3-Bap. Shar qatlamlarında Laplas teńlemesi ushın shegaralıq máseleler

3-Bap. Shar qatlamlarında Laplas teńlemesi ushın
shegaralıq máseleler

Bul bap tiykarınan shar qatlamlarında Laplas teńlemesi ushın shegaralıq máselelerge arnalġan. Bunda shar saqıynasında Laplas teńlemesi ushın

Dirixle máselesi hám onıń ayırım dara jaġdayları qarastırıladı. Ekinshi paragrafta bolsa shar qatlamlarınıń bir dara jaġdayı bolıp esaplanatuġın shar sektorı, atap aytqanda yarım shar ushın



Dirixle máselesi qarastırıladı. Sońġı paragrafta bolsa shar hám shar saqıynasındaġı awıspalı argumentke iye Laplas teńlemesi ushın hám jaġdaylar ushın


Dirixle máseleleri qarastırıladı, bul jerde

awıspalı argumentke iye Beltra-Laplas operatorı.

§1. Shar saqıynasında Laplas teńlemesi ushın
shegaralıq máseleler

Meyli radiusları hám bolġan sharlar arasında jaylasqan shar saqıynası berilgen bolsın. Usı shar saqıynası ishinde Laplas teńlemesin qanaatlandıratuġın, al shegarada, yaġnıy shar betlerinde aldın ala berilgen sáykes hám funkciyalarına teń bolatuġın garmonikalıq funkciyanı tabıw talap etilsin, yaġnıy shar saqıynasındaġı Laplas teńlemesi ushın

shegaralıq máseleni sheshiw talap etilsin.
Laplas teńlemesin sferalıq koordinatalar sistemasında jazılıwın paydalanıp, bul shegaralıq máseleni
(1)
(2)
(3)
túrinde jazıwġa boladı, bul jerde

Beltra-Laplas operatorı.
Bizge málim sferalıq koordinatalar sistemasındaġı Laplas teńlemesiniń sheshimi ózgeriwshilerdi ayırıw usılı járdeminde kóbeyme túrinde izlenip, (1) teńlemeniń
(4)
túrindegi Fure maġanasındaġı ulıwma sheshimine iye bolamız, bul jerde belgisiz hám koefficientler (4) ni sáykes (2) hám (3) lerge qoyıw arqalı anıqlanadı:




Bunnan belgisiz koefficientlerdiń




sistemasına iye bolamız, bul jerde

Lekin ayırım waqıtları belgisiz koefficientlerdi tabıw waqtında esaplaw processin jeńillestiriw maqsetinde, dáslep ushın

teńlemesiniń bolġanda birtekli shegaralıq shártti qanaatlandıratuġın sheshimin tawıp alamız. Bunday sheshim

bolıp tabıladı.
Endi bolġanda birtekli shegaralıq shártti qanaatlandıratuġın sheshimin tawıp alamız. Joqarıdaġıġa uqsas bunday sheshim

bolıp tabıladı.
Solay etip, Laplas teńlemesiniń birtekli shegaralıq shártti qanaatlandıratuġın

hám birtekli shegaralıq shártti qanaatlandıratuġın

sheshimler semeystvosın alıwġa boladı.
Endi shar saqıynasındaġı (1)-(3) Laplas teńlemesi ushın Dirixle máselesiniń sheshimin hám sheshimler semeystvosı arqalı jayılġan

(5)
kóriniste alıwġa boladı. Bul jerde hám koefficientler ushın, al hám koefficientler bolsa ushın berilgen shegaralıq shártlerden aldınġı usıl boyınsha tabılġan sıyaqlı anıqlanadı.
Mısal ushın sırtqı betindegi potencial nolge teń bolġan, al ishki betinde potencialġa shekem zaryadlanġan shar saqıynasındaġı elektrostatistikalıq potencialdı tabıw


shegaralıq máseleni sheshiwge alıp kelinedi.
ushın shegaralıq shárt nollik bolġanı ushın sheshim

kóriniste izlenedi, bul jerde

Endi ekenligin paydalanıp, shegaralıq shártten barlıq
hám ushın ekenligin anıqlaymız hám sonıń menen birge
Sonlıqtan sheshim (5) boyınsha

boladı.