komiljon

МАВЗУ:Қарши бузилиш

Фильтрлаш вазифаси- сигнал ва шовқин йиғиндисида керакли сигналларни, яъни информация ташувчини бахолаш хисобланади. x_i(t) реализациядан ξ(t) – тасодифий сигнални минимал бузилишлар билан қайта тиклаш оптимал фильтрлашнинг биринчи меъзони хисобланади.

Фильтрлаш сифатининг катталиги фильтр чиқишидаги сигнални кўп реализация ўрта қийматидан квадратик оғиши билан белгиланади.
Бахолаш дисперсияси:
Фильтр чиқишида сигнал шовқин нисбати максимал бўлиши таъминланиши керак.
Узлуксиз сигналларни оптимал фильтрлашда унинг киришидаги га ишлов бериш натижасида фойдали сигнал дан энг кам фарқ қилувчи сигнални олишга эриши керак бўлади. Бу масала А.Н. Кольмогоров ва Н.Винерлар томонидан ечилган бўлиб, у қуйидаги дастлабки учта шартни бажаришни талаб қилади:
1) сигнал ва ҳалақит ларни стационар тасодифий жараёнлар бўлишини;
2) фильтрлаш – чизиқли электр занжирлари орқали амалга оширилади;
3) фильтрлашнинг оптималлиги кириш сигнали ва чиқиш сигнали орасидаги фарқ ўртача квадратик ҳатолик (фарқ) энг кам (минимал) бўлишини.
Фойдали сигнал ва ҳалақит стационар тасодифий жараён ва уларнинг автокорреляция функциялари ва маълум деб, чизиқли режимда ишловчи фильтрнинг импульс акс таъсири маълум деб ҳисоблаймиз. У ҳолда шундай функция ни топиш керакки у фильтрнинг реакцияси дан энг кам (минимал) фарқ қилиши керак, яъни


(11.2)

бунда, бўлганда бўлади деб фабул қилиш керак. Чиқиш сигнали Дюамел интеграли орқали қуйидагича аниқланади:

(11.3)


Кириш сигнали ва ҳатолик бир-бирига боғлиқ бўлмаган ўзаро корреляция функцияси нольга тенг бўлганда оптимал деб ҳисоблаймиз, яъни , яъни ҳатолик киришдаги фойдали сигалга боғлиқ эмас деб ҳисоблаймиз.
Чизиқли фильтр чиқишидаги фойдали сигнал ва ҳалақитни стационар тасодифий жараён деб, уларнинг энергетик спектрлари ва маълум деб ҳисоблаймиз. У ҳолда ҳам стационар тасодифий жараён бўлади, ҳатолик минимал бўлиши учун, ҳатолик сигнали энергетик спектри минимал бўлишлигига эришиш керак.
Ҳатолик ўртача квадрати қиймати унинг энергетик спектри орқали қуйидагича аниқланади:


(11.4)

бунда, - ҳатолик функцияси орқали аниқланади, - сигнал кечикиш вақти.

Дастлаб ҳатолик корреляция функциясини аниқлаймиз:


(11.5)

Сигнал корреляция функцияси ва энергетик спектри бир-бири билан Фурье тўғри ва тескари жуфт ўзгартиришлари орқали боғлиқларини эътиборга олиб (Винер-Хинчин формулалари) ҳатолик сигнали энергетик спектрини аниқлаймиз

(11.6)

Маълумки, чизиқли фильтр чиқишидаги сигнал сигнал энергетик спектри қуйидагича аниқланади:

(11.7)

бунда, - чизиқли фильтр узатиш коэффициенти.

Фойдали сигнал ва ҳалақит ўзаро боғлиқ эмаслиги учун


(11.8)


Энди, ва ўзаро спектрлари ва ни аниқлаймиз:


(11.9)

Чизиқли фильтр чиқишидаги сигнал Дюамел интеграли орқали қуйидагича аниқланади:

(11.10)


(11.10) ифодани (11.9) га қўйиб эканлигини; ва Фурье тўғри ва тескари ўзгартиришлари орқали бир-бирига боғлиқлигини эътиборга олиб қуйидагига эришамиз:


(11.11)

бунда, ни эътиборга олсак,

(11.12)

Энергетик спектр ҳақиқий катталик бўлгани учун (11.68) ифодадаги мавҳум кўрсаткич бўлиши керак, яъни

(11.13)

(11.13) ифода мослашган (оптимал) фильтр фаза-частотасини кириш сигнали частотасига пропорционал бўлишини талаб қилади. Шундай қилиб,

(11.14)

Худди шундай , бу ўзаро спектрлар бир-бирига тенглигидан келиб чиқади.

ифодасини ва (11.14) ни эътиборга олиб ҳатолик энергетик спектри учун қуйидаги тенгликни оламиз:


(11.15)

Энди нинг шундай қийматини топиш керакки натижада ва ўзининг энг минимал қийматига эришсин. Бунинг учун (11.15) ифодани қуйидаги шаклга келтирамиз

(11.16)

(11.16) ифоданинг биринчи ташкил этувчиси га боғлиқ, иккинчи ташкил этувчиси берилган (мавҳум) ва га боғлиқ. (11.16) ифода ўзининг энг кичик қийматига ўзининг биринчи ташкил этувчиси нольга тенг бўлганда эришади. Бунинг учун

(11.17)

ёки (11.13) ифодани эътиборга олсак,

(11.18)

(11.18) ифодадан (оптимал вильтр комплекс узатиш коэффициенти) фильтр киришидаги сигнал ва ҳалақитлар энергетик спектрлари орқали аниқланади ва унинг фаза характеристикаси кириш сигнали частотасига пропорционал бўлади.

Узлуксиз сигналлар учун ҳатолик энергетик спектри минимал қиймати қуйидагича аниқланади:


(11.19)

Оптимал фильтр чиқишидаги ҳатолик ўртача квадрати қиймати (11.19) ифода орқали ҳисобланади:

(11.20)

Оптимал (мослашган) фильтр чиқишидаги ҳатолик фақат ҳалақит бўлганда нольга тенг бўлади, яъни бўлганда, фойдали сигнал ва ҳалақит спектрлари бир-бири устига тушган умумий қисми бўлмаслиги керак.

Оптимал характеристикали фильтр қанча кичрайиб борса, шунча мос равишда камайиб бориши керак, яъни иложи борича фойдали сигнал ташкил этувчиларини ажратиб олиши керак. Фойдали сигнал ва ҳалақит энергетик спектрларининг ўзаро жойлашиш ҳолатлари 11.1-расмда келтирилган. Агар бўлса, бўлади, ҳатолик жуда катта бўлади, сигнални асл ҳолатда тўғри қайта акс эттириш (тиклаш) мумкин бўлмайди.

11.1-расм. Сигнал ва ҳалақит энергетик спектрларининг жойлашиши.

Одатда алоқа канали орқали узатилиши керак бўлган бирламчи нисбатан паст частотали сигналнинг спектр ташкил этувчилари амплитудалари маълум бир частотадан бошлаб камайиб боради ва бу узатилаётган юқори частотали модуляцияланган сигналидаги юқори частота спектр ташкил этувчилари учун - сигнал-ҳалақит нисбатининг ёмонлашишига олиб келади, натижада сигнални қайта тиклашдаги ҳатолик ошади. Бу ҳолатни олдини олиш учун узатилаётган бирламчи паст частотали сигнал махсус коррекцияловчи (чизиқли электр занжирлар) қурилмадан ўтказиб, сунъий равишда нисбатини ошириш таъминланади. Сигнал қабул қилгичдан сўнг у оҳирги акс эттирувчи қурилма (радиокарнай, қабуллуш телевизион трубкаси, ва ҳ.к.) га беришдан олдин дастлабки ҳолатга келтириш учун тескари коррекция амалга оширилади (11.2-расм).

11.2-расм. Сигналга тўғри ва тескари коррекция киритиш.

Дискрет хабарлар манбаи чиқишида u₁, u₂, u₃…u_i ҳабарларни P(u₁), P(u₂), P(u₃)…P(u_i) эҳтимоллик билан пайдо бўлади. Узатиш томонида модуляция натижасида ушбу хабарлар мос сигналлар s₁(t), s₂(t), s₃(t)…s_i(t) сигналларга айлантирилади, уларнинг узатиш қурилмаси чиқишида пайдо бўлиш эҳтимоллиги u_1, u₂, u₃…u_i ҳабарларнинг пайдо бўлиш эҳтимоллигига тенг, яъни P(s₁), P(s₂), P(s₃)…P(s_i) бўлади. Бунда табиийки, s₁(t), s₂(t), s₃(t)…s_i(t) сигналларнинг пайдо бўлиш эҳтимоллиги хабарларнинг пайдо бўлиш априор эҳтимоллигига тенг, яъни P(s₁)=P(u₁), P(s₂)=P(u₂)… P(s_i)=P(u_i) бўлади. Узатиш жараёнида сигнал s_i(t) га ҳалақит w(t) таъсир этади, натижада СҚҚ киришига x(t)=s_i(t)+w(t) шаклидаги фойдали сигналлардан бирига аддитив қўшилган G_x(ω)=N₀/2 спектори бўйича бир текис тарқалган қувватга эга ҳалақит таъсир этади.

Фойдали сигнал s_i(t) ҳалақит w(t) ва x(t) маълум бир оралиқ, (0t (13.1)
(13.2)
(13.3)
бунда,
; ; (13.4)


СҚҚ киришидаги ҳалақит w(t) эҳтимоллик нормал тақсимот қонунига бўйсунгани учун w(t) нинг ортогонал ташкил этувчилари Фурье коэффицентлари ҳам ўртача қиймати нолга тенг бўлган нормал тақсимот қонунига бўйсунади ва унинг дисперцияси δ_i²=w_l²= га тенг бўлади, яъни

(13.5)
Сигнал ва ҳалақитнинг йиғиндиси ҳам сигнал ўртача қиймати бўлган нормал тақсимот қонунига бўйсунади ва дисперсияси ҳалақит дисперциясига тенг бўлади, яъни
(13.6)
Ҳалақит w(t) ташкил этувчилари w_c лар бир-бирига боғлиқ бўлмаганликлари учун х_l нинг кўп ўлчамли эҳтимоллик шартли тақсимоти P(s_i/x) унинг бир ўлчамли тақсимотлари (13.6) кўпайтмасига тенг бўлади.


(13.7)

Ушбу (13.7) ифодани Байс формуласи

(13.8)
га киритиб Котельников оптимал СҚҚ шарти учун қуйидаги тенгсизликни оламиз
(13.9)
(13.9) ифодани логарифмлаш натижасида қуйидагини оламиз
(13.10)

(13.1), (13.2) ва (13.3) ифодаларни эътиборга олиб,

(13.11)


(13.12)

(13.11) ва (13.12) ифодаларни квадратга ошириш, вақт бўйича ўрталаштириш ва  функцияларнинг ортогоналлигини эътиборга олсак, қуйидаги ифодани оламиз

(13.13)

Юқоридагиларни эътиборга олганда Котельников оптимал СҚҚ шарти қуйидаги шаклга келади.

(13.14)

(13.14) шарт бажарилганда СҚҚ чиқишида сигнал, акс ҳолда сигнал акс этади.

Агар алоқа канали орқали узатилаётган турли сигналларнинг узатилиш априор эҳтимолликлари бир хил, яъни ( деб ҳисобласак, Котельников СҚҚ оптимал шарти янада соддалашади.


, (13.15)

(13.15) шарт бажарилганда СҚҚ чиқишида сигнал, акс холда сигнал акс этади.

Шундай қилиб узатилаётган сигналларнинг узатилиш эҳтимолликлари бир хил бўлса, оптимал СҚҚ чиқишида қабул қилинган дан энг кам ўртача квадратик фарқланувчи сигнал акс этади.
(13.15) тенгсизлик квадрат ва қавсларни очиш натижасида қуйидаги кўринишни олади:


. (13.16)


Агар узатиладиган сигналларнинг энергияси бир хил бўлса, яъни =, =, бўлса, у ҳолда (13.14) ифода янада соддалашади,
. (13.17)
Бу ҳолда Котельников оптимал СҚҚ чиқишида қабул қилинган сигнал билан энг катта ўзаро коррекцияга эга бўлган, узатилиши эҳтимол бўлган сигналлардан бири акс этади.
Алоқа канали орқали ва сигнали узатилиши мўлжалланган бўлса (13.15) ифодада келтирилган алгоритмни бажаришга асосланган Котельников оптимал СҚҚ қуйидаги кўринишга эга бўлади (13.1-расм).

13.1-расм. Котельников оптимал СҚҚ структуравий схемаси. А-айириш, КВ-квадратга ошириш, тқ-таққослаш қурилмалари.

Иккилик сигнал узатиш алоқа тизими учун (13.17) ифодада келтирилган алгоритмни бажаришга асосланган Котельников оптимал СҚҚ қуйидаги кўринишга эга бўлди (13.2-расм).

13.2-расм. Котельников корреляцион оптимал СҚҚ структуравий схемаси. х-кўпайтиргич, И-интегратор, ТҚ-таққослаш қурилмаси.

Иккилик сигнал узатиш алоқа тизимида (13.17) ифодадаги қавсни очиб Котельников оптимали СҚҚ учун қуйидаги шартни олиш мумкин

(13.18)


ёки
. (13.19)


бунда ва сигналлар ва энергиялари.
Иккилик сигнал узатиш алоқа тизими учун оптимал СҚҚ (13.18) алгоритм асосида амалга оширилса қуйидаги кўринишга эга бўлади (13.3-расм).

Бу алгоритм амалга оширилганда ТҚ интегратор чиқишидаги қийматни ва сигналлар энергиялари фарқининг ярмига тенг сатҳ билан таққослаш натижасида қарор қабул қилади. Агар сигналлар энергияси бир хил бўлса, унда ТҚ таққослаш бўсағаси нолга тенг бўлади, оптимал СҚҚ структуравий схемаси янада соддалашади (13.3-расм).

(13.20)

13.3-расм. Сигналларни фарқлашга асосланган оптимал СҚҚ структуравий схемаси. X-кўпайтиргич, И-интеграллаш, ТҚ-таққослаш, А-айириш қурилмалари.

Шундай қилиб, оптимал СҚҚ оддий корреляцион когерент қабул қилишга эквивалент экан.

Оптимал СҚҚни мослашган (оптимал) триггерлар ёрдамида ҳам амалга ошириш мумкин, бунда хар бир ва сигнал билан мослашган, импульс акс тасирлари  ва бўлган МФ₁ ва МФ₂ лардан ва ТҚдан иборат бўлади.

13.4-расм. Мослашган фильтрлар ёрдамида оптимал СҚҚ структуравий схемаси.

Агар канал орқали -та турли сигнал узатилиши режалаштирилган бўлса, оптимал СҚҚ шунга мос равишда -та каналли корреляторлардан ёки -та мослашган фильтрлардан иборат бўлади. Бундай оптимал СҚҚ чиқишида қайси бир коррелятор чиқишида бошқаларга нисбатан энг ката қиймат, яъни ўзаро корреляция натижаси ҳосил бўлса, ёки мослашган -фильтрларнинг қайси бири чиқишида энг катта кучланиш пайдо бўлса шу сигнал рўйхатдан ўтади. Одатдаги рақамли тизимларда 2 хил ва сигнал (0 ва 1) АМ, ЧМ, НФМ сигналлар ёрдамида узатилади, натижада оптимал СҚҚ икки каналли бўлади.