2-ma’ruza матрицалар ва улар устида арифметик амаллар. Reja

2-ma’ruza

МАТРИЦАЛАР ВА УЛАР УСТИДА АРИФМЕТИК АМАЛЛАР.

Reja

1. 
   Matritsaga doir asosiy tushunchalar.
   
2. 
   Matritsalar ustida arifmetik amallar.
   
3. 
   Matritsalar ustida elementar almashtirishlar.
   

Tayanch soʻz va iboralar: matritsa, satr matritsa, ustun matritsa, satr-vektor, ustun-vektor, nol matritsa, teng matritsalar, zanjirlangan matritsalar, kvadrat matritsaning bosh diagonali, diagonal matritsa, skalyar matritsa, birlik matritsa, transponirlangan matritsa, simmetrik matritsa, qiya simmetrik matritsa.
Matritsa tushunchasi va unga asoslangan matematikaning “Matritsalar algebrasi” boʻlimi amaliyotda, jumladan, AKT va dasturlashda katta ahamiyat kasb etadi. Bu shu bilan tushuntiriladiki, aksariyat dasturlash obyekt va jarayonlarning matematik modellari matritsalar yordamida sodda va kompakt koʻrinishida tasvirlanadi.

Matritsa tushunchasi birinchi marta ingliz matematiklari U.Gamilton (1805-1865-y.y.) va A.Kel (1821-1895 y.y.) ishlarida uchraydi. Hozirgi kunda matritsa tushunchasi tabiiy va amaliy jarayonlarning matematik modellarini tuzishda muhim vosita sifatida qoʻllaniladi.

1-ta’rif. Matritsa deb ta satr va ta ustunga ega boʻlgan qavslar ichiga olingan toʻrtburchakli sonlar jadvaliga aytiladi.

Matritsalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi. Masalan,

Matritsani tashkil qilgan sonlar uning elementlari deyiladi. Matritsa oʻlchami kabi yoziladi. Matritsaning satr, ustun kesishmasidagi element kabi belgilangan. Demak, 3 - satr va 4 - ustin kesishmasida joylashgan elementdir.

Ba’zida matritsalarni yozishda (...) qavslar oʻrniga [...] qavslar yoki ||...|| kabi belgilardan foydalaniladi.

() oʻlchamli matritsaga satr matritsa, () oʻlchamli matritsaga esa ustun matritsa deyiladi, ya’ni

,

Bundan tashqari ba’zida bu matritsalar mos ravishda satr-vektor va ustun-vektor deb ham ataladi. Matritsaning elementlari esa vektorlarning komponentlari, deyiladi.

Har bir elementi nolga teng boʻlgan, ixtiyoriy oʻlchamli matritsaga nol matritsa deb aytiladi va quyidagi koʻrinishda boʻladi:

2-ta’rif. va matritsalar bir xil oʻlchamga ega boʻlib, ularning barcha mos elementlari oʻzaro teng boʻlsa, bunday matritsalar teng matritsalar deyiladi va koʻrinishda yoziladi.

1-misol. Quyidagi matritsaviy tenglikdan va noma’lumlarning qiymatlarini toping:



Yechish. Matritsalarning mos elementlarini taqqoslab quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:

.

3-ta’rif. matritsaning ustunlari soni matritsaning satrlari soniga teng boʻlsa, matritsa matritsa bilan zanjirlangan matritsa deyiladi.

Masalan, va matritsalar zanjirlangan matritsalar boʻladi. Chunki, matritsaning oʻlchami ga, matritsaning oʻlchami ga teng.

Shuni ta’kidlash lozimki va matritsalar zanjirlangan emas. Chunki, matritsaning ustunlari soni 2 ga, matritsaning satrlari soni 3 ga teng boʻlib, oʻzaro bir xil emas.

4-ta’rif. Ham satrlar soni, ham ustunlar soni ga teng boʻlgan, ya’ni oʻlchamli matritsa tartibli kvadrat matritsa deyiladi.

Masalan, matritsa 4-tartibli kvadrat matritsadir. Kvadrat matritsaning elementlarning tartiblangan tо‘plami kvadrat matritsaning asosiy diagonali deyiladi. Agar kvadrat matritsada munosabat bajarilganda boʻlsa, u holda matritsa yuqori (quyi) uchburchakli matritsa deyiladi.

kvadrat matritsada boʻlganda, boʻlganda, boʻlsa, u holda matritsaga diagonal matritsa deyiladi ya’ni

Agar diagonal matritsaning barcha diagonal elementlari oʻzaro teng boʻlsa, u holda bunday matritsaga skalyar matritsa deyiladi ya’ni

Agar skalyar matritsada boʻlsa, u holda bunday matritsaga birlik matritsa deyiladi va odatda harfi bilan belgilanadi, ya’ni

Oʻlchamlari aynan teng boʻlgan matritsalar ustidagina algebraik qoʻshish amali bajariladi.

Oʻlchamlari aynan teng boʻlgan

va

matritsalarni qoʻshish uchun, ularning mos elementlari qoʻshiladi, y’ani

Matritsani biror haqiqiy songa koʻpaytirish uchun bu son matritsaning har bir elementiga koʻpaytiriladi, y’ani

Ikkita matritsa ayirmasi quyidagicha topiladi: