1,7 Чертежи точек, расположенных, в различных углах пространства

1,7 Чертежи точек, расположенных, в различных углах пространства

Две плоскости проекций – Н u V при их пересечении разделяют пространство на четыре части (четыре двухгранных угла). Такие двухгранные углы пространства называют также квадрантами, или четвертями.

На рис. 22 показана пространственная модель системы двух плоскостей проекций Н и V и точек А, В, С и D расположенных в различных углах пространства. Указаны проекции этих точек на плоскостях Н и V.
Точка А расположена в первом углу пространства, точка В-во втором, С-в третьем и D-в четвертом.
Чертежы точек, расположенных в различных углах пространства, предоставлены на рис. 23. Точка А находится в первом углу пространства. Она удалена от плоскости прекции Н на величину А_х А’, равную растаянию от ее горизонтальной проекции А’ до оси проекций и удалена от плоскости V на величину А_х А’, равную растоянию от ее горизонтальной проекции А’ до оси проекций.
Точка В находится во втором углу. Обе проекции этой точки(горизонтальная В’ и фронтальная B'') на чертеже распологаются на одной линии связи вище оси проекций.
Точка С находится в третьем углу. Здесь горизонтальная проекция С’ располагается выше оси проекций, а фронтальная проекция С”- ниже оси проекций.
Точка D находится в четвертом углу. Обе проекции этой точки располагаются ниже оси проекций. Таким образом, по расположению проекций точек относительно оси проекций можно судить о положении точек в пространстве, т.е. можно установить, на каких углах пространства они находятся.
Точка А, В, С, . . . пространства на элюре (на комплексном чертеже) называют их проекциями, т.е. A’A”; B’B”; C’C”; . . .
На рис. 23 представлены также и чертежи точек, занимающих некоторые частные (особые) положения. Так, точки 1’1’’; 2’2’’; 3’3’’ и 4’4’’ находятся в плоскостях проекций.
Точка 1’1’’ находится на передней поле плоскости Н; горизонтальная проекция 1 точки 1’1’’ распологается под осью и совпадает с точкой I пространства (I≡1’), а фронтальная -1” находится на оси прекций.
Точка 2’2” находится на задней поле плоскости Н; горизонтальная проекция 2’ точки 2” расположена над осью и совподает с самой точкой II пространства (II≡2’), а фронтальная – 2” находится на оси проекций.
Точка 3’3” находится на нижней поле плоскости V; фронтальная проекция 3” точки 3’3” расположена под осью и совпадает с точкой III пространства (III≡3”), а горизонтальная -3’ находится на оси проекций.
Точка 4’4” находится на верхней поле плоскости V; фронтальная проекция 4” точки
4’4” расположена над осью и совпадает с точкой IV пространства (IV≡4”), а горизонтальная -4’ находится на оси проекций.
Теорема. Если точка принадлежит плоскости проекций, то одна из ее проекций находится на оси, а другая совпадает с точкой.
Точка 5’5”(рис.23) принадлежит оси проекций. Обе ее проекции- 5’ и 5” совпадают и принадлежат оси.
Точки 6’6’’, 7’7”, 8’8” и 9’9” принадлежат биссекторным плоскостям- плоскостям делящим углы пространства пополам. Здесь горизонтальные и фронтальные проекции точек равноудалены от оси проекций.
Плоскость, делящую первый и третий углы пространства пополам, называют первой биссекторной плоскосью.
Плоскость, делящую второй и четвертый углы пространства пополам, называют второй биссекторной плоскостью.
Точки 6’6’’, 7’7” принадлежат первой биссекторной плоскости, точки 8’8” и 9’9”-второй биссекторной плоскости.
Теорема. Если точка пространства принадлежит биссекторной плоскости, то ее горизонтальная и фронтальная проекции павноудалены от оси.
Плоскости проекций Н, V, W образуют восемь трехгранных углов, которые называются октантами. Существует две системи счета октантов- правая и левая.
Каждая из осей проекций делится плоскостями H, v, W на две части. Обозначив точку пересечения трех осей буквой О, условимся левую от точки О часть оси х считать положительно направленной, а правую- отрицательно направленной; часть оси у , которая направлена от точки О к зрителю, - положительно направленной, а противоположную- отрицательно направленной; верхнюю от точки О часть оси Z- положительно направленной.
Ниже приводится(таблица 1 знаков координат) для восьми октантов:
_{Таблица 1}

октанты	Координаты
	X	Y	Z
	Знаки координат
1	+	+	+
2	+	-	+
3	+	-	-
4	+	+	-
5	-	+	+
6	-	-	+
7	-	-	-
8	-	+	-

Переход от пространственного изображения трех плоскостей проекций к комплексному чертежу осуществляется следуюшим образом. Сначало вращают вокруг оси [О Х) горизонтальную плоскость проекции Н до ее совмещения с фронтальной плоскость проекции V. Вращение производится в направлении движения часовой стрелки, если смотреть на ось Х слева (показано на рис.24, а стрелками k и l ). Затем вращают вокруг оси [О Z) профильную плоскость проекций W до ее совмещения с той же фронтальной плоскостю V. Это второе вращение производится в направлении против движения часовой стрелки, если смотреть на ось Z сверху (показано стрелками m и n).

Выполнив эти два совмещения, получим комплексный чертеж плоскостей проекций H, V и W (рис.24,б). Так как фронтальная плоскость проекций V, принимаемая нами за плоскость чертежа, остается неподвижной, то принадлежащие ей оси проекций [О Х) и [О Z) не изменяет своего положения и на комплексном чертеже. При совмещении плоскости Н с плоскостью V положительное направление оси [О У) совпадает с отрицательным направлением оси [О Z) и наоборот, отрицательное направление оси [О У) – с положительным направлением оси [О Z).
Рассматривая комплексные чертежи точек A, B, C u D, васположенных соответственно в 1, 2, 3 и 4, откантах, не трудно заметит, что профильные проекции этих точек размещаются в тех частях комплексного чертежа, номера которых совпадают с номерами октантов (рис.25). Так, проекция A''' точки А находится в верхней правой части комплексного чертежа, проекция В’’’ точки В – в верхней левой части чертежа, С’’’ точки С – в нижней левой части чертежа и, наконец, проекция D’’’ точки D – в нижней правой части чертежа. Знание этогопоможет быстрее ориентироваться при построении трех проекции точек, находящихся в первых четырех октантах, а также в определении по комплексному чертежу октанта, в котором расположена та или иная точка.
На рис.25 показаны точки E, F, K и M, находящиеся соответственно в пятом, шестом, седмом и восьмом октанте. Порядок построения комплексных чертежей этих точек тотже, что и для точек A, B, C и D, т.е. сначала строятся основные проекции этих точек на плоскост H и V, а затем их проекции на плоскость W способом, изложенным выше.
Итак, для подкрепления материала отметим, что:
Горизонтальные и фронтальные проекции точек, находящихся в 5, 6, 7 и 8 октантах, размещаются на комплексном чертеже в томже порядке, что соответствующие им по расположению в пространстве точки 1, 2, 3, и 4 октантов, а именно: проекции точек нечетных октантов (5 и 7) размещаются по обе стороны от оси [О Х), а проекции точек четных октантов (6 и 8) по одну сторону от оси [О Х);
Профильные проекции точек, находящихся в 5, 6, 7 и 8 октантах, размещаются в тех частях комплексного чертежа (рис.25), номера которых получаются вычитанием числа 4 из соответствующего номера октанта. Так, проекция Е’’’ точки Е пятого октанта размещена в верхней правой части комплексного чертежа, проекция F’’’ точки F шестого октанта – в верхней левой части чертежа, проекция K’’’ точки K седьмого октанта – в нижней левой части чертежа и, наконец, проекция М’’’ точки М восьмого октанта – в нижней правой части чертежа.
Так как координаты Х точек, находящихся в 5, 6, 7 и 8 октантах отрицательны, то горизонтальные и фронтальные проекции этих точек рамещаются на комплексном чертеже справа от оси [О Z).

Вопросы к 1-?

Что такое квадранты или четверти пространства?
Что такое октанты?
Какие знаки имеют координаты точек, расположенной в седьмом октанте?
Чем различаются между собой чертежи точек, из которых одна расположена в первой четверти, а другая – в третьей?