3-amaliy mashg’ulot to‘la ehtimollik va Bayes formulalari

3-AMALIY MASHG’ULOT 

To‘la ehtimollik va Bayes formulalari 

 

Tо‘la ehtimol formulasi: Tо‘la ehtimol formulasi ehtimollarni hisoblashda samarali 

xizmat qiladi. Faraz qilaylik A tasodifiy hodisa bir necha juft-jufti bilan birgalikda 

bо‘lmagan H

1

, H

2

, ..., H

n

 hodisalarning biri bilangina rо‘y bersin. 

Tо‘la  guruh  tashkil  etadigan  birgalikda  bо‘lmagan  H

1

,  H

2

,  ...,  H

n

 

hodisalarning  (gipotezalarning)  biri  rо‘y  berganda  rо‘y  berish  mumkin  bо‘gan A 

hodisaning ehtimoli gipotezalarning har birining ehtimolini A hodisaning tegishli 

shartli ehtimoliga kо‘paytmalari yig‘indisiga teng. 

6-masala.  Ichida  2  ta  shar  bо‘lgan  idishga  bitta  oq  shar  solinib,  shundan 

keyin idishdan tavakkaliga bitta shar olingan. Sharlarning dastlabki tarkibi (rangi 

bо‘yicha)  haqida  mumkin  bо‘lgan  barcha  taxminlar  teng  imkoniyatli  bо‘lsa,  u 

holda olingan sharning oq rangli bо‘lish ehtimolini toping. 

Yechilishi.  A  orqali  oq  shar  olinganlik  hodisasini  belgilaymiz.  Sharning 

dastlabki rangi haqida quyidagi taxminlar (gipotezalar) bо‘lishi mumkin: N

1

 – oq 

shar yо‘q, N

2

 – bitta oq shar bor, N

3

 – ikkita oq shar bor. Bu yerda hammasi bо‘lib 

uchta  gipoteza  mavjud  va  shu  bilan  birga  ular  shartga  kо‘ra  teng  imkoniyatli  va 

R(N

1

)+R(N

2

)+R(N

3

)=1, chunki R(N

1

)=

3

1

, R(N

2

)=

3

1

, R(N

3

)=

3

1

. 

1.  Idishda  dastlab  oq  shar  bо‘lmaganligi  shartida  oq  shar  olinishining  shartli 

ehtimoli R(A/N

1

)=

3

1

. 

2.  Idishda  dastlab  bitta  oq  shar  bо‘lganligi  shartida  oq  shar  olinishining  shartli 

ehtimoli R(A/N

2

)=

3

2

. 

3.  Idishda  dastlab  ikkita  oq  shar  bо‘lganligi  shartida  oq  shar  olinishining  shartli 

ehtimoli R(A/N

3

)=

3

3

. 

Idishdan  oq  shar  olinishining  izlanayotgan  ehtimolini  tо‘liq  ehtimol 

formulasidan foydalanib topamiz: 

R(A)=R(N

1

)R(A/N

1

)+R(N

2

)R(A/N

2

)+R(N

3

)R(A/N

3

)=

3

2

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

1













 

 7-masala. 4 ta yashik bor. Birinchi yashikda 1 ta oq va 1 ta qora shar bor, 

ikkinchi yashikda 2 ta oq va 3 ta qora shar, uchinchi yashikda 3 ta oq va 5 ta qora 

shar,  tо‘rtinchi  yashikda  esa  4  ta  oq  va  7  ta  qora  sharlar  bor.  H

i

  hodisa  i-nchi 

 

2 

yashikni  tanlashdan  iborat  (i=1,  2,  3,  4).  i-nchi  yashikni  tanlash  ehtimoli 

10

i

  ga 

tengligi berilgan, ya’ni 

R(N

1

)=

10

1

, R(N

2

)=

5

1

, R(N

3

)=

10

3

, R(N

4

)=

5

2

. 

Yashiklardan  biri  tavakkaliga  tanlanadi  va  undan  bitta  shar  olinadi.  Bu 

sharning oq rangli bо‘lish ehtimolini toping. 

Yechilishi. Shartga kо‘ra A hodisaning ehtimolni N

1

, N

2

, N

3

, N

4

 shartlarning 

har biriga nisbatan topamiz: 

R(A/N

1

)=

2

1

, R(A/N

2

)=

5

2

, R(A/N

3

)=

8

3

, R(A/N

4

)=

11

4

 

Oq sharning chiqish ehtimolini tо‘la ehtimol formulasiga kо‘ra topamiz: 

R(A)=R(N

1

)R(A/N

1

)+R(N

2

)R(A/N

2

)+R(N

3

)R(A/N

3

)+R(N

4

)R(A/N

4

)= 

=

4400

1707

11

4

5

2

8

3

10

3

5

2

5

1

2

1

10

1

















 

8-masala. Biror O punktdan chiqqan sayohatchi yо‘lning ajraladigan joyiga 

kelgach,  tavakkaliga  mumkin  bо‘lgan  yо‘llardan  birini  tanlaydi.  Yо‘llarning 

sxemasi chizmada tasvirlangan. Turistning S punktga tushish ehtimoli qanday? 

 

 

 

 

 

 

 

Yechilishi. Rasmdan kо‘rinib turganidek, sayohatchining yо‘li oraliqlari h

1

, 

h

2

,  h

3

  punktlarning  biridan  albatta  о‘tadi.  Aytaylik,  H

i

  sayohatchi  о‘z  harakati 

davomida  h

i

  punktga  tushishdan  iborat  hodisa  bо‘lsin.  Shartga  kо‘ra  H

1

,  H

2

,  H

3 

hodisalar  birgalikda  emas  hamda  ular  teng  ehtimolli  hodisalar,  chunki  yо‘l  O 

nuqtadan tavakkaliga tanlanadi. Shuning uchun, 

R(H

1

)=R(H

2

)=R(H

3

)=

3

1

 

bо‘ladi. Agar sayohatchining S punktga kelishidan iborat hodisani A orqali 

belgilasak, u holda  

R(A/N

1

)=

3

1

, R(A/N

2

)=

2

1

, R(A/N

3

)=

4

1

 

ga bо‘lamiz. Bularga asosan 

h

2 

h

3 

h

1 

С 

О 

1 

3 

1 

2 

2 

3 

1 

2 

 

3 

R(A)=

36

13

4

1

3

1

2

1

3

1

3

1

3

1













 

kelib chiqadi. 

9-masala. 1 ta oq va 3 ta qora shar bо‘lgan yashikdan bitta shar olinib, 3 ta 

oq va 1 ta qora shar bor bо‘lgan yashikka solindi. Sо‘ngra ikkinchi yashikdan bitta 

shar olindi. Olingan sharning oq rangli bо‘lish ehtimoli nimaga teng? 

Yechilishi. birinchi yashikdan bitta oq shar olinib ikkinchi yashikka solinishi 

N

1

 hodisa, birinchi yashikdan bitta qora shar olinib ikkinchi yashikka silinishi N

2

 

hodisa  deb  belgilaymiz.  A  bilan  ikkinchi  yashikdan  oq  shar  chiqish  hodisasini 

belgilaymiz.  N

1

  va  N

2

  hodisalar  birgalikda  emas.  Shuning  uchun  tо‘la  ehtimol 

formulasini qо‘llash mumkin. N

1

 va N

2

 gipotezalarning ehtimollarini topamiz: 

R(N

1

)=

4

1

,  R(N

2

)=

4

3

  

Ikkinchi  yashikka  oq  shar  tashlanganda  unda  tо‘rtta  oq  va  1  ta  qora  shar 

bо‘lgani uchun R(A/N

1

)=

5

4

  

Xuddi shuningdek, ikkinchi yashikka qora shar tashlanganda unda uchta oq 

va ikkita qora shar paydo bо‘lgani uchun R(A/N

2

)=

5

3

. Demak, 

R(A)=

20

13

20

9

5

1

5

3

4

3

5

4

4

1













 

10-masala.  Ikkita  yashik  bor.  Birinchi  yashikda  5  ta  oq  4  ta  qizil  shar, 

ikkinchisida 4 ta oq 5 ta qizil shar bor. 

Tavakkaliga  yashiklardan  biri  tanlandi  va  undan  tavakkaliga  shar  chiqarib 

olindi. Bu sharning qizil rangli bо‘lishi (A hodisa) ehtimoli qanday? 

Yechilishi.  Shar  birinchi  yashikdan  yoki  ikkinchi  yashikdan  olinishi 

mumkin. Bu hodisalardan birinchisini N

1

 ikkinchisini N

2

 bilan belgilaymiz (bular 

A  hodisaga  nisbatan  gipotezalardir).  Yashiklardan  har  birini  tanlash  teng 

imkoniyatli bо‘lgani uchun: 

R(N

1

)=R(N

2

)=

2

1

 

bо‘ladi. Endi A hodisaning ehtimolin N

1

 va N

2

 shartlarning har biriga nisbatan 

topamiz: 

R(A/N

1

)=

9

4

, R(A/N

2

)=

9

5

 

Tо‘la ehtimol formulasiga kо‘ra: 

R(A)=

2

1

18

9

9

5

2

1

9

4

2

1











 

 

4 

BAYES FORMULASI 

11-masala. Ikki mergan nishonga qarata bittadan о‘q uzdi. Birinchi mergan 

uchun  nishonga  urish  ehtimoli  0,6,  ikkinchi  mergan  uchun  esa  0,3  ga  teng. 

Otishlardan  sо‘ng  nishonga  bitta  о‘q  tekkan.  Bu  о‘q  birinchi  merganga  tegishli 

bо‘lish ehtimoli qanday? 

Yechilishi.  quyidagi  hodisalarni  qaraymiz:  Birinchi  merganning  nishonga 

urishi  N

1

  hodisa,  ikkinchi  merganning  nishonga  urishi  N

2

  hodisa,  nishonga  о‘q 

tegishi A hodisa. 

Bayes formulasiga kо‘ra izlanayotgan ehtimol: 

R(N

1

/A)=

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

2

2

1

1

1

1

1

Н

А

Р

Н

Р

Н

А

Р

Н

Р

Н

А

Р

Н

Р



 

formula bо‘yicha hisoblanadi. 

R(N

1

)=0,6 bо‘lgani uchun R(N

2

) quyidagicha topiladi:  

R(N

2

)=R(

N

1

)=1-0,6=0,4 

Birinchi  merganning  nishonga  urishi  R(A/N

1

)  bо‘lib,  bu  holda  ikkinchi 

merganning о‘qi nishonga tegmagan bо‘ladi. Demak,  

R(A/N

1

)=1-0,3=0,7 

Xuddi  shunday  mulohaza  yuritib  R(A/N

2

)=0,3  ekanini  topamiz.  Shunday 

qilib: 

R(N

1

/A)=

9

7

54

,

0

42

,

0

12

,

0

42

,

0

42

,

0

3

,

0

4

,

0

7

,

0

6

,

0

7

,

0

6

,

0

















 

12-masala. Bir fabrikada mahsulotning 30% ini 1-ichi mashina, 25% ini 2-

mashina,  qolgan  qismini  3-mashina  ishlab  chiqaradi.  1-mashinaning  ishlab 

chiqargan  mahsulotlaridan  1%  i,  2-mashina  uchun  1,5%  i,  3-mashina  uchun  esa 

2%  i  yaroqsiz  bо‘ladi.  Tavakkaliga  tanlangan  mahsulot  yaroqsiz  bо‘lib  chiqdi. 

Uning 1-mashina ishlab chiqargan bо‘lishi ehtimoli qanday? 

Yechilishi.  Hodisalar  uchun  quyidagi  belgilarni  kiritamiz:  tanlangan 

mahsulotning  yaroqsiz  bо‘lishi  A  hodisa.  Mahsulotning  1-mashinada  ishlab 

chiqarilgan  bо‘lishi  N

1

  hodisa;  mahsulotning  2-mashinada  ishlab  chiqarilgan 

bо‘lishi  N

2

  hodisa;  mahsulotning  3-mashinada  ishlab  chiqarilgan  bо‘lishi  N

3

 

hodisa. U holda quyidagilarga ega bо‘lamiz: 

R(N

1

)=0,30;  

R(N

2

)=0,25;  

R(N

3

)=0,45 

R(A/N

1

)=0,01; 

R(A/N

2

)=0,015;  R(A/N

3

)=0,02 

R(A)=0,01

0,30+0,250,015+0,450,02=0,015 

Demak, R(N

1

/A)=

20

,

0

015

,

0

30

,

0

01

,

0





 

Shunday qilib, hamma ishlab chiqarilgan yaroqsiz mahsulotlarning о‘rtacha 

20% ini 1-mashina ishlab chiqarar ekan. 

 

5 

13-masala. Uchta bir xil yashik bor. 1-yashikda 20 ta oq shar, 2-yashikda 10 

ta  oq  10  ta  qora  shar,  3-yashikda  esa  20  ta  qora  shar  bor.  Tavakkaliga  olingan 

yashikdan  oq  shar  olindi.  Bu  sharning  birinchi  yashikdan  olinganlik  ehtimolini 

toping. 

Yechilishi. 

1-yashikning tanlanishi N

1

 gipoteza; 

2-yashikning tanlanishi N

2

 gipoteza; 

3-yashikning tanlanishi N

3

 gipoteza. 

Oq  sharning  chiqish  hodisasini  A  bilan  belgilaymiz.  Yashiklarni  tanlash 

“teng huquqli”. Demak, R(N

1

)=R(N

2

)=R(N

3

)=

3

1

. 

Oq sharning 1-yashikdan olinish ehtimoli R(A/N

1

)=1, 

Oq sharning 2-yashikdan olinish ehtimoli R(A/N

2

)=

2

1

20

10  , 

Oq sharning 3-yashikdan olinish ehtimoli R(A/N

3

)=0. 

Izlangan R(N

1

/A) ehtimol Bayes formulasiga kо‘ra topiladi: 

R(N

1

/A)=

3

2

9

6

6

3

3

1

6

1

3

1

3

1

3

1

0

3

1

2

1

3

1

1

3

1

1























. 

14-masala. Tanga 10 marta tashlandi. Gerb tomonining aniq 3 marta tushish 

ehtimoli qanchaga teng? 

Yechilishi. Bu yerda gerb tomonining tushishi muvaffaqiyat va uning har bir 

tajribadagi ehtimoli 

2

1

 ga teng va n=10, k=3. Bernulli formulasiga kо‘ra: 

R

10,3

=S

3

10

128

15

2

1

3

2

1

8

9

10

2

1

2

1

10

2

3



















































 

15-masala. Agar har bir sinovda A hodisaning kelib chiqish ehtimoli 0,4 ga 

teng bо‘lsa, bu hodisaning 3 ta sinovda 2 marta rо‘y berish ehtimoli qanday? 

Yechilishi. Bu yerda r=0,4, q=0,6, n=3, k=2. Demak, 

R

3,2

=S

2

3

r

2

q

1

=

288

,

0

6

,

0

)

4

,

0

(

2

1

2

3

2









. 

16-masala.  Detallarning  berilgan  partiyasida  yaroqsizi  bо‘lish  ehtimoli 

r=0,1. Uchta detaldan iborat partiyada k=0, 1, 2, 3 yaroqsiz detall bо‘lish ehtimoli 

qanday? 

Yechilishi. Bernulli formulasiga kо‘ra (r=0,1. n=3. q=0,9) topamiz: 

P

3,0

=C

0

3

p

0

q

3

=1

0,9

3

=0,729 

 

6 

P

3,1

=C

1

3

pq

2

=

243

,

0

9

,

0

1

,

0

1

3

2







 

P

3,2

=C

2

3

p

2

q=

027

,

0

9

,

0

1

,

0

2

1

2

3

2











 

P

3,3

=C

3

3

p

3

q

0

=

001

,

0

1

,

0

1

3





 

 

Mustaqil yechish uchun mashqlar: 

1.  Ikkita  avtomat  bir  xil  detallar  ishlab  chiqaradi,  bu  detallar  keyin  umumiy 

konveyrga о‘tadi. Birinchi avtomatning unumdorligi ikkinchi avtomatning ish 

unumdorligidan  ikki  marta  kо‘p.  Birinchi  avtomat  о‘rta  hisobda  detallarning 

60% ini,  ikkinchi  avtomat  esa  о‘rtacha  hisobda  detallarning  84%ini  a’lo  sifat 

bilan  ishlab  chiqaradi.  Konveyrda  tavakkaliga  olingan  detal  a’lo  sifatli  bо‘lib 

chiqdi.  Bu  detalni  birinchi  avtomat  ishlab  chiqarganligi  ehtimolini  toping.  (J: 

r=0,68). 

2.  Ixtisoslashtirilgan  kasalxonaga  bemorlarning  о‘rta  hisobda  55%  i  k  kasallik 

bilan, 30% i L kasallik bilan, 20% i M kasallik bilan qabul qilindi. k kasallikni 

tо‘liq davolash ehtimoli 0,7 ga teng, L va M kasalliklar uchun bu ehtimol mov 

ravishda  0,8  va  0,9  ga  teng.  Kasalxonaga  qabul  qilingan  bemor  butunlay 

sog‘ayib ketdi. Bu bemor k kasallik bilan og‘rigan bо‘lishi ehtimolini toping. 

3.  Agar har bir sinovda A hodisaning kelib chiqish ehtimoli 0,5 ga teng bо‘lsa, bu 

hodisaning 10 ta sinovda 3 marta rо‘y berish ehtimoli qanday? 

4.  Ikki  teng  kuchli  shaxmatchi  shaxmat  о‘ynashmoqda.  Tо‘rtta  partiyadan 

ikkitasini yutish ehtimoli qanday? Olti partiyadan uchtasini yutish ehtimoli-chi? 

5.  Oilada  5  ta  farzand  bor.  Ular  orasida  2  ta  о‘g‘il  farzand  bо‘lishi  ehtimolini 

toping. 

6.   Tanga  5  marta  tashlandi.  gerb  tomonning  aniq  1  marta,  2  marta,  3  marta 

tushish ehtimolini toping.