10- amaliy mashg‘ulot. (4- soat) Chastota kriteriylari yordamida chiziqli sistemalar barqarorligini tekshirish

10- amaliy mashg‘ulot. (4- soat) Chastota kriteriylari yordamida chiziqli sistemalar barqarorligini tekshirish

10- amaliy mashg‘ulot. (4- soat)


Chastota kriteriylari yordamida chiziqli sistemalar
barqarorligini tekshirish


1-misol. Uzatish funksiyasi quyida berilgan chiziqli sistemani Mixaylov kriteriysi bo‘yicha barqarorlikka tekshiring:
bu erda, K=1; K₁=10; T_e=0,1; T_ya=0,01; T_em=0,02.

Sistema parametrlarini hisobga olib, xarakteristik tenglamani tuzamiz.

, (10.1)

bu erda, a₄=T_e·T_ya·T_em=0,2·10^-4, a₃=T_ya·T_em+T_e·T_em+T_ya·T_e=0,32·10^-2, a₂=T_ya+T_e+T_e+T_em=0,13; a₁=11; a₀=1.

(10.2)
(10.2) tenglamadagi ”p” ni ”jω” ga almashtirib, ω chastota o‘zgarishi bo‘yicha Mixaylov godografi quriladi.

(10.3)
Mixaylov kriteriysi bo‘yicha ABS barqaror bo‘lishi uchun Mixaylov godografi ω=0 bo‘lganda haqiqiy sonlar o‘qining musbat qismidan boshlanib, chastota (0; ∞) oraliqda o‘zgarganda soat strelkasiga qarama qarshi yo‘nalishda (musbat yo‘nalishda) “n” koordinata tekisligi kvadrantlarini ketma–ket kesib o‘tishi zarur va etarlidir. “n” – xarakteristik tenglamaning tartibi.

(10.3) ifodani hisobga olgan holda Mixaylov godografi formulasi quyidagicha yozilishi mumkin :

(10.4)
yoki sonli qiymatlarni e’tiborga olgan holda:

(10.5)
bu erda, – haqiqiy qism;

– mavhum qism.

Chastota qiymati o‘zgarishiga mos keluvchi haqiqiy va mavhum qismlar qiymatlari aniqlanib, 10.2 - jadvalga yoziladi.
10.2-jadval

ω	0	1	2	2,76	4	10	20	30	40	58,8	60	80	100	200
P(ω)	1	0,87	0,48	0	–1,08	–11,8	–47,8	–99,8	–155,8	–209,5	–207,8	–11,8	701	1126
Q(ω)	0	11	21,9	30,3	43,8	106,8	194,4	243,6	235,2	0	–31,2	–758,4	–2100	4560

10.2 – jadvalga kiritilgan son qiymatlardan foydalangan holda Mixaylov godografi quriladi (10.1- rasm).

10.1-rasmdan ko‘rinadiki ABS barqaror, chunki Mixaylov godografi yuqorida aytib o‘tilgan zarur va etarli shartni qanoatlantiradi.

10.1-rasm
2-misol. 1-misolda berilganlardan foydalanib, Mixaylov kriteriysi yordamida ABS barqaror bo‘lmagan holatga to‘g‘ri keluvchi chegaraviy koeffitsient K_cheg qiymati topilsin.
Yechish: 10.1-rasmdan ko‘rinadiki, agar godograf koordinatalar boshidan o‘tsa, sistema barqarorlik chegarasida bo‘ladi va K koeffitssientning bu holatga mos keluvchi qiymati chegaraviy qiymat K_cheg bo‘ladi.
Shundan kelib chiqqan holda, chegaraviy qiymat quyidagi tenglamalardan aniqlanishi mumkin:

va (10.6.)

ya’ni,

(10.6a)

₍10.6a) ifodaning ikkinchi tenglamasidan chastotaning chegaraviy qiymati topiladi ω_n = 58,63.
Chastotaning bu qiymatini (10.6a) ifodaning birinchi tenglamasiga qo‘yib, K _cheg ni topamiz. K_cheg =210,5.
Shunday qilib, K_cheg =210,5 bo‘lganda sistema barqarorlik chegarasida yotadi.
3 - misol. Uzatish funksiyasi quyida berilgan ochiq sistemani Naykvist kriteriysi yordamida barqarorlikka tekshiring:

(10.7)
bu erda, K=10, T_YA=0,01, T_EM=0,1, T_Q=0,1.

Naykvist kriteriysi bo‘yicha chastota (0; ∞) oraliqda o‘zgarganida ochiq sistemaning amplituda faza xarakteristikasi quriladi va shu xarakteristika bo‘yicha sistema barqarorligi haqida fikr yuritiladi.
(10.7) ifodada ”p” operatorni ”jω” ga almashtirib, ochiq sistemaning amplituda faza xarakteristikasi uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
(10.8)
bu erda: a₀=T_YAT_EMT_Q=1∙10^–4; a₁=(T_YA+T_Q) T_EM=1,1∙10^–2; a₂=T_EM+T_Q=0,2; a₃=1; a₄=K=10.

(11.8) ifodaning maxraj va suratini (a₀ ω⁴ -a₂ω²) + j(a₁ ω³ – a₃ ω) ifodaga ko‘paytirib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

bu erda,
Chastota qiymati o‘zgarishiga mos keluvchi haqiqiy va mavhum qismlar qiymatlari aniqlanib, 10.2 - jadvalga yoziladi.

10.2-jadval

	0,1	1	2	4	6	8	9,53	10	20	40	80	100
	–2	–1,92	–1,86	–1,52	–1,12	–0,78	–0,57	–0,52	–0,07	–0,001	0	0
	–100	- 9,62	–4,45	–1,57	–0,57	–0,15	0	0,028	0,08	0,015	0	0

10.2 - jadvalga kiritilgan son qiymatlardan foydalangan holda ochiq sistemaning amplituda faza xarakteristikasi quriladi (10.2- rasm).

Radiusi cheksiz bo‘lgan yoy bilan to‘ldirilgan avtomatik boshqarish sistemasi uchun Naykvist kriteriysi sharti bajariladi, ya’ni chastota ω (0; ∞) oraliqda o‘zgarganda nuqtani o‘z ichiga qamrab olmaydi (10.2-rasmga qarang).

10.2 – rasm

4-misol. Uzatish funksiyasi quyida berilgan sistemani barqarorlikka tekshiring :

(10.9)
bu erda, K=190; T₁ =0,13 s; T₂ = 0,044 s; T₃=0,009 s; T₄=0,114 s.

Barqarorlikka tekshirishda quyidagi kriteriylardan foydalaning:
a) Gurvits;
b) Raus;
d) Mixaylov;
e) Naykvist.
Javob: Uzatish funksiyasi (10.9) ifoda bilan berilgan sistema yopiq holatda barqaror emas.

5-misol. yuqoridagi sistema uchun barqarorlik sistema chegarasida yotuvchi kritik koeffitsient qiymatini aniqlang. Echish quyidagi kriteriylar yordamida amalga oshirilsin:
a) Gurvits;
b) Raus;
d) Mixaylov;
e) Naykvist.
Javob: K_krit = 5 .

6-misol. Quyidagi xarakteristik tenglama bilan berilgan sistema uchun Gurvits kriteriysi yordamida K koeffitsientning chegaraviy qiymatini aniqlang:


(1+pT₁)(1+pT₂)(1+pT₃)+K=0
Javob: .

7-misol. Agar quyidagi xarakteristik tenglama berilgan bo‘lsa,
Raus kriteriysidan foydalanib, o‘ng yarim tekislikda yotuvchi ildizlar sonini aniqlang.

Javob: Ko‘rib chiqilayotgan xarakteristik tenglama o‘ng yarim tekislikda yotuvchi ikkita ildizga ega va shuning barqaror bo‘lmagan sistemaga mos keladi.

8-misol. Mixaylov kriteriysidan foydalanib, quyidagi uzatish funksiyasiga ega bo‘lgan elektromexanik sistemani barqarorlikka tekshiring:
bu erda, K=58; T₁=0,01 s; T₂=0,57 s.

Javob: Sistema barqaror. Mixaylov godografi ketma-ket ravishda 3ta kvadrant orqali o‘tadi.

9-misol. Mixaylov kriteriysidan foydalanib, quyidagi uzatish funksiyasiga ega bo‘lgan ochiq sistema barqarorlik chegarasida bo‘lganida umumiy kuchaytirish koeffitsientini kritik qiymatini aniqlang.
bu erda, K – ochiq sistemaning kuchaytirish koeffitsienti; T₁=0,5 s; T₂ = 0,1 s; T₃ =0,02 s.

Javob: K_cheg=9,6.

10-misol. Ochiq holatdagi elektromexanik sistemaning uzatish funksiyasi:
Naykvist kriteriysidan foydalanib, quyidagi parametrlar bo‘yicha sistemaning yopiq holati uchun barqarorlikka tekshiring:

a) K=100; T_g=0,1 s; T_U=0,02 s; b) K=50; T_g=10,1 s; T_U=0,025 s;
d) K=200; T_g=0,02 s, T_U=0,002 s; e) K=50; T_g=0,1 s; T _U=0,005s.
Javob: a) yopiq sistema barqaror emas;

b) sistema barqarorlik chegarasida;

d) sistema barqaror;
e) sistema barqaror.
http://fayllar.org