2 tartibli kvadrat matritsaning
Download 0.56 Mb. Pdf ko'rish
|
2-маъруза
- Bu sahifa navigatsiya:
- 3-§. Minor va algebraik to‘ldiruvchilar. Determinantlarning xossalari
- 1-мisol.
- Ta’rif.
|
Ta‘rif . 2 - tartibli kvadrat matritsaning
(
) determinanati deb, ushbu |
| (3) songa aytiladi. Bu yerda
,
- determinant elementlaridir. Determinant elementining birinchi indeksida turgan son yo‘l raqamini, ikkinchi indeksida turgan son esa ustun raqamini bildiradi.
ayirma determinant qiymati deyiladi va yoki | | yoki bilan belgilanadi.
|
| ( )
Ushbu |
|
songa 3-tartibli determinant,
unung qiymati deyiladi.
Uchinchi tartibli determinant qiymati oltita hadlar yig‘indisidan iborat bo‘lib, ulardan uchtasi musbat, qoplgan uchtasi esa manfiy ishoralidir. Bu hadlarni hisoblash quyidagi sxemalar yo‘rdamida ifodalansa bo‘ladi: a) Uchburchak qoidasi
b) Sarryus qoidasi
|
| ( ) ( ) ( ) ( ) n - tartibli kvadrat matritsaning
(
) determinanati deb, ushbu |
| (3) ifodaga aytiladi.
Agar A matritsaning determinanti bo‘lsa, u holda A xos matritsa deyiladi, aks holda bo‘lsa, u holda A xosmas matritsa deyiladi.
Uchinchi tartibli tartibli
|
| determinant berilgan bo‘lsin. Bu determinantning biror
( ) elementini olib, shu element turgan yo‘lni hamda ustunni o‘ziramiz. O‘zirilmay qolgan elementlardan ikkiinchi tartibli determinant hosil bo‘ladi. Unga
elementning minori deyiladi va
bilan belgilanadi. Masalan, uchinchi tartibli determinantda
element turgan yo‘l va ustunni o‘chirish |
| natijasida
|
| determinant hosil bo‘ladi. Bu berilgan determinant
elementining minoridir.
|
| determinantning minorlarini toping. Yechish. Determinantning elementlari soni to‘rtta bo‘lgani uchun minorlar soni ham to‘rtta bo‘ladi:
,
,
2-мisol. |
| determinantning
minorlarini toping.
minorlar soni ham
to‘qqizta bo‘ladi. Misol shartiga ko‘ra,
minorlarni topamiz:
|
| ,
| | va
|. Ta’rif. (3) determinant a ij elementining algebraik to‘ldiruvchisi deb, ( )
miqdorga aytiladi va
( )
. Kvadrat matritsa determinantining algebraik to‘ldiruvchilari soni uning elementlari soniga teng bo‘ladi.
Masalan, |
| determinant elementlariga mos to‘qqizta minorlar mavjud.
elementining algebraik to‘ldiruvchisini topamiz:
( )
= ( )
|
| ( ( )) Determinant xossalarini 3-tartibli determinantlarga nisbatan keltiramiz. Uchinchi tartibli | | |
| determinant berilgan bo‘lsin. 1 0 . Determinant yo‘llarini unga mos ustunlar bilan almashtirilsa, determinant qiymati o‘zgarmaydi, ya‘ni |
| | |.
Isbot. Ushbu xossani 3-tartibli matritsa determinanti ushun tekshirib ko‘ramiz. Uchinchi tartibli transponirlangan matritsa determinantini hisoblaymiz: |
|
| |
. Demak, |
2 0 . Determinant ixtiyoriy ikki yo‘lini (ustunini) o‘zaro almashtirsak, determinant qiymati o‘zgarmasdan unung ishorasi qarama-qarshi ishoraga o‘zgaradi.
Isbot. Birinchi va ikkinchi yo‘llari o‘zaro almashtirilgan 3-tartibli matritsa determinantini |
| belgilaymiz va uning qiymatini hisoblaymiz: |
| |
|
(
) | | Demak, |
| | | 3 0 . Determinantning ixtiyoriy yo‘lida (ustunida) turgan barcha elementlarni k songa ko‘paytirilsa, determinant qiymati k marta ortadi. |
|
(
) 4 0 . Determinantning biror yo‘li (ustuni)dagi barcha elementlar nolga teng bo‘lsa, determinant qiymati nolga teng bo‘ladi. 5 0 . Determinantning ikki yo‘li (ustuni) bir xil bo‘lsa, uning qiymati nolga teng bo‘ladi. Isbot. Faraz qilaylik, 3-tartibli determinantning ikkita yo‘li elementlari bir xil bo‘lsin. |
|
6 0 . Determinantning ixtiyoriy ikki yo‘li (ustuni) o‘zaro proporsional bo‘lsa, uning qiymati nolga teng bo‘ladi. Isbot. Faraz qilaylik, 3-tartibli determinantning birinchi va ikkinchi yo‘llari o‘zaro proporsional bo‘lsin:
Determinantning ikkinchi yo‘l elementlari o‘rniga birinchi yo‘l elementlari orqali ifodasini qo‘yaymiz:
|
| |
| |
| 5-xossaga ko‘ra, |
| .
7 0 . Agar determinantning biror yo‘li (ustuni)dagi elementlar ikki qo‘shiluvchilar yig‘indisidan iborat bo‘lsa, masalan, |
|
|
|=
= |
|+ |
| bo‘ladi. 8 0 . Agar determinantning biror yo‘li (ustuni)ni o‘zgarmas songa ko‘paytirib, boshqa yo‘li (ustuni)ga qo‘shilsa, determinant qiymati o‘zgarmaydi. Isbot. 3-tartibli determinantning 1-yo‘lini k-songa ko‘paytirib, 2-yo‘lga qo‘shamiz va 7-xossaga ko‘ra ifodalaymiz: |
|
|
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|.
9 0 . Determinantning biror yo‘li (ustuni)dagi barcha elementlarning ularga mos algebraik to‘ldiruvchilari bilan ko‘paytmasidan tashkil topgan yig‘indi shu determinant qiymatiga teng bo‘ladi. Isbot. 3-tartibli determinantning 1-yo‘l bo‘yicha yoyilmasini algebraik to‘ldiruvchilar orqali ifodalaymiz: |
|
|
| |
| |
|
(
)
(
)
(
)
.
10 0
boshqa yo‘l (ustun)da turgan mos elementlarning algebraik to‘ldiruvchilari ko‘paytmalaridan tashkil topgan yig‘indi nolga teng bo‘ladi. Isbot.
3-tartibli determinantning 2-yo‘l elementlarini 1-yo‘l elementlarining mos algebraik to‘ldiruvchilari ko‘paytmalaridan tashkil topgan yig‘indini hisoblaymiz:
|
| |
| |
|
(
)
(
)
(
)
. Determinantlarning 9–xossasiga ko‘ra, n – tartibli ( ) determinantning 1-yo‘l bo‘yicha yoyilmasi quyidagicha ifodalanadi:
|
| ∑
(6)
n - tartibli determinantning ixtiyoriy yo‘l bo‘yicha loyilmasini ∑
( ) (7) yoki ixtiyoriy ustun bo‘yicha yoyilmasini
∑
( ). (8) formulalar yordamida ifodalash mumkin.
(8) va (9) formulalar Laplas formulalari deyiladi. Agar i=1 bo‘lsa, (7)-formula (6)-formula bilan ustma-ust tushadi. Diagonal (quyi yoki yuqori) matritsaning determinanti bosh diagonaldagi elementlar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi: |
.
Diagonal matritsani 1-ustun bo‘yicha yoyamiz: |
|
|
.
Download 0.56 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|