14-mavzu: Tajriba natijalarini ikki parametrli empirik formulalar asosida approksimatsiyalash. Reja

---

14-mavzu: Tajriba natijalarini ikki parametrli empirik formulalar asosida 

approksimatsiyalash. 

Reja: 

1.  Nyuton interpolyatsi formulasi. 

2.  Splayn interpolyatsiya. 

 

Nyuton interpolyatsi formulasi. 

Lagranj interpolyatsion ko‘phadi  universal  va sodda bo‘lishi bilan ayrim 

kamchiliklarga  ham  ega  ekan.    Xususan  interpolyatsion  ko‘pxadi  bo‘yicha 

funksiya qiymatini hisoblash uchun bajarilishi kerak bo‘lgan amallar juda ko‘p.  

 

Shuninigdek,  funksiya  qiymatlar  jadvaliga  yana  bir(x

n+1

;f(x

n

))  qiymat 

qo‘shilsa barcha ishni qaytadan bajarish kerak bo‘ladi.  Bu  kamchiliklardan xoli 

bo‘lgan interpolyatsion ko‘phad Nyuton tomonidan kashf qilingan.Biz  bu erda 

bevosita ko‘pxadni tuzish bosqichlari va jarayonini keltiramiz. Avvalo, bo‘lingan 

ayirmalar  tushunchasini  kiritamiz.  Funksiya  qiymatlar  jadvali  (x

i

;f(x

i

))i=0,1,2 

berilgan bo‘lsa birinchi tartibli bo‘lingan ayirmalar 

𝒇(𝒙

𝒊+𝟏

)+𝒇(𝒙

𝒊

)

𝒙

𝒊+𝟏

+𝒙

𝒊

= 𝒇(𝒙

𝒊

; 𝒙

𝒊+𝟏

);                (3)

 

Formulalar  bo‘yicha  xisoblanadi  .f(x

0

;x

1

),f(x

1

;x

2

),…,f(x

n-1

;x

n

)  ta  birinchi  tartibli 

bo‘lingan ayirmalar topilgach,  ikkinchi tartibli bo‘lingan ayirmalar 

 

𝒇(𝒙

𝒊

;𝒙

𝒊+𝟏

)−𝒇(𝒙

𝒊−𝟏

;𝒙

𝒊

)

𝒙

𝒊+𝟏

−𝒙

𝒊

= 𝒇(𝒙

𝒏−𝟏

; 𝒙

𝒏

)               (4) 

Formula  bo‘yichakiritiladi.  (3)  va  (4)  formulalar shu tartibda davom ettirilsa,  

3-,4-,...  tartibli bo‘lingan ayirmalar  ham  topiladi.  Umumiy  formula sifatida 

agar k-tartibli bo‘lingan ayirmalar ma’lum bo‘lsa k+1 –tatibli bo‘lingan ayirmalar 

 

𝒇(𝒙

𝒊+𝟏

;𝒙

𝒊+𝟐

;…;𝒙

𝒊+𝒌+𝟏

)−𝒇(𝒙

𝒊

;𝒙

𝒊+𝟏

;…;𝒙

𝒊+𝒌

)

𝒙

𝒊+𝒌+𝟏

−𝒙

𝒊

= 𝒇(𝒙

𝒊

; 𝒙

𝒊+𝟏

; … ; 𝒙

𝒊+𝒌+𝟏

)            (5) 

Formula bo‘yicha topiladi. 

 

Lagranj iterpolyatsion polinomi. 

---

Aytaylik biror f(x) funksiyaning qiymatlari jadval ko`rinishida berilgan bo`lsin. 

X 

x

0 

x

1 

… 

x

n 

Y 

y

0 

y

1 

… 

y

n 

Darajasindan katta bo`lmagan shunday L

n

(x) ko`phad topilishi kerakki, uning x

k 

nuqtalardagi  qiymatlari  jadval  ko`rinishida  berilgan  funksiyanin  qiymatlariga 

mos kelsin, ya`ni Ln(xk )=y

k

, k=0,…,n. 

Misol: f(x) funksiya jadval ko`rinishida berilgan: 

X 

0 

1 

3 

7 

y 

5 

4 

2 

1 

Yechish: 

>>sums x; 

>> maple(‘interp’,(‘[0,1,3,7],[5,4,2,1]’),x) 

ans= 

 1/56*x^3-1/14*x^2-53/56*x+5 

Ya`ni 

L

3

(x

k

)=1/56*x

3

-1/14*x

2

-53/56*x+5. 

Berilgan funksiya grafigini quramiz. 

>>stem([0 1 3 7],[5 4 2 1], ‘fill’) 

Natijalar quydagi oynada ko`rsatilgan. 

 

Hosil qilingan grafikda topilgan ko`phadning grafigini ham joylashtiramiz. 

>> hold 

>>ezplot(ans,-1,8) 

>>grid 

Natijalar quydagi oynada ko`rsatilgan. 

---

 

Jadval  ko`rinishida  berilgan  berilgan  funksiyaning  va  uning  uchun  aniqlangan 

Lagranj interpolyatsion polinomining grafiklari.