2-Ma`ruza. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraluvchi differentsial tenglamalar. Tayanch so`z va iboralar

2-Ma`ruza. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraluvchi differentsial tenglamalar.

Tayanch so`z va iboralar: Birinchi tartibli differentsial tenglamalar, O’zgaruvchilari ajralgan va ajraluvchi differentsial tenglamalar. Bir jinsli differentsial tenglamalar, fundamental yechimlari sistemasi, xarakteristik tenglama, umumiy yechim, xususiy yechim.
Reja.
1. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar, umumiy tushunchalar.
2. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraluvchi differentsial tenglamalar.
3. Bir jinsli tenglamalar.
4. Bir jinslikka keltiriladigan differentsial tenglamalar.

2.1. Umumiy tushunchalar. Birinchi tartibli differentsial tenglama quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
. (1)
Ko’pincha uni ga nisbatan yechib olib,
(2)
ko’rinishga keltirib olish mumkin.
(2) ko’rinishdagi tenglamalar yechimlari uchun mavjudlik va yagonalik shartlarini beruvchi quyidagi teorema o’rinli.
Teorema. Agar (2) tenglamaning o’ng tomonidagi funk-tsiya biror nuqtani o’z ichiga oluvchi sohada uzluksiz va bo’yicha uzluksiz differentsiallanuvchi bo’lsa, u holda (2) tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud.
Geometrik nuqtai-nazardan teorema grafigi berilgan nuqtadan o’tuvchi yagona funktsiya mavjudligini bildiradi.
Bu teoremadan differentsial tenglamaning yechimlari cheksiz ko’p bo’lishligi kelib chiqadi, chunki sohada har xil nuqtalar olsak, ulardan o’tuvchi mos yechimlar har xil bo’ladi.
shart boshlang’ich shart, deyiladi. Uni quyidagi

ko’rinishda ham yoziladi.
1-Ta’rif. 1-tartibli differentsial tenglamaning umumiy yechimi deb shunday
(3)
funktsiyaga aytamizki, u: a) har qanday o’zgarmas son uchun differentsial tenglamani qanoatlantiradi; b) boshlang’ich shart qanday bo’lmasin, shunday qiymat topiladiki, funktsiya boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
Qo’yilgan masalaning yechimi oshkormas
(4)
ko’rinishda aniqlanishi mumkin. Agar (4) ni ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, bu ishni bajarib, umumiy yechimni topamiz. Agar buni imkoni bo’lmasa, yechim oshkormas (4) ko’rinishda qoladi. Bu holda (4) ni differentsial tenglamaning umumiy integrali, deb ataymiz.