22-ma’ruza i-tur va ii–tur xosmas integrallar. Xosmas integrallarning yaqinlashishi

22-MA’RUZA
I-tur va II–tur xosmas integrallar. Xosmas integrallarning yaqinlashishi.
Ma’lumki, aniq integral tushunchasi kiritilganda, integrallash kesmasi [a;b] ning chekli ekanligi va integrallanuvchi funksiya f(x) ning mazkur kesmada uzlukszligi faraz qilingan edi. Agar ushbu shartlardan birortasi bajarilmasa, «odatdagidek» aniq integral tushunchasini kiritib bo’lmaydi. SHu ma’noda qaralganda bu xoldagi integral «odatdagidek bo’lmagan» ya’ni xosmas integral deb yuritiladi.

Quyida ularning ikki xilini ko’rib chiqamiz.

1. Chegaralari cheksiz xosmas integrallar.
Aytaylik, f(x) funksiya [a; +¥) da uzluksiz bo’lsin. U xolda mazkur funksiyaning [a; +¥) dagi xosmas integrali , quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:

Agar ushbu tenglikning ung tomonidagi limit mavjud bo’lsa, u xolda xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi va limit integralning qiymati sifatida qabul qilinadi.
Agarda ko’rsatilgan limit mavjud bo’lmasa, xosmas integral uzoqlashuvchi deyladi.
kabi xosmas integral ham aynan yuqoridagiga o’xshash aniqlanadi.

Shuningdek, agar f(x) funksiya (-¥;+¥) da uzluksiz bo’lsa, u xolda umumlashgan xosmas integral quyidagicha aniqlanadi:
.
Ushbu tenglikning o’ng tomonidagi har ikkala xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo’lsa, u xolda chap tomondagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Aksincha, agar o’ng tomondagi xosmas integrallardan hech bo’lmaganda birortasi uzoqlashuvchi bo’lsa, o’ng tomondagi xosmas integral ham uzoqlashuvchi bo’ladi.
1-Misol. Demak, mazkur xosmas integral yaqinlashuvchi va qiymati 1 ga teng ekan.
2-Misol.

3-Misol.
Ammo, oxirgi limit mavjud emas. Shuning uchun mazkur xosmas integral uzoqlashuvchidir.
4-Misol. hisoblansin.
Yechimi. Ta’rifga asosan,



1. Chegaralanmagan (cheksiz) funksiyalarning xosmas integrallari

Agar f(x) funksiya (s; b] yarim ochiq oraliqda uzluksiz bo’lib, x=c chap chegaraviy nuqtada aniqlanmagan yoki 2-tur uzilishga ega bo’lsa, mazkur funksiyaning xosmas integrali kabi belgilanib, u quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:

Ushbu tenglikning o’ng tomonidagi limit mavjud bo’lsa, u xolda xosmas integral yaqinlashuvchi deyilib, aks xolda esa uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar f(x) funksiya [a;c) yarim ochiq oraliqda uzluksiz bo’lib, x=c o’ng chegaraviy nuqtada aniqlanmagan yoki 2-tur uzilishga ega bo’lsa, uning xosmas integrali ham yuqoridagidek aniqlanadi.

Umuman, [a;b] kesmaning biron bir xqc oraliq nuqtasida aniqlanmagan yoki cheksiz uzilishga ega bo’lgan f(x) funksiyaning xosmas integrali quyidagicha aniqlanadi:

Bu xosmas integralning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun tenglikning o’ng tomonidagi har ikkala xosmas integrallar ham yaqinlashuvchi bo’lishlari lozim, aks xolda, ya’ni ulardan hech bo’lmaganda bittasi uzoqlashuvchi bo’lsa ham mazkur xosmas integral uzoqlashuvchi bo’ladi.
Eslatma: Odatda, 1-bandda qaralgan xosmas integrallarni I-tur xosmas integrallar va 2-bandda qaralganlarni II-tur xosmas integrallar ham deb yuritiladi.
quyidagi misollarda berilgan 2-tur xosmas integrallar tekshirilsin.
1-Misol.
Demak, integral yaqinlashuvchidir.


2-Misol.

- integral uzoqlashuvchi ekan.
3-Misol. kabi 2-tur xosmas integraldagi integrallanuvchi funksiya xq0 da aniqlanmagan. Shuning uchun uni ikkita xosmas integrallarning yig’indisi shaklida ifodalab olamiz:

o’ng tomondagi xosmas integrallarni tekshiramiz:

Ikkinchi xosmas integralni tekshirishning xojati yo’q, chunki birinchi qo’shiluvchi xosmas integral uzoqlashuvchi ekan. Demak, mazkur xosmas integral ham uzoqlashuvchidir.

4-Misol.

qaralayotgan xosmas integral uzoqlashuvchi, chunki arcsin1,5 mavjud emas.
Mustaqil yechish uchun misollar

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.