1-mavzu. Ikki karrali integral va uning asosiy xossalari. Ikki karrali integralning mavjudligi Reja: 1

1 

 

1-mavzu. Ikki karrali integral va uning asosiy xossalari. Ikki karrali 

integralning mavjudligi 

Reja: 

1.Ikki karrali integralning ta’rifi. 

2.Ikki karrali integralning mavjudligi va integrallanuvchi funksiyalarning sinflari. 

3.Ikki karrali integralning xossalari. 

Kalit so’zlar: to’g’ri to’rtburchak, bo’linish, integral yig’indi, ikki karrali integral, 

integralning mavjudligi, Darbu yig’indilari, integralning xossalari, o’rta qiymat 

haqida teorema. 

1.Ikki karrali integralning ta’rifi. 

 

Ixtiyoriy 

funksiya 

 to’g’ri to’rtburchakda 

aniqlangan bo’lsin. 

 segmentni 

 nuqtalar yordamida   

ta qism segmentlarga ajratamiz, 

segmentni esa 

  

nuqtalar yordamida 

ta qism segmentlarga ajratamiz.

 va 

o’qlariga parallel 

to’g’ri chiziqlar yordamida ajratilgan bunday bo’linishga mos ravishda 

to’g’ri to’rtburchakda 

  ta 

 

to’g’ri to’rtburchaklar hosil bo’ladiki, ularni T  bilan belgilaymiz. 

15.1-ta’rif. Ushbu  

                       (15.1) 

yig’indiga

  funksiyaning 

  to’g’ri to’rtburchak T  bo’linishiga va bu 

bo’linishning qismiy  

 to’g’ri to’rtburchaklarida ixtiyoriy tanlangan 

 

nuqtalarga mos integral yig’indisi deb ataladi. 

 diagonalga 

to’g’ri to’rtburchakning diametri deb ataladi va 

 kabi 

belgilanadi. 

15.2-ta’rif.  Agarixtiyoriy berilgan

 son uchun shunday   dan bog’liq 

bo’lmaga 

 son topilsaki, 

  uchun 

 qismiy to’g’ri to’rtburchaklaridagi 

nuqtalarning tanlanishidan bog’liq bo’lmagan holda 

 

tengsizlik bajarisa,  soniga 

da  (15.1) integral yig’indining limitideb 

ataladi. 

15.3-ta’rif. Agar 

da

  funksiyaning    integral yig’indisi chekli 

limitga ega bo’lsa, u holda 

 funksiyaga 

  to’g’ri to’rtburchakda 

( , )

f x y

[

;

]

R

a

x

b c

y

d



 

 

[ , ]

a b

0

1

...

n

a

x

x

x

b



  



n

[ , ]

c d

0

1

...

p

c

y

y

y

d





 



p

Ox

Oy

[

;

]

R

a

x

b c

y

d



 

 

n p



1

1

[

;

],

1, ;

1,

k l

k

k

l

l

R

x

x

x

y

y

y

k

n l

p







 

 





1

1

( , )

n

m

k

l

k

l

k

l

f

x

y



 







 



( , )

f x y

R

k l

R

( , )

k

l

 

2

2

(

)

(

)

k

k

x

y



 

k l

R

2

2

max (

)

(

)

k l

k

k

R

x

y

 



 

0







0







 

k l

R

( , )

k

l

 

|

|

J





 

J

0

 

0

 

( , )

f x y

J

( , )

f x y

R

2 

 

integrallanuvchi (Riman ma’nosida) deb ataladi.  Bu    soniga 

 

funksiyaning 

  to’g’ri to’rtburchak bo’yicha karrali (ikki karrali) integrali deb 

ataladi va 

              (15.2) 

simvol bilan belgilanadi. 

 

 to’g’ri to’rtburchakda integrallanuvchi bo’lgan har qanday 

 

funksiya bu to’g’ri to’rtburchakda chegaralangan bo’ladi. 

 

15.1-misol. Integral yig’indining limiti sifatida 

  integralni hisoblang. 

Bu yerda integrallash sohasini 

 to’g’ri chiziqlar 

yordamida bo’laklarga ajrating va integral ostidagi funksiyaning qiymatini bu 

bo’laklarning o’ng uchida oling. 

Yechish. Har bir bo’lakchaning (tomonlari 

 bo’lgan kvadratning) yuzasi 

bo’lib, bu kvadratchaning o’ng yuqori uchida  

 funksiyaning qiymati 

ga teng, bundan   

 

2. Ikki karrali integralning mavjudligi  va integrallanuvchi funksiyalarning 

sinflari. 

 

  va 

 funksiyaning qismiy 

 to’g’ri to’rtburchaklardagi 

mos ravishda aniq yuqori va aniq quyi chegaralari bo’lsin.   to’g’ri 

to’rtburchakning berilgan T  bo’linishiga mos Darbu yig’indilarini tuzaylik: yuqori 

yig’indi 

                      (15.3) 

va quyi yig’indi  

                      (15.3`) 

 

 funksiyaning 

  to’g’ri to’rtburchakdagi barcha mumkin bo’lgan 

bo’linishlari uchun tuzilgan  

 yuqori yig’indilari to’plami quyidan 

chegaralangandir.  

funksiyaning

 to’g’ri to’rtburchakdagi barcha mumkin 

J

( , )

f x y

R

( , )

R

J

f x y dxdy





R

( , )

f x y

0

1

0

1

x

y

xydxdy

 

 



,

( ,

1,2,...,

1)

i

j

x

y

i j

n

n

n









1

n

2

1

n

( , )

f x y

xy



2

( ,

1,2,..., )

ij

i j

n

n



2

2

2

4

1

1

0

1

0

1

1

(

1)

1

lim

lim

.

4

4

n

m

n

n

i

j

x

y

n n

xydxdy

i

j

n

n









 

 









 



k l

M

k l

m



( , )

f x y

k l

R

R

1

1

p

n

k l

k l

k

l

S

M

R











1

1

p

n

k l

k l

k

l

s

m

R











( , )

f x y

R

{ }

S

( , )

f x y

R

3 

 

bo’lgan bo’linishlari uchun tuzilgan 

 quyi yig’indilari to’plami yuqoridan 

chegaralangandir.   

 

Shunday qilib, Darbu yuqori va quyi integrallari (

funksiyadan

  

to’g’ri to’rtburchak bo’yicha) deb ataluvchi  

   va 

     (15.4) 

sonlar mavjud bo’ladi. Ko’rsatish mumkinki,  

 . 

15.1-teorema. 

 to’g’ri to’rtburchakda  chegaralangan

 funksiyaning bu 

to’g’ri to’rtburchakda integrallanuvchi bo’lishi uchun 

 songa ko’ra  

  

to’g’ri to’rtburchakda shunday  bo’linish mavjud bo’lsaki, bu bo’linishga mos 

Darbu yig’indilari  

 

shartni qanoatlantirishi zarur va yetarlidir. 

Isbot. Bu teorema isboti quyidagi Darbu lemmasidan kelib chiqadi: 

(

bo’linish diametri) da Darbu yuqori va quyi integral yig’indilarining limitik 

qiymati mos ravishda yuqori va quyi   va    integrallar bo’ladi. 

Zarurligi. 

funksiya integrallanuvchi bo’lib, 

 son berilgan bo’lsin. 

Integral yig’indilarning ta’rifiga ko’ra, berilgan

songa ko’ra shunday 

 

son topiladiki, 

  to’g’ri to’rtburchakdagi 

 bo’lgan har qanday   bo’linish  

uchun 

 nuqtalarning tanlanishidan bog’liq bo’lmagan holda  

               (15.5) 

tengsizlik bajariladi. Yuqori va quyi integral yig’indilar bu bo’linishga mos 

bo’lgan aniq yuqori va aniq quyi integral yig’indilar bo’ladi. Shuning uchun bu 

bo’linishning 

 elementidan shunday 

 va

nuqtalarni tanlab olamizki,  

            (15.6) 

tengsizliklar bajarilsin. Bu integral yig’indilardan har biri (15.5) shartni 

qanoatlantirgani uchun (15.6) dan

kelib chiqadi. 

Yetarliligi. Agar 

songa ko’ra    to’g’ri to’rtburchakda

 bo’lgan 

shunday   bo’linish mavjud bo’lsa, u holda  

 bo’ladi.   orqali bu 

miqdorlarning umumiy qiymatini belgilaylik va   integral yig’indilarning limitik 

qiymati ekanini ko’rsatamiz. Darbu lemmasiga asosan 

da   yuqori va quyi 

integral yig’indilarning umumiy limitik qiymati boladi. Lekin biror bo’linishga 

{ }

s

( , )

f x y

R

inf{ },

J

S



sup{ }

J

S



J



J

R

( , )

f x y

0



 

R

T

S

s



 

0

 

 

J

J

( , )

f x y

0



 

0



 

0





R



 

T

( , )

i

i

 

1

|

( , )

|

4

n

i

i

i

k

J

f

s



 





 



i i

R

( , )

i

i

 

 

( , )

i

i

 

 

1

1

( , )

4

( , )

4

n

i

i

i

k

n

i

i

i

k

S

f

s

f

s

s



 



 







 



  







    







S

s



 

0



 

R

S

s



 

T

J

J



J

J

0

 

J

4 

 

mos ixtiyoriy integral yig’indi   va   orasida  joylashganligi uchun   integral 

yig’indilarning 

 da limitik qiymati bo’ladi. 

15.2-misol.  

 funksiya uchun yopiq sohani  

 to’g’ri chiziqlar bilan to’gri to’rtburchaklarga bo’lganda quyi 

  

va yuqori  

 yig’indilarni tuzing. 

 da yig’indilarning limitini toping. 

Yechish.  Elementar to’g’ri to’rtburchaklarning tomonlari 

   va 

 bo’lib, yuzi 

 dan iborat .  

 bo’linishni qaraylik. 

Koordinata boshidan 

 nuqtagacha masofa 

 bo’lgani uchun 

bo’lganda 

. 

Shuning uchun 

 

Elementar hisoblashlardan so’ng quyidagini olamiz:  

ularning limitik qiymati    

 

15.2-teorema.  Chegaralangan 

 to’g’ri to’rtburchakda  uzluksiz bo’lgan har 

qanday  

funksiya  

 da integrallanuvchi bo’ladi. 

2. Ikki karrali integralning xossalari. 

1

0

. Agar 

 bolib,   

funksiya 

 da integrallanuvchi bo’lsa, 

u holda  

 

2

0

. Chiziqlilik xossasi.  Agar

 va

  funksiyalar 

 sohada 

integrallanuvchi bo’lib,    va 

  lar haqiqiy sonlar bo’lsa, u holda 

 

funksiya ham 

 da integrallanuvchi bo’ladi hamda 

. 

S

s

J

0

 

2

2

( , )

f x y

x

y





1

,

i

x

n

 

2

1

j

y

n

 

( ,

1, 2,... )

i j

n



n

S

n

S

n

 

1

n

2

n

2

2

n

1

2

2(

1)

{1

1

, 1

1

}

i j

i

i

j

j

S

x

y

n

n

n

n





    



  

( , )

x y

( , )

f x y

( , )

i j

x y

S



min

2

( , )

(1

,1

),

i

j

f

x y

f

n

n







1

2(

1)

( , )

(1

,1

)

max

i

j

f

x y

f

n

n











1

1

2

0

0

2

2

(1

,1

),

n

n

n

i

j

i

j

S

f

n

n

n

















1

1

2

0

0

2

1

2(

1)

(1

,1

).

n

n

n

i

j

i

j

S

f

n

n

n





















2

40

11

5

,

3

3

n

S

n

n







2

40

11

5

3

n

S

n

n







1

lim

lim

13 .

3

n

n

n

n

S

S









R

( , )

f x y

2

R

R



( , )

0

f x y



( , )

f x y

2

( )

G

R



( )

( , )

0

G

f x y dxdy





( , )

f x y

( , )

g x y

2

( )

G

R









[

]

f

g







( )

G

( )

( )

( )

[

]

( , )

( , )

G

G

G

f

g dxdy

f x y dxdy

g x y dxdy





















5 

 

3

0

. Agar

 va

funksiyalar 

 sohada integrallanuvchi bo’lsa, u 

holda bu funksiyalar ko’paytmasi ham integrallanuvchi bo’ladi. 

4

0

. Agar

 va

funksiyalar 

sohada integrallanuvchi bo’lib, bu 

sohada 

bo’lsa, u holda 

. 

5

0

. Agar

 funksiya 

 da integrallanuvchi bo’lsa, u holda Agar

  funksiya ham 

da integrallanuvchi bo’ladi hamda 

. 

6

0

. O’rta qiymat haqida teorema. Agar

 va

funksiyalar 

 sohada 

integrallanuvchi bo’lib, 

 funksiya bu sohaning hamma joyida manfiy 

(musbat) bo’lmasa, hamda 

  va 

  lar mos ravishda 

 funksiyaning 

 sohadagi aniq yuqori va aniq quyi chegaralari bo’lsa, u holda 

 

tengsizlikni qanoatlantiruvchi shunday 

son topiladiki,  

            (15.7) 

formula o’rinli bo’ladi. 

Isbot. 

 funksiya manfiy bo’lmasin, u holda  

 

bo’ladi. Bu tengsizlikdan 4

0

 va 2

0

 xossalarga asosan 

 

ga ega bo’lamiz. 1

0

 da 

  funksiyaga qo’yilgan talabga asosan  

 

bo’ladi. Agar bu integral nol bo’lsa, u holda avvalgi tengsizliklarga ko’ra 

 

bo’ladi va teorema tasdig’i o’rinli. Agar integral noldan qat’iy katta bo’lsa, uning 

yuqoridagi qo’sh tengsizliklarini ajratib o’lib, (15.7) ni hosil qilamiz. 

 

1-mavzu bo’yicha topshiriqlar 

1.Berilgan integralda integrallash sohasini tasvirlang: 

( , )

f x y

( , )

g x y

2

( )

G

R



( , )

f x y

( , )

g x y

2

( )

G

R



( , )

( , )

f x y

g x y



( )

( )

( , )

( , )

G

G

f x y dxdy

g x y dxdy







( , )

f x y

2

( )

G

R



| ( , ) |

f x y

( )

G

( )

( )

|

( , )

|

| ( , ) |

G

G

f x y dxdy

f x y dxdy







( , )

f x y

( , )

g x y

( )

G

( , )

g x y

M

m



( , )

f x y

( )

G

m

M



 



( )

( )

( , ) ( , )

( , )

G

G

f x y g x y dxdy

g x y dxdy









( , )

g x y

( , )

( , ) ( , )

( , )

m g x y

f x y g x y

Mg x y





( )

( )

( )

( , )

( , ) ( , )

( , )

G

G

G

m

g x y dxdy

f x y g x y dxdy

M

g x y dxdy











( , )

g x y

( )

( , )

0

G

g x y dxdy





( )

( , ) ( , )

0

G

f x y g x y dxdy





6 

 

a) 

        b) 

         c) 

 

d) 

e) 

              f) 

 

k) 

l) 

 

O`z-o`zini tekshirish savollari 

1. Bo`linish diametri numa? 

2. Darbu yig`indilari qanday tuziladi? 

3. Ikki karrali integralning ta’rifini ayting. 

4. Ikki karrali integralning mavjudlik teoremasini ayting. 

5. Integrallanuvchi funksiyalar sinfini keltiring. 

3

4

2

0

( , )

.

x

dx

f x y dy







 

/ 2

/ 4

0

( , )

.

y

dy f x y dx





 

1

1

0

1

( , )

.

x

dx

f x y dy



 

1

0

0

( , )

.

y

dy f x y dx

 

1

0

0

( , )

.

x

dx f x y dy

 

2

1

0

( , )

.

x

dx

f x y dy

 

2

2

1

0

( , )

.

x

dx

f x y dy



 

/2

/4

0

( , )

.

x

dx f x y dy





 