---

3 
«Диференсиал тянликлярин тягриби щялл цсуллары» фяннинин
П Р О Г Р А М Ы 
(мцщазиря-30 саат) 
 
 
ВЫЫ семестр 
 
Юн сюз 
 
Бу курсун тядрисиндя мягсяд, тялябяляря ади 
диференсиал тянликлярин тягриби щялли щаггында мялумат 
вермяк, цсулларын мцгайисяси цчцн зярури яламятляри шярщ 
етмяк вя практикада растлашдыьымыз бязи мясялялярин 
щяллиндя, диференсиал тянлийин саь тяряфиндяки функсийанын 
хцсусиййятлярини нязяря алмагла тягриби цсулларын 
гурулмасындан ибарятдир. 
Тялябяляр диференсиал тянликлярин тягриби щяллини 
юйрянян заман, яввялъя бу тягриби щяллин ахтарылмасы 
зярурятини арашдырмалыдырлар. Беля ки, орта ясрлярдя бир 
чох тябият щадисяляри инсанлары наращат етдийи цчцн, онлар 
щямин щадисяляри арашдырмаьа башладылар. Бу щадисяляря 
мисал олараг зялзяляляри, эцняш тутулмаларындан сонра 
ямяля эялян анамал щадисяляри, йер сятщиндя тапылан 
метеорлар, бязи кометлярин йер сятщиндя габарламаларын 
мейдана эятирмяси вя саир. Инсанлар бу щадисялярдян 
юзлярини сыьорталамаг мягсяди иля, онлары ямяля эятирян 
гцввяляри тядгиг етмяйя башладылар. Бу щадисяляр ади 
диференсиал тянликляря эятирилдийи цчцн, алимляр ади 
диференсиал тянликлярин щяллини даща чох тядгиг етмяйя 
башладылар вя мялум олду ки, щеч дя щямишя ади 
диференсиал тянликлярин дягиг щяллини тапмаг мцмкцн 
олмур. Буна эюря дя бир чох алимляр ади диференсиал 
тянликлярин тягриби щялляринин тапылмасыны тяклиф етдиляр. 
4 
Гейд едяк ки, диференсиал тянликлярин тятбиг 
сащяляри чох эенишдир. Мясялян, ашаьыдакы мисаллара 
бахаг. Нйутонун икинъи гануну 
2
2
dx
y
d
M
Ma
F
=
=
кими йазыла биляр. Бу икинъи тяртиб ади диференсиал 
тянликдир. Инди ися фярз едяк ки, мцяййян бактерийалар 
синифини тядгиг едирик. Айдындыр ки, бу бактерийалара 
хариъи тясир йохдурса, онда онларын мцяййян 
t
-
заманында артым сцряти яввялки 
)
(t
y
кямиййятиня 
мцтянасиб олаъаг. Бу мцнасибяти ашаьыдакы тянликля 
ифадя етмяк олар: 
)
(t
ky
y
=
¢
. 
Цмумиййятля, бир кямиййятин диэяриня эюря 
дяйишмяси просеси диференсиал тянлик васитяси иля ифадя 
олунур. Бунлары нязяря алараг, бу курсда ади диференсиал 
тянликлярин тягриби щяллини тядгиг едяъяйик. 
Тялябяляря мцасир дюврдя диференсиал тянликлярин 
елм вя техниканын инкишафындакы ролуну вя оптимал 
алгоритмлярин гурулмасыны, онларын компцтердя йериня 
йетирилмясини изащ етмяли. 
Аналитик тягриби цсуллар щаггында 
Тялябяляря диференсиал тянликлярин тягриби щялли цчцн 
Нйутон вя Клеро цсуллары щаггында мялумат вердикдян 
сонра бу цсуллары мцгайися етмяли вя диэяр аналитик-
ядяди цсулларын тядгигини шярщ етмяк лазымдыр. 
Ади диференсиал тянликляр цчцн Коши мясялясинин 
тягриби щялли заманы функсийанын Тейлор айрылышындан 
истифадя олунмасынын нязяри вя практик ясасларыны изащ 
етмяли вя бу цсулун нюгсанларыны тялябяляря изащ етмяли. 
Нювбяти цсул кими итерасийа цчулларындан истифадя 

---

5 
олунмасынын зярурилийини тялябяляря изащ етмяли вя 
итерасийа цсулунун йыьылмасыны мцяййян шяртляр 
дахилиндя исбат етмяли. Тягриби цсулларын кюмяйи иля 
гурулан щяллин дягиг щялля мцгайисясини Чаплыэин 
цсулунун кюмяйи иля изащ етмяли. 
Бираддымлы цсуллар щаггында 
Ейлер цсулу щаггында цмуми мялумат вермяли вя 
бу цсулу мцхтялиф схемлярин кюмяйи иля гурмалы. Бу 
цсулун тякмилляшмиш формаларынын щяндяси изащыны 
вермякля, мцяййян инкишаф мярщялясиндя Рунге-Кутта 
цсулу иля явяз олунмасыны тялябяляря изащ етмяли. 
Мцхтялиф тяртибли Рунге-Кутта цсуллары щаггында 
мялумат вермякля бярабяр, Рунге вя Кутта тяряфиндян 
гурулмуш 4-ъц тяртиб цсулу тялябяляря изащ етмяли.
Ашкар 
Рунге-Кутта 
цсулларындан 
фяргли 
йарымашкар вя гейри ашкар цчуллар щаггында мялумат 
вердикдян сонра, бу цсуллары мцгайися етмяли вя бязи 
Рунге-Кутта цсулларынын дайаныглыг областларыны 
тялябяляря изащ етмяли.
Чохаддымлы цсуллар 
Чохаддымлы цсулларын илк нцмайяндяси олан 
Адамс цсуллары щаггында вя онларын ямсалларынын 
щесабланмасы цчцн рекурент мцнасибят щаггында 
мялумат вермяли. Бу цсулларын цмумиляшмиш формасы 
олан сабит ямсаллы чохаддымлы цсуллар, онларын ямсаллары 
цзяриня гойулан мящдудиййятляр щаггында эениш 
мялумат вердикдян сонра бу цсулун йыьылмасы цчцн кафи 
шяртляри 
мцяййянляшдирмяли. 
Чохаддымлы 
цсулун 
дяряъясинин ян бюйцк гиймятини тяйин етмяли вя 
максимум дяряъяйя малик цсулларын чох вахт дайаныглы 
олмадыьыны конкрет мисалын кюмяйи иля исбат етмяли. 
6 
Дайаныглы цсулларын щям нязяри вя щям дя практик 
ящямиййятли олдуьуну нязяря алараг, ашкар вя гейри-
ашкар дайаныглы цсулларын дяряъяляри иля тяртибляри 
арасындакы ялагяни тяйин етмяли. Гейри-ашкар цсулларын 
практикада истифадя олунмасы схемини тялябяляря изащ 
етдикдян сонра, онлара прагноз вя коррексийа цсулунун 
цстцн ъящятляри щаггында мялумат веряряк бу цсулун 
йыьылмасы цчцн теоремляри исбат етмяк лазымдыр. Верилмиш 
мясялянин щяллинин бюлэц нюгтяляриндяки гиймятляринин 
сярщядлярини мцяййянляшдирмяк мягсяди иля икитяряфли 
ядяди цсуллар щаггында тялябяляри мялуматландырмаг 
лазымдыр. 
Икитяряфли 
цсулларын 
гурулмасында 
бир 
вя 
чохаддымлы цсуллардан истифадя етмяли вя тялябяляря 
икитяряфли формулаларла икитяряфли цсулун фяргини изащ 
етмяк лазымдыр. Бу типли цсулларын гурулмасыны мялум
цсуллар цзяриндя нцмайиш етдирмяк вя щяллин йцксяк 
тяртибли тюрямяляринин ишарясинин икитяряфли цсулларын 
гурулмасындакы ролуну конкрет цсулларын кюмяйи иля 
тялябяляря изащ етмяк лазымдыр. 
Далквист 
теореминя 
дайаныглы 
чохаддымлы 
цсулларын дяряъяляринин мящдуд олдуьуну нязяря алараг, 
тялябяляря бу цсулларла щесабланылан тягриби щяллярин 
дягиглийини 
артырмаг 
мягсяди 
иля 
Ричардсон 
екстраполйасийа цсулу щаггында вя ядяди цсулларын 
хяталарынын асимптотик айрылышы щаггында мялумат 
вермяк лазымдыр. Ядяди цсулларын хяталарынын асимптотик 
айрылышларыны нязяря алмагла бу цсулларын хятти 
комбинасийасындан истифадя олунмасынын ефвективлийини 
эюстярмяли. Коши мясялясинин щяллинин ядяди цсулларла 
щесабланылмыш 
тягриби 
гиймятляринин 
дягиглийинин 
артырылмасы цчцн Щамминэ цсулунун шярщини вермяк 
лазымдыр. 

---

7 
Тялябяляря прогноз-коррексийа цсулунун мцхтялиф 
вариантлары щаггында мялумат вермяли вя бу цсулларын 
йыьылмасы цчцн кафи шяртляри мцяййянляшдирмяли вя 
чохаддымлы цсулларын бир танынмыш формасы олан ирялийя 
ачма цсуллары щаггында эениш мялумат верилмялидир. Бу 
цсулун мянфи вя мцсбят ъящятлярини тялябяляря изащат 
вердикдян сонра, бязи конкрет мисалларын дайаныглыг 
областларынын гурулмасыны шярщ етдикдян сонра, 
проагноз-коррексийа схеминин кюмяйи иля ирялийя гачма 
цсулларынын дайаныглыг областларынын эенишлянмясинин 
мисалларын кюмяйи иля нцмайиш етдирмяк лазымдыр. 
Бираддымлы вя чохаддымлы цсуллары мцгайися 
етсяк, асанлыгла эюрярик ки, бу цсулларын биринин диэяриня 
нисбятян бязи цстцн ъящятляри вардыр. Буна эюря дя бу 
цсулларын щяр икисини юзцндя бирляшдирян щибрид цсулларын 
гурулмасы тялябяляр цчцн мараглы олар. Бу мягсядля 
тялябяляря садя щибрид цсуллар щаггында мялумат 
верилмялидир.