10-ma’ruza: Bir jinsli maydonlarda erkin xarakat. Bir o’lchamli cheksiz chuqur to’g’ri burchakli potensial o’rada zarrachani xarakati. Energiyaning xususiy qiymatlari aniqlash

10-ma’ruza: Bir jinsli maydonlarda erkin xarakat. Bir o’lchamli cheksiz chuqur to’g’ri burchakli potensial o’rada zarrachani xarakati. Energiyaning xususiy qiymatlari aniqlash.

Reja:
1. Zarraning potensial to’siqdan o’tishi
2. Tunnel samarasi
3. Zarraning kordinatasini o’lchash
4. Sovuq emmissiya hodisasi
Tayanch iboralar:
potensial to’siq, tunnel samarasi, zarra impulsi, zarra kordinatasi, soha energiyasi, aniqmaslik munosabati, to’siqning tiniqlik koeffisienti, o’tish ehtimoli.


Tunnek effect.Agar energiyasi bo’lgan zarra potensial maydonga tushayotgan va bo’lsa, bu maydon berilgan zarra uchun potensial to’siq vazifasini o’taydi. Klassik mexanika nuqtai nazardan
fazoning sohasi berilgan zarra harakatini taqiqlovchi soha hisoblanadi, ya’ni zarra nuqtagacha harakat qilishi mumkin va maydon ta’sirida orqaga qaytib ketadi. Kvant mexanikasi nuqtai nazaridan esa berilgan zarraning nuqtasidan qaytishi mumkinligidan tashqari bu maydon ichiga singib kirib, nuqtasidan qaytishi, shuningdek bu nuqta orqali o’tib, maydondan chiqib ketishi ham mumkin. Zarra uchun tengsizligi bajarilganda ham uning berilgan maydondan o’tishi zarraning potensial to’siqdan o’tishi yoki tunnel samarasi deyiladi. Bu samarani quyidagi to’g’ri burchakli potensial to’siq



x

a


misolida batafsil qarab chiqamiz. Berilgan masala uchun Shredinger tenglamasi

ni yechish uchun zarra harakati sohasini 3 ta sohaga bo’lamiz: 1-soha bo’lgan soha, 2-soha 3-soha . Bu sohalarda Gamilton operatori

Shunga ko’ra Shredinger tenglamasi bu sohalarda

Bu yerda

Agar tenglamalar yechimlarini ko’rinishda axtarsak, osonlik bilan ekanligini topamiz va tenglamalar yechimlari quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladilar:
(87)
(88)
(89)
Bu yerda koeffisientlari to’lqinlar amplitudasi lar bilan bog’liq to’lqinlar ning musbat yo’nalishida tarqalayotgan, lar bilan bog’langanlari teskari yo’nalishda tarqalayotgan (to’siq qirralaridan qaytadigan) to’lqinlar hisoblanishadi. Agar sohada to’lqinni qaytaruvchi sirt (yoki maydon) yo’qligini hisobga olsak, bo’ladi. Potensial maydon va nuqtalarda sakrab o’zgarsada, bu nuqtalarda (87-89) yechimlar bir-biriga uzluksiz shartlarini qanoatlantirmog’i kerak
(90)
(91)
Bu shartlar bizga (87-89) yechimlardagi koeffisentlarini topish imkoniyatini beradi. Koeffisientlari aniqlash biz uchun quyidagi sabab tufayli zarur. Agar zarralar oqimi bir qismi haqiqatdan ham potensial to’siq orqali o’tsa va bunday o’tish ehtimolini deb belgilasak, bu ehtimol
=to’siqdan o’tayotgan to’lqin ehtimolli zichligi
tariqasida aniqlanadi, ya’ni to’siqqa tushayotgan to’lqin intensivligining qanday qismi bu to’siqdan o’tishini ko’rsatadi.
Demak,

bu yerda

Demak,
(92)
orqali topilar ekan. Shuning uchun ham (90-91) chegaraviy shartlar asosida (87-89) yechimlardan nisbatni topamiz. (90) shart asosida (87-88) dan topamiz:
(93)
(91) shart asosida esa (88-89) dan:
(94)
Agar (93)dan
(95)
ni topsak, (94)dan
(96)
larni topamiz va (96) asosida (95) dan

Bundan
(97)
Agar bo’lsa, ya’ni deb hisoblansa (97) –ning maxrajini deb hisoblash mumkin bo’ladi va

Bu yerda

Shunday qilib, to’g’ri burchakli potensial to’siqdan zarraning o’tish ehtimoli (yoki to’siqning tiniqlik koeffisienti)

formula bilan aniqlanadi. Bir necha misolni qaraylik. Misol uchun elektronlar oqimi energiyalari farqlari , kengligi bo’lgan to’siqqa tushayotgan bo’lsin. U holda deb olsak,


Bu degani agar to’siqqa 100 elektron tushayotgan bo’lsa shuning 29 donasi to’siqdan o’tadi degan xulosa bo’ladi.
ga teng bo’ladi va tushayotgan 1000 ta elektronlardan faqatgina 5 tasi to’siq orqali o’ta oladi. Berilgan holda to’siqning tiniqlik koeffitsienti kichik bo’lsada, har holda zarralarning to’siqdan o’tishi mavjud bo’ladi.

Bu holda endi elektronlar oqimi to’siqdan deyarlik o’tmaydi desak bo’ladi. Bu misollardan ko’ramizki, to’siq kengligi osha borgan sari zarralarning to’siqdan o’tish ehtimoli tez kamayib borar ekan.Hisob natijalarini klassik mexanika va kvant mexanikasi nuqtai nazaridan tahlil qiladigan bo’lsak, sohadan energiyasi bo’lgan potensial to’siqqa zarralarning tushib, sohaga ularning bir qismining o’tishi klassik mexanika nuqtai nazaridan mumkin emas, chunki berilgan holda zarra energiyasining saqlanish qonuni buzilgan bo’lar edi. Kvant mexanikasi nuqtai nazardan tushunish qiyin emas, chunki Geyzenbergning aniqmaslik munosabatlariga ko’ra zarra koordinatasi va impulsini bir vaqtning o’zida aniq o’lchab bo’lmaydi. Zarralarning to’siqdan o’tishi vaqtida asosiy o’yin va o’rtasida ketadi, bo’lganidan va larni ham bir vaqtning o’zida aniq qiymatlarini aytib bo’lmaydi. Zarrani sohada kuzatish mumkin degan so’z uning koordinatasini aniq o’lchash degan so’zdir. Zarra koordinatasini o’lchash vaqtida esa uni o’lchovchi asbob zarra holatiga shunday ta’sir qilishi va bu ta’sir natijasida unga shunday qo’shimcha energiya berilishi mumkinki, natijada sohada tengsizlik buzilib, bo’lishi ehtimoli paydo bo’ladi. Endi potensial to’siq ixtiyoriy ko’rinishga ega bo’lganda (bu hol rasmda berilgan) to’siqning tiniqlik koeffisienti

ko’rinishda ifodalanadi. Bu yerda nuqtalar zarraning potensial to’siqqa kirish va undan chiqish nuqtalari tengligidan topiladi. Kvant mexanikasida tunnel samarasining mavjudligi yadrolarning yemirilishida, elektr maydonga kiritilgan qattiq jismlar sirtidan elektronlarning ajralib chiqishi («sovuq emissiya» hodisasi) hodisalarida to’la o’z tasdig’ini topgan
Nazorat savollari:
1. Potensial to’siq nima?
2. Tunnel samarasi?
3. Zarraning potensial to’siqdan o’tish ehtimoliyati?
4. To’siqning tiniqlik koeffisienti?