12-amaliy mashg‘ulot Mavzu: Ko‘p argumentli funksiyalar. (2 soat). Ta’rif

12-amaliy mashg‘ulot

Mavzu: Ko‘p argumentli funksiyalar. (2 soat).
Ta’rif. Agar x,y,z, ... ,t o‘zgaruvchilar qabul qila oladigan har bir qiymatlar to‘plamiga u o‘zgaruvchining muayyan qiymati mos kelsa, u miqdor x, y, z, … ,t bog‘liqmas miqdorlarning funksiyasi deb ataladi va u=f(x, y, z, ... , t) kabi yoziladi.

Ta’rif. u=f(x, y, z, ... , t) funksiyaning mavjudlik (aniqlanish) sohasi deb, x,y,z,...,t argumentlarning shunday qiymatlari sistemalari to‘plamiga aytiladiki, bunday har-bir qiymatlar sistemasi uchun u ning muayyan son qiymati to‘g‘ri keladi.

Masalan: funksiyaning aniqlanish sohasi x va y ning tenglikni qanoatlantiruvchi qiymatlaridan, ya’ni markazi koordinatalar boshida bo‘lib, radiusi 2 ga teng bo‘lgan doira ichidagi nuqtalardan iboratdir. Agar erkli o‘zgaruvchilar soni 2 ta bo‘lsa, u holda, z=f(x; y) ikki o‘zgaruvchili funksiya deyiladi.

Ta’rif. nuqtada z=f(x; y) funksiya argumentlarining cheksiz kichik o‘zgarishiga z ning cheksiz kichik o‘zgarishi mos kelsa, boshqacha aytganda tenglik bajarilsa z funksiya M nuqtada uzluksiz deyiladi.

Ta’rif. z=f(x; y) funksiyaning x argumenti bo‘yicha xususiy hosilasi deb, ushbu limitga aytiladi

bo‘ladi.

Shuningdek u argument bo‘yicha xususiy hosilasi

bo‘ladi.

Xususiy hosilalardan yana ketma-ket xususiy hosilalarni olsak z=f(x,y) funksiyaning yuqori tartibli xususiy hosilalari deyiladi.

Ko‘p argumentli funksiya ekstremumining zaruriy va yetarli shartlari. Ikki o‘zgaruvchili z=f(x;y) funksiya M(x;y) nuqtada ekstremumga ega bo‘lib, xususiy hosilalar mavjud bo‘lsa, u holda bo‘ladi (zaruriy shartlar).

Agar z=f(x;y) funksiyasining M nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi nolga teng bo‘lsa, ikkinchi tartibli hosilalarini shu M₀(x₀; y₀) nuqtadagi qiymatlarini

fdeb belgilaymiz. U holda:

1) bo‘lsa, nuqtada funksiya ekstremumiga ega bo‘lib, A<0 bo‘lsa maksimum, A>0 bo‘lsa minimum bo‘ladi.

2) Agar <0 bo‘lsa, ekstremumga erishmaydi.

3) Agar =0 bo‘lsa, nuqtada ekstremumga erishish yoki erishmasligini qo‘shimcha tekshirish kerak (etarli shart).

Misol. bo‘lsa, f(2;-3) nitoping.

Yechish. x=2, y=-3 niqo‘yib, f(2;-3) ni topamiz;



Misol.funksiyaning aniqlanish sohasini toping va chizmada tasvirlang.

Yechish. funksiyaning aniqlanish sohasi 1-x²-y²0 yoki x²+y²1 markazi koordinatalar boshida bo‘lib, radiusi 1 ga teng doiradan iborat. Shaklda tasvirlaymiz:

Misol. limitni hisoblang.

Yechish.

yoki

Misol. limitni hisoblang.

Yechish.

Demak, (0,0) nuqtaga x o‘qi bo‘ylab yaqinlashganda limit 0 ga, y o‘qi bo‘ylab yaqinlashganda limit 3 teng, u holda (0, 0) nuqtada limit mavjud emas.

Misol. Funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblang f (x, y)=x^y

Yechish..

Misol. Funksiyalarning xususiy hosilalarini toping.

Yechish. xususiy hosila hisoblanayotganda (y) ni o‘zgarmas deb qaraladi.

.

Endi (x) o‘zgaruvchini o‘zgarmas kattalik deb qaraymiz:

Misol. f (x, y) = x³+y³ funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari hisoblansin.

Yechish. ,

Demak, , ,

.