5-Лекция

Лекция 5


Кривые второго порядка, заданные каноническим уравнением

Эллипс. Исследование формы эллипса

Гипербола

Парабола

Линия L на плоскости
Oxy
называется линией (кривой) 2-го порядка,

если она определяется уравнением 2-ой степени относительно x и уравнением вида:
y , т.е.

Ax²  Bxy  Cy²  Dx  Ey  F  0 , (6.1)
где хотя бы один из коэффициентов A, B или C не равен нулю.
Линиями второго порядка являются эллипс, гипербола и парабола. В данной лекции рассматриваются уравнения этих линий в наиболее простом (каноническом) виде, который достигается определенным выбором системы координат.

Эллипс

Эллипсом называется линия, представляющая геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим фокусы эллипса через
F₁ и
F₂ , а сумму расстояний точек эллипса от

фокусов через
2a . Тогда для любой точки
M (x, y) , лежащей на эллипсе, по

определению выполняется равенство

MF₁

• 
  MF₂
  

 2a (6.2)

Расстояния между фокусами эллипса обычно обозначается через 2c :

F₁F₂
 2c
(6.3)

Поскольку одна сторона треугольника всегда короче суммы двух других его

сторон, то 2c  2a c  a
откуда

(6.4)

Чтобы вывести уравнение эллипса, надо, прежде всего, выбрать какую-

нибудь систему координат. Проведем ось Ox
через фокусы
F₁ и
F₂ , а начало

координат поместим в середину отрезка
F₁F₂ . Этим определится и положение

оси Oy (рис.1). Ясно, что в этой системе фокусы будут иметь координаты

F₁ (c,0) и
F₂ (c,0) . Для любой точки
M (x, y) по формуле (5.25):

MF₁  , MF₂ 
Отсюда и из (6.2) видно, что точка M (x, y) лежит или не лежит на эллипсе,
смотря по тому, верно или неверно равенство
  2a (6.5)
Таким образом, равенство (6.5) и есть уравнение рассматриваемого эллипса. Упростим громоздкое уравнение (6.5), возведя обе части в квадрат

_{ }2  _2a  _2
x²  2xc  c²  y²  4a²  4a
Откуда после упрощения получаем:
 x²  2xc  c²  y²

a  4a²  4xc
Снова возведя в квадрат, находим
a² _(x  c)²  y² _  (a²  xc)² или a² x²  2a² xc  a²c²  a² y²  a⁴  2a² xc  x²c² , т.е. (a²  c² )x²  a² y²  a² (a²  c² ) (6.6)

Заметим теперь, что в силу (6.2)
имеем:
a²  c²  0
и обозначая эту разность через
b² ,

a²  c²  b²
или
a²  c²  b²
(6.7)

Тогда (6.6) примет вид:

2
b² x²  a² y²  a²b² , деля обе части последнего равенства на получаем:

a²b² , окончательно

Это и есть простейшее или каноническое уравнение эллипса.

Исследование формы эллипса

Изучим форму эллипса, опираясь только на его каноническое уравнение
(6.8).

Эллипс симметричен относительно оси Ox
и оси
Oy . Точка
O(0,0) – его

центр симметрии. Доказательство этого факта непосредственно вытекает из так н6азываемого принципа симметрии: если в уравнение какой-либо линии
координата x ( y ) входит только в четных степенях, то эта линия симметрична
относительно оси Oy ( Ox ).
В силу сказанного, мы будем знать форму эллипса, если установим вид той его части, которая лежит в 1-ой координатной четверти. Для этого решим
уравнение (6.8) относительно y :

y  ^b
a
a²  x²
(6.9)

Отсюда вытекают 4 утверждения:

1. 
   если
   

x  0 , то y  b

2. 
   если x увеличивается, то y уменьшается
   

3. 
   если x  a , то
   
4. 
   если x  a , то
   

y  0
y оказывается мнимым, т.е. на эллипсе (6.8) вовсе нет

точек, у которых
x  a .

Коротко говоря, при возрастании x от нуля до a
ордината
y убывает от b до

нуля. Точки
A₁ (a,0), B₁ (0,b), A₂ (a,0), B₂ (0, b) , в которых эллипс пересекает

оси симметрии, называются его вершинами.
Для эллипса используются следующие обозначения:

A₁ A₂ –большая ось
A₁ A₂
 2a ; OA₁ – большая полуось
OA₁
 a ;

B₁B₂ –малая ось
B₁B₂
 2b ; OB₁ – малая полуось
OB₁
 b .

Для построения эллипса удобно использовать его основной
прямоугольник–прямоугольник со сторонами 2a и 2b , стороны которого
проходят через вершины эллипса симметрично относительно координатных осей. Эллипс целиком находится внутри основного прямоугольника, касаясь его сторон в своих вершинах.

Окружность можно считать таким эллипсом, у которого фокусы
совпадают. В этом случае c  0 , а значит, b  a и уравнение (6.8) принимает вид:

начале координат:
x²  y²  a² .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение междуфокусного расстояния к большой оси, т.е. число

Т.к.
  ^c
a
c  a , то для любого эллипса будет 0    1. Случай

  0
(6.9)

соответствует

окружности. Для того чтобы понять как значение  влияет на форму эллипса,
разделим обе части равенства (6.7) на a² :

_a2 или
b _
a
Из (6.10) видно, что при очень малом  числа a

(6.10)
и b почти равны, т.е. эллипс

очень напоминает окружность. Если же
 близко к 1, то b
весьма мало по

сравнению с a и, стало быть, эллипс весьма вытянут вдоль оси Ox .
Как известно, планеты и кометы движутся по эллипсам. В одном из фокусов каждого такого эллипса находится Солнце, в другом фокусе ничего нет. Оказывается, что эксцентриситеты планетных орбит весьма малы, а кометных – велики (близки к 1). Т.о. планеты движутся почти по окружностям, а кометы то приближаются к Солнцу, то весьма удаляются от него. Эксцентриситеты орбит Меркурия, Венеры, Земли и Марса равны
соответственно  _М  0, 21  _В  0,01  _З  0,02  _М  0,09 . Эксцентриситеты же
орбит комет Галлея и Энке равны соответственно  _Г  0,97 _Э  0,87 .

Величина
k = ^b
a
называется коэффициентом сжатия эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k ² = 1 -  ² .
_x 2 _y 2

Если для точки
M(x₁ , y₁ ) выполняется условие: ¹  ¹  1, то она

_a 2 _b 2
_x 2 _y 2
находится внутри эллипса, а если ¹  ¹  1, то точка находится вне эллипса.
_a 2 _b 2
С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:
a a

x = _ ; x =  _
(6.11)

Теорема 1. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния данной точки до фокуса к расстоянию от данной точки до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету  .
Доказательство (достаточность). Пусть для произвольной точки
плоскости M (x, y) выполнено соотношение:

(x  c)²  y²
a
  . Покажем, что в этом случае координаты точки

_  x
удовлетворяют каноническому уравнению эллипса (6.8).

  ( ^a  x) . С учетом (6.9) возведем обе части последнего



равенства в квадрат:
(x  c)²  y²  (a  ^c x)²
a
a² _x²  2xc  c²  y² _  (a²  cx)²
a² x²  2xca²  c²a²  y²a²  a⁴  2a²cx  c² x²
(a²  c² )x²  y²a²  a² (a²  c² )

Вводя обозначение
b² x²  y²a²  a²b² .
a²  c²  b² , получаем

Деля обе части равенства на эллипса (6.8).
a²b² , получаем каноническое уравнение

Для доказательства необходимого условия теоремы требуется все рассуждения провести «снизу вверх».
Теорема доказана.

Эллипс с центром симметрии в точке O(x₀ , y₀ )
описывается уравнением

(x  x )² ( y  y )²

0 _0 _{ 1}
(6.12)

_a2 _b2

В частности, если
a  b , получаем уравнение окружности с центром в

точке O(x₀ , y₀ ) и радиусом a  b :

(x  x
)²  ( y  y
)²  a²
(6.13)

0 0
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и

нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:
_x 2  _y 2

 1.

Решение.
25 16

1. 
   Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16; y = -4.
   
2. 
   Координаты левого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).
   

3. 
   Уравнение прямой, проходящей через две точки:
   

x  0 _
 3  0
y  4 _; 0  4
x _ y  4 _;
 3 4
4x  3y  12;
4x  3y  12  0

Пример 2. Показать, что Найти ее центр и радиус.
x²  y²  4x  6 y  3  0 есть уравнение окружности.

Решение. Выделим полные квадраты для переменной x и y .
x²  y²  4x  6 y  3  0
(x²  4x  4)  ( y²  6 y  9)  4  9  3  0
(x  2)²  ( y  3)² 16  0 (x  2)²  ( y  3)²  16
Уравнение окружности имеет вид (6.13), центр окружности находится в точке
A(2,3), радиус равен 4.