2. 1 What is a “signal”?


Download 0.84 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/7
Sana18.09.2020
Hajmi0.84 Mb.
1   2   3   4   5   6   7

2.6.1  

Calculate: 

0

(

)



( )

t

t

s t dt

+



−



 

2.6.2  

Calculate: 

( )


0

0

(



)

0

/ 2



T

t

t

t dt

t

T

+



−

− 


 

 



2.6.3  

Calculate:  



0



0

1

sin(2



/

)

2



t T

t T dt



+

−







 



0



0

1

cos(2



/

)

2



t T

t T dt



+

−







 



 

 

 

 



Signals and Systems – Poggiolini, Visintin – Politecnico di Torino, 2018/2019 

2.6.4  

Verify the results of the following integrals involving delta.  

 

0

0



(

)

(2 )



(2 )

t

t

s t dt

s t

+



−



=

 



(

)

( )



(0)

t

s t dt

s

+



−

− 


=

 



( )

1

1



(

)

(



)

t

s t

t dt

s t

+



−

− 


=



 

0

0



(

)

( )



( )

t

t

s t dt

s t

+



−

− 


=

 



(



)

0

0



1

2

( )



( )

2

t t



s t dt

s t

+



−



=

 



2.6.5  

Verify the results of the following integrals involving delta.  

 

(

)



0

1

1



0

2

(



4 )

2 (


8 )

t

t

s t

t dt

s t

t

+



−



=



 

(



)

0

1



0

1

( )



(

)

t



t

t

s t dt

s t

t

+



−

− +


=



 

(



)

0

1



1

0

(



)

(

)



t

t

t

s

t dt

s t

t

+



−

− +


 −

=



 

(



)



1

0

0



1

1

(



)

t

t

t

t

t

s

t dt

s

 





+

−



− +



 −

=





 

 



 

 

 



Signals and Systems – Poggiolini, Visintin – Politecnico di Torino, 2018/2019 

2.6.6  

Can the following expression be simplified in any way? 

 

(

)



0

0

0,



0

a t

e

t

t

a

t

− 





 

2.6.7  

Read the chapter and then try to prove that: 

 

( )



dist

0

lim



( )

T

T

t

t

T



=

 



2.6.8  

Given the signal 

( )

sin(27.5


)

s t

t

=



  , find its frequency and 

its period. How many maxima of the signal can be found over 

the  interval 



0,100

  (s)  ?  How  long  does  it  take  for 

( )

s t   to 

complete 32 full cycles? 

 


 

 

 



Signals and Systems – Poggiolini, Visintin – Politecnico di Torino, 2018/2019 

Chapter 3.  Energy and Power 

of Signals 

 

In  this  chapter  we  first  introduce  the  important  concept  of 



“time-average”  and  then  we  provide  the  basic  mathematical 

definitions of “energy” and “power” for signals. We also show 

a  few  examples,  some  of  which  are  related  to  actual  physical 

phenomena. Finally, we introduce a special signal classification 

based on “energy” and average power”. 

3.1 

Time Averages 

Let  us  define  the time-average  operator for  a signal  over a 

time interval 

 


0

1

,



t t

=

I

 as follows

6



1



0 1

0

,



1

0

1



( )

( )


( )

t

t t

t

s t

s t

s t dt

t

t

=

=





I

 

Eq. 3-1 

                                                 

 

6

 In this course, when specifying an interval as 



 

0

1



,

t t

=

I

, the lower limit 

is always smaller than the upper limit, that is: 

0

1

t



t

. This also ensures that 



1

0

0



t

t

− 


 . 

 

 

 



Signals and Systems – Poggiolini, Visintin – Politecnico di Torino, 2018/2019 

 

Note that the result of the time-average operator is not a signal 



but just a number.  

Time-averages  are  of  interest  in  many  practical  cases.  For 

instance,  when  a  “cause”  and  an  “effect”  are  related  in  time 

through  an  integral,  the  time-average  tells  us  what  constant 

“cause”  would  generate  the  same  “effect”  as  the  actual  time-

varying “cause”. The following problem will clarify this aspect.  



3.1.1.1 Problem 

There is a water tank which is filled by a faucet whose water 

output is irregular (not constant over time) and is represented by 

a function of time 

( )

s t  (in  

l/s , liters per second).  

1.  Assuming the tank was empty at time 

0

t

, we want to 

know how to compute the total water accumulated in 

the tank over the interval: 

 


0

1

,



t t

=

I

2.  We  would  like  to  know  what  constant  water  output, 



which we could  write as: 

( )


( )

1

z t



t

= 



, would have 

the same effect (fill the water tank to the same level) as 

( )

s t  over the same time interval 

 

Solution 

Simple physical arguments suggest that the water accumulated 

in the tank at time 

1

t

 would be: 

 


 

 

 



Signals and Systems – Poggiolini, Visintin – Politecnico di Torino, 2018/2019 

1

0



( )

t

t

W

s t dt

=



 

where W is liters, 

l.  

We now would like to know what constant water output would 



have the same effect. That is, assuming the faucet had a constant 

output 


, in 


l/s, what value should 

 need to have, in order for 



the faucet to output the same amount of water over the same 

interval 

 

0

1



,

t t

=

I

 ? 

 

Fig. 3.1: plot of a signal 



( )

s t

 in 

l/s over 

 

0,1




  

and of the signal 

 


( )

0,1


( )

1

s t



t



  

 

0

0.1



0.2

0.3


0.4

0.5


0.6

0.7


0.8

0.9


1

0

0.5



1

1.5


2

2.5


3

3.5


4

 [s]


t

( )


s t

( )


 

( )


0,1

1

s t



t



 

 

 



Signals and Systems – Poggiolini, Visintin – Politecnico di Torino, 2018/2019 

The answer is that the value of 

 should be equal to the time-



averaged  water  output  of 

( )


s t

  over 


 

0

1



,

t t

=

I

,  that  is: 



,

0 1


( )

t t

s t

=



. In other words, a faucet with constant output: 

( )


,



0 1

( )


1( )

t t

z t

s t

t

=



 

would  accumulate  the  same  number  of  liters  W  in  the  tank  as 

( )

s t

, over 


 

0

1



,

t t

=

I

.  

To prove this, we perform a direct calculation. We assume a 



constant water output 

1( )


t



 over the interval 

 


0

1

,



t t

=

I

, where 

 is set to be equal to the time-average of 



( )

s t



,

0 1



( )

t t

s t

=



Then, the amount of water 



  output by such a constant source 

would be: 

 

( )


( )



(



)

(

)



(

)

1



1

,

,



0 1

0 1


0

0

1



1

0

0



1

0

1



0

1

0



1

( )


1

( )


1

( )


( )

t t

t t

t

t

t

t

t

t

t

t

W

t dt

s t

t dt

s t

t

t

s t dt t

t

s t dt

W

t

t

 =



=



=

 −


=

 −


=

=





 

 



which proves that indeed W

W

 =   


This example is also illustrated in Fig. 3.1, where the average 

water output of 2.03 

l/s (red plot) produces the same tank filling 

as  the  variable  water  output 

( )

s t

  (blue  line)  over  the  interval 

 

0,1


=

I

 



 

 

 



Signals and Systems – Poggiolini, Visintin – Politecnico di Torino, 2018/2019 

Averages can be extended in time at will, over larger and larger 

intervals. However, if one wants to actually extend an average 

over  the  whole  of 

,  then  a  problem  is  incurred:  the  factor 

(

)



1

0

t



t

  goes  to  zero  as 



0

→ −

  and 


1

→ +

.  So,  it  is 

necessary to introduce a limit operator: 

 

1



0

0

1



1

0

1



( )

lim


( )

t

t

t

t

s t

s t dt

t

t

→−


→+

=



 

 

When averaging over the whole of 

 it is convenient to define 

a single time parameter 

T

, which can replace 

0

1

,



t t

 since there is 

no  need  to  keep 

0

1



,

t t

  distinct  as  they  respectively  go  to 

 . 

Doing so we get: 



2

2

1



( )

lim


( )

T

T

T

s t

s t dt

T

→



=

 



 

Note that there is no guarantee that such an average converges 

to a single and finite value.  

 

On your own:  find the average of: 



1.   

( )


 t

  

2. 



( )

cos 2 t

  

3. 



( )

2

cos 2 t



  

over the intervals 



1,1



= −

I

 and 


,



= − 



 



 

 

 



Signals and Systems – Poggiolini, Visintin – Politecnico di Torino, 2018/2019 

Solutions 

1. 


1

2

 ,  0 



2.  0,  

( )


lim Sinc

0

T



T

→

=  



3. 

1

2



,  

( )


1

1

1



lim Sinc 2

2

2



2

T

T

→

+



=  

3.2 

Instantaneous and Time-

Averaged Power 

Let us define the instantaneous power of a signal 

( )

s t

 as:   


 

2

( )



( )

s

P t

s t

=

 



 

Although  we  introduce  it  as  a  mathematical  definition,  it  is 

consistent with many physical situations. For instance, assuming 

( )


s t

 to be a current in Ampère (A), then the instantaneous power 

delivered by such a current into a resistor 

R

 would in fact be: 

 

2

( )



( )

s

P t

s t

R

=



 

 

The constant  resistance 



R

  is  there to  adjust dimensions and 

make  the  result  appear  as  Watts  (W),  but  the  key  fact  is  that 

power  is  physically  proportional  to  the  square  of  the  current 



 

 

 



Signals and Systems – Poggiolini, Visintin – Politecnico di Torino, 2018/2019 

“signal”, and this is consistent with the mathematical definition 

that we have given. 

Note  that 

( )

s

P t

  is  a  signal  itself,  so  we  can  take  its  time-

average. By combining the definition of instantaneous power of 

a signal and that of time-average, we obtain the time-averaged 



power of a signal 

( )


s t

 over a certain interval 

 

0

1



,

t t

=

I

 as: 





1

1

0 1



0

0

2



,

1

0



1

0

1



1

( )


( )

( )


t

t

s

s

t t

t

t

P t

P t dt

s t

dt

t

t

t

t

=

=





 

Eq. 3-2 

 

In the following we will use a specific notation to indicate this 



quantity: 

( )


 

s t

I

P



As shown in Sect. 3.1, time-averages can be extended to the 

whole  of 

.  This  allows  us  to  introduce  the  very  important 

concept of time-averaged power of a signal 

( )

s t

 over all time

 

( )


 

2

2



2

2

2



1

1

( )



lim

( )


lim

( )


T

T

s

s

T

T

T

T

s t

P t

P t dt

s t

dt

T

T



→

→

=



=

=



P

 



 

Again,  there  is  no  guarantee  that  this  limit  converges  to  a 

single or finite value. 

3.2.1 Examples 

Let us calculate the average power of the signal 

( )

0

T



t

 over 



the interval 



/ 2,

/ 2


T

T

= −


I

, assuming 

0

T

T

 : 


 

 

 



Signals and Systems – Poggiolini, Visintin – Politecnico di Torino, 2018/2019 

 



( )


( )



( )



( )

 


0

0

0



0

0

0



0

/ 2, / 2


/ 2

2

2



/ 2

/ 2, / 2


/ 2

/ 2


0

/ 2


/ 2

1

1



1

1

T



T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

t

t

t

dt

T

T

t dt

t

T

T

T





=

= 



=

=



=

=



P

 



 

Note that, if the observation interval time-length 



T

 grows, then 

the  average  power  tends  to  decrease  steadily.  If  the  average 

power is assessed over the whole of 

, it actually goes to zero 

(do the calculation on your own ). 

We  now  want  to  consider  the  signal 

( )


a t

e u t



0

 .  We 

consider the interval 



/ 2,



/ 2

T

T

= −


Download 0.84 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling