

0

4

2 5

0

0

0 0

B























































 

hosil boʻladi. 

 

A   va  B   matritsaga  qoʻllanilgan  almashtirishlarning  mohiyati  quyidagidan 

iborat:  m  satrli matritsa berilgan holda birinchi va ikkinchi satrlarni, undan keyin 

birinchi  va  uchinchi  satrlarni,  ...,  nihoyat,  birinchi  va  m



  satrlarni  shunday 

sonlarga koʻpaytiramizki, tegishli songa koʻpaytirilgan birinchi satrni navbat bilan 

boshqa  hamma  satrlarga  qoʻshganimizda  ikkinchi  satrdan  boshlab  birinchi  ustun 

elementlari  nollarga  aylanadi.  Soʻngra  ikkinchi  satr  yordamida  keyingi  hamma 

satrlar bilan yana shunday almashtirishlarni bajaramizki, uchinchi satrdan boshlab, 

ikkinchi  ustun  elementlari  nollarga  aylanadi.  Undan  keyin  toʻrtinchi  satrdan 

boshlab  uchinchi  ustun  elementlari  nollarga  aylanadi  va  hokazo.  Shu  tariqa  bu 

jarayon oxirigacha davom ettiriladi. 

Mavzuni mustahkamlash uchun savollar: 

1.  Matritsa deb nimaga aytiladi?  

2.  Matritsaning turlarini keltiring. 

3.  Matritsalar ustida chiziqli amallar deb qanday amallarga aytiladi? 

4.  Matritsalar ustida chiziqli amallar qanday bajariladi? 

5.  Matritsalar ustida chiziqli amallarning xossalarini keltiring. 

6.  Trasponirlangan matritsa deb qanday matritsaga aytiladi? 

7.   Trasponirlangan matritsaning  xossalarini keltiring.  

8.  Pog’onasimon matritsa deb qanday matritsaga aytiladi? 

9.  Matritsalar ustida ekvivalent almashtirishlar deb qanday 

almashtirishlarga aytiladi? 

 

Asosiy adabiyotlar: 

1. Gilbert  Strang  “Introduction  to  Linear  Algebra”,  USA,  Cambridge  press, 

5

nd

 

Edition, 2016.  

2. Raxmatov  R.R, Tadjibayeva  Sh.E., Shoimardonov S.K. Oliy matematika.    

1- jild. 2017. 

3. Rаxмаtоv  R.R., Adizov A.A. “Chiziqli fazo va chiziqli operatorlar” O‘quv 

uslubiy qollanma. TATU, Toshkent 2019. 

4. Соатов Ё.У. “Олий математика”, Т., Ўқитувчи нашриёти, 1- 5 қисмлар, 

1995. 

5. Рябушко  А.П.  и  др.  “Сборник  индивидуальных  заданий  по  высшей 

математике”, Минск, Высшая школа, 1-3 частях, 1991. 

6. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра.  — 6-е изд., стер. — М.: 

ФИЗМАТЛИТ, 2004. 

Qo‘shimcha adabiyotlar 

7. Mirziyoev Sh. Buyuk kelajagimizni mard va olijanob xalqimiz bilan birga 

quramiz. –T.: O‘zbekiston, 2017. - 488 bet. 

8.  Mirziyoev  Sh.  Qonun  ustuvorligi  va  inson  manfaatlarini  ta’minlash-yurt 

taraqqiyoti va xalq farovonligining garovi. –T.: O‘zbekiston, 2017. - 48 bet. 

9. Mirziyoev  Sh.M.  Erkin  va  farovon,  demokratik  O‘zbekiston  davlatini 

birgalikda barpo etamiz. T.: O‘zbekiston, 2017. - 32 bet. 

10. Mirziyoev  Sh.M.  Tanqidiy  tahlil,  qa’tiy  tartib-intizom    va  shaxsiy 

javobgarlik- 

har  bir  rahbar  faoliyatining  kundalik  qoidasi  bo‘lishi 

kerak.O‘zbekiston  Respublikasi  Vazirlar  Mahkamasining  2016  yil  yakunlari  va 

2017  yil  istiqbollariga  bag‘ishlangan  majlisidagi  O‘zbekiston  Respublikasi 

Prezidentining nutqi. // Xalq so‘zi gazetasi. 2017 yil 16 yanvar, №11. 

11. Латипов  Х.Р.,  Таджиев  Ш.  Аналитик  геометрия  ва  чизиқли  алгебра. 

Тошкент, "Ўзбекистон". 1995. 

12. Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических    

университетов. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.  

13.  Данко  П.С.,  Попов  А.Г.,  Кожевникова  Т.Я.  Высшая  математика  в 

упражнениях и задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015.  

14.  Семёнова Т.В.  Высшая  математика:  учебное  пособие для студентов   

технических вузов. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008.  

15.  Макаров  Е.  В.,  Лунгу  К.  Н.    Высшая  математика:  руководство  к 

решению задач: учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013.  

16.  Минорский  В.И.  Сборник  задач  по  высшей  математике.  М:  Наука, 

1987. 

17.  Беклемешев  Д.В.,  Петрович  А.Ю.,  Чуберов  И.А.  Сборник  задач  по 

аналитической геометрии и линейной алгебре. -М.: Наука, 1987. 

18.  Бугров Я.С., Николский С.М. Сборник задач по высшей математике, 

- М.: Наука. 1997. 

19. Adizov  A.A.,  Xudoyberganov  M.O‘. Amaliy  matematika. O‘quv uslubiy 

qo‘llanma. Toshkent 2014. 

 

Internet saytlari 

1. 

www.gov.uz

 – O‘zbekiston Respublikasi hukumat portali. 

2. 

www.lex.uz

  –  O‘zbekiston  Respublikasi  Qonun  hujjatlari  ma’lumotlari 

milliy bazasi. 

3. 

www.Ziyonet.uz

 

4. www.tuit.uz 

5. www.Math.uz 

6. www.bilim.uz