21-amaliy mashg‘ulot binominal qator va uning xususiy hollari. Ba’zi funksiyalarni binomial qator yordamida hisoblash. Binomial qatorlar


Download 269.62 Kb.
Pdf ko'rish
Sana25.05.2020
Hajmi269.62 Kb.
#109797
Bog'liq
21-amaliy mashg’ulot


21-AMALIY MASHG‘ULOT 

Binominal qator va uning xususiy hollari. Ba’zi funksiyalarni binomial qator 

yordamida hisoblash. 

Binomial  qatorlar.  Ushbu  funksiyani  qatorga  yoyish  masalasini  qaraymiz: 

( )


(1

)

f x



x

 



 bu yerda 

1

x

 

 va 


- ixtiyoriy haqiqiy son. 

 

Bu funksiya 



(1

) ( )


( )

x f x

f x



                                       (1) 



munosabatni va  (0) 1

f

 shartni qanoatlantiradi. 



( )

f x  funksiyani 

2

3



1

2

3



( ) 1

...


...

n

n

f x

c x

c x

c x

c x

 


 



                     (2) 

darajali qatorga yoyamiz. 

1

2



, ,...

c c

 koeffisiyentlar hozircha noma’lum. U holda 

2

1

1



2

3

( )



2

3

...



...

n

n

f x

c

c x

c x

nc x



 

 



                     (3) 

(2) va (3) tengliklarni (1) munosabatga qo’yamiz: 

2

1



1

2

3



(1

)(

2



3

...


...)

n

n

x c

c x

c x

nc x



 



 



2

3

1



2

3

(1



...

...)


n

n

c x

c x

c x

c x





 

 



yoki 



2

1

1



2

2

3



1

(

2 )



(2

3 )


...

(

1)



...

n

n

n

c

c

c x

c

c x

nc

n

c

x





 

 


 

 

2



3

1

2



3

...


...

n

n

c x

c x

c x

c x

 




 



 

 



Chap  va  o’ng  tomondagi  ifodalarda  bir  xil  darajali 

x

  oldidagi  koeffisiyantalrni 

tenglashtirib, 

1

c





1

2

1



2

c

c

c



2



3

2

2



3

c

c

c



 

……………. 



1

1

(



1)

n

n

n

n

c

nc

c





…………………. 



tengliklarni hosil qilamiz. Bu yerdan esa 

1

c





2

(

1)



2!

c

 




3

(

1)(



2)

3!

c

 







…………………. 

(

1)(



2)...(

1)

!



n

n

c

n

 




 


………………….. 



noma’lum  koffisiyentlarni  topamiz.  Koffisiyentlarning  bu  qiymatlarini  (1) 

munosabatga qo’yib, 



2



3

(

1)



(

1)(


2)

1

1



...

2!

3!



x

x

x

x

 



 





 


 



 

(

1)(



2)...(

1)

...



...

!

n



n

x

n

 




 


 

                           (4) 



qidirilayotgan  qatorni  hosil  qilamiz.  Bu  qatorni  yaqinlashish  sohasi 

1

x

  ya’ni 


1

1

x

  

 oraliqdan iborat. 



 

Hosil  qilingan  (4)  qator  binomial  qator,  uning  koeffisiyantlari  esa  binomial 



koeffisiyentlar deb ataladi. 

 

Endi bu qatorni ba’zi bir xususiy hollarinini ko’rib chiqamiz: 



 

  natural  son  (



)

n



  bo’lganda 



x



  darajasi 

n

  bo’lgan  ko’phad 

bo’ladi. 

 

1-misol. Ushbu 



3



( )

1

f x



x

 


 funksiyani Binomial qatorga yoying. 

 

Yechish.  Bu  misolda 

3





  ga  teng.  Qisqa  ko’paytirish  formulasiga  binoan 

funksiya bu ko’rinishni oladi: 



3



2

3

1



1 3

3

x



x

x

x

 





Binomial qator yordamida ham shu ko’rinishni hosil qilish mumkin: 



3

2

3



2

3

3(3 1)



3(3 1)(3 2)

1

1 3



1 3

3

2!



3!

x

x

x

x

x

x

x



 



 





 

1



 

 bo’lsa, (4) qator  



2

3

1



1

...


1

x

x

x

x

  




,  1

1

x

  

                           (5) 



ko’rinishni oladi.  

 

2-misol. Ushbu 

1

( )


1

f x

x



 funksiyani binomial qatorga yoying. 

 

Yechish:  Bu  funksiyani  binomial  qatorga  yoyish  uchun  oldinggi  ko’rilgan 

xususiy  hol  ya’ni  (5)  –ifodadagi 

x

  o’rniga 



x

  qo’yib,  yoki  bo’lmasam  (4)  



binomial qatoridan to’g’ridan to’g’ri hisoblab keltirib chiqarish mumkin: 

2

3



1

1

...



1

x

x

x

x

  




,  1

1

x

  

                             (6) 



( )

ln(1


)

f x

x



 funksiyani (5) qator yordamida Teylor qatoriga yoyamiz. 

 

Bu funksiyaning Teylor qatoriga yoyilmasini hosil qilish uchun (5) tenglikni 



 

0, x

 oraliqda integrallaymiz, bu yerda 



1,1

x

 


2

3



0

0

(1



...)

1

x



x

dt

t

t

t

dt

t

   





 

yoki 


2

3

4



1

1

1



ln(1

)

... ( 1)



...

2

3



4

n

n

x

x

x

x

x

x

n

 



  



 

3-misol. Ushbu  ( )

ln(1

)

3



x

f x



 funksiyani qatorga yoying. 

 

Yechish: Bu funksiyani qatorga yoyish uchun yuqoridagi keltirib chiqargan 

ifodadan foydalanamiz ya’ni 

x

 o’rniga 

3

x

  ni qo’yib chiqamiz: 

2

3

4



2

3

4



1

1

1



ln(1

)

... ( 1)



...

3

3



2 3

3 3


4 3

3

n



n

n

x

x

x

x

x

x

n

 



  





 



Natijada so’ralgan qatorni hosil qildik. 

 

Endi ba’zi funksiyalarni binomial qator yordamida taqribiy yechish haqida 



to’xtalamiz. U uchun albatta bizga binomial qator kerak bo’ladi. 

 

4-misol. 

3

( )


f x

x

 funksiyani 



9

x

 dagi qiymatini 0,01 aniqlikda 



hisoblang. 

 

Yechish: Avvalo  berilgan funksiyani binomial qatorga yoyib olamiz. Ya’ni 



1

3

3



3

( )


1 (

1)

1 (



1)

f x

x

x

x



    

 tushunarli bo’lishi uchun 

1

x

z

 


 

belgilash kiritib olamiz. 

 


1

1



3

3

1 (



1)

1

x



z

 


 

 



1

3



( )

1

f z



z

 


 demak, ko’rinib turibdi 

1

3



 ga teng. (4) ifodaga binoan  



1



2

3

3



1 1

1 1


1

1

1



2

1

3 3



3 3

3

1



1

...


3

2!

3!



z

z

z

z



















 





 

ko’rinishni oladi, endi 

1

x

z

 


 belgilashdan 

z

 o’rniga qo’yamiz. 



1



2

3

3



1 1

1 1


1

1

1



2

1

3 3



3 3

3

1 (



1)

1

(



1)

(

1)



(

1)

...



3

2!

3!



x

x

x

x





















 

 




 

Hosil  bo’lgan  ifoda 



3

( )


f x

x

  funksiyani  binomial  qatori  hosil  bo’ldi.  Lekin  bir 



narsaga e’tibor berishimiz kerak, ya’ni 

x

 ni o’rniga keladigan  ifoda albatta 

1

x

 



dan kichik bo’lishini talab qiladi. Biz endi quyidagicha soddalashtirish bajaramiz: 



1

2

3



1

1

3



3

3

1 1



1 1

1

1



1

2

1



1 1

1

1



3 3

3 3


3

1 8


8

1

2 1



...

8

3 8



2!

8

3!



8

















 



 











  





 

 


 



 





 

Tenglikni o’ng tomonidagi qavsni ochamiz va 0,001 aniqligda  hisoblaymiz 



3

9

2,08



 kelib chiqadi. Demak, 

3

( )


f x

x

 funksiyani 



9

x

 dagi qiymatini 0,01 



aniqlikdagi qiymati 2,08 ga teng bo’lar ekan. 

 Darsda mustaqil ishlash uchun topshiriqlar. 

1. Ushbu 

( )

1

f x



x



 funksiyani binomial qatorga yoying? 

2. Ushbu 

1

( )


1 2

f x

x



 funksiyani binomial qatorga yoying? 

3. Ushbu 

1

( )


1

f x

x



 funksiyani binomial qatorga yoying? 

4. Ushbu 

3

1



( )

1

f x



x



 funksiyani  binomial  qatorga yoying? 

5. Ushbu 

3

129


 sonni 0,001 aniqlikda hisoblang.  

6. Ushbu 

5

30

 sonni 0,001 aniqlikda hisoblang. 



Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar uyga vaziafa. 

1. Ushbu 

3

( )


1 2

f x

x



 funksiyani binomial qatorga yoying? 

2. Ushbu 

1

( )


1 7

f x

x



 funksiyani binomial qatorga yoying? 

3.  Ushbu 



( )



1

n

f x

x

 


  (bu  yerda  n-natural  son)  funksiyani  binomial  qatorga 

yoying? 


4. Ushbu  ( )

ln

f x



x

 funksiyani binomial qatorga yoying? 



5. Ushbu 

3

10



 sonni 0,001 aniqlikda hisoblang. 

6. Ushbu 

4

60

 sonni 0,001 aniqlikda hisoblang. 



7. Ushbu 

3

1,015



 sonni 0,001 aniqlikda hisoblang. 

 

Download 269.62 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling