2. Funktsiya grafigining qavariqligi va botiqligi. Funktsiya grafiginiң asimptotalari

8-Ma’ruza. Mavzu: Funksiyani hosila yordamida tekshirish va grafigini yasash. (Ekstremum, qavariqlik va botiqlik, asimptotalar).


Reja.
1. Funktsiyaning ekstremum qiymatlarini topishda hosilaning tadbiqi.
2. Funktsiya grafigining qavariqligi va botiqligi.
3. Funktsiya grafiginiң asimptotalari.


funktsiya intervalda aniqlangan bo’lib, bo’lsin.
1-ta’rif. Agar nuqtaning shunday atrofii mavjud bo’lsaki, uchun

Tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda funktsiya nuqtada maksimumga (minimumga) ega deyiladi, qiymat funktsiyaning dagi maksimum (minimum) qiymati yoki maksimumi (minimumi) deyiladi.
2-ta’rif. Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo’lsaki, uchun

Tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda funktsiya nuqtada qat’iy maksimumga (qat’iy minimumga) ega deyiladi, qiymat funktsiyaning dagi qat’iy maksimum (qat’iy minimum) qiymati yoki qat’iy maksimumi (qat’iy minimumi) deyiladi.


1. Ekstremumning zaruriy sharti.
1-teorema. Agar funktsiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lib, bu nuqtada ekstremumga erishsa, u holda

bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, funktsiya nuqtada maksimumga erishsin. Demak, ta’rifga ko’ra nuqtaning atrofii mavjudki, ixtiyoriy da bo’ladi. U holda Ferma teoremasiga ko’ra bo’ladi.
Bu teorema funktsiya ekstremumga ega bo’lishining zaruriy shartini ifodalaydi.
2. Ekstremumning etarli shartlari.
funktsiya intervalda berilgan bo’lib, nuqtada uzluksiz, uning atrofida chekli hosilaga ega bo’lsin. Ushbu


belgilashlarni kiritaylik.
a) Agar
tengsizliklar o’rinli bo’lsa, ya’ni funktsiya nuqtadan o’tishda ishorasini “+” dan “-”ga o’zgartirsa, u holda funktsiya nuqtada maksimumga ega bo’ladi.Haqiqatan ham, bo’lishidan funktsiyaning da qat’iy o’suvchiligi kelib chiqadi. So’ngra funktsiyaning da uzluksiz bo’lishidan
,
tenglik kelib chiqadi.
Demak, tengsizlik o’rinlidir.
Endi bo’lishidan da funktsiyaning qat’iy kamayuvchanligi kelib chiqadi. funktsiyaning nuqtada uzluksizligidan esa tenglik hosil bo’ladi.
Demak, tengsizlik bajariladi.
Bundan,
uchun bo’lib, bu esa funktsiyaning nuqtada maksimumga ega bo’lishini bildiradi.

b)

tengsizliklar o’rinli bo’lsa, ya’ni ya’ni funktsiya nuqtadan o’tishda ishorasini “-” dan “+”ga o’zgartirsa, u holda funktsiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.Haqiqatan ham, bo’lishidan funktsiyaning da qat’iy kamayuvchiligi, da qat’iy o’suvchanligi kelib chiqadi. So’ngra funktsiyaning da uzluksizligini hisobga olsak, uchun
tenglikka ‘ga bo’lamiz. Bu esa funktsiyaning minimumga ega bo’lishini bildiradi.

v) Agar

yoki
tengsizliklar o’rinli bo’lsa, ya’ni hosila nuqtadan o’tishda ishorasini o’zgartirmasa, u holda funktsiya da ekstremumga ega bo’lmaydi. funktsiya nuqtaning atrofida qat’iy o’suvchi yoki qat’iy kamayuvchi bo’ladi.
Misol. Ushbu funktsiyani ekstremumga tekshiring.
funktsiyaning statsionar (kritik) nuqtasi. Endi nuqta atrofida funktsiya hosilasi ishorasini o’zgartirishini tekshiramiz:
Ravshanki,

uchun


uchun

Demak, funktsiyaning hosilasi nuqtadan o’tishda o’z ishorasini «-» dan «+» ga o’zgartirar ekan. Berilgan funktsiya nuqtada uzluksiz. SHunday qilib, funktsiya nuqtada minimumga erishadi.

bo’ladi.

Eslatma. YUqorida keltirilgan ekstremuining etarlilik sharti qaralayotgan funktsiya hsilasining statsionar nuqta atrofida ishorasini aniqlash bilan ifodalanadi. Ko’pincha nuqtaning atrofida ning ishorasini aniqlash qiyin bo’ladi. Agar funktsiya nuqtada yuqori tartibli hosilalarga ega bo’lsa, hosilalarning nuqtadagi qiymatlari ishorasiga qarab ham funktsiya ekstremumini tekshirish mumkin.

funktsiya nuqtada hosilalarga ega bo’lib,

bo’lsin. Agar juft son, ya’ni bo’lib, tengsizlik o’rinli bo’lsa, funktsiya nuqtada maksimumga (minimumga) ega bo’ladi, agar toq son, ya’ni bo’lsa, funktsiya nuqtada ekstremumga ega bo’lmaydi.

2. Funktsiya grafigining qavariqligi va botiqligi.

funktsiya intervalda berilgan bo’lib, shu intervalda chekli hosilaga ega bo’lsin. U holda funktsiya grafigiga ixtiyoriy nuqtada urinma mavjud. Bu urinma bo’lsin.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy nuqtalar, hamda uchun bo’lsa, funktsiya grafigi intervalda botiq (qavariq) deyiladi. (1-rasm).



1-rasm
2-teorema. Agar funktsiya intervalda ikkinchi tartibli hosilaga ega bo’lib,

bo’lsa, funktsiya grafigi intervalda botiq (qavariq) bo’ladi.

Isbot. Faraz qilaylik, intervalda bo’lsin. intervalda ixtiyoriy s nuqta olamiz. Teoremani isbotlash uchun funktsiya grafigi nuqtadan o’tuvchi uriamadan yuqorida yotishini ko’rsatishimiz kerak.(2-rasm).

2-rasm
Urinmadagi o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari bo’lsin. U holda nuqtadan o’tuvchi urinma tenglamasi:
(1)

Endi funktsiyaning nuqta atrofida Teylor formulasi bo’yicha yoyamiz:

(2)
(1) va (2) tengliklardan,

Ekanligini topamiz. ning manfiy bo’lmasligini e’tiborga olsak, uchun ya’ni tengsizligi hosil bo’ladi. Bu esa funktsiya grafigi intervalda (1) urinmadan yuqorida yotishini, ya’ni botiq ekanligini bildiradi.
4-ta’rif. Agar funktsiya araliqda qavariq (botiq) bo’lib, araliqda botiq (qavariq) bo’lsa, u holda nuqta funktsiya grafigining (funktsiyaning) egilish nuqtasi deyiladi.