4- мустақил иш. Акслантиришлар


Download 244.73 Kb.
Pdf ko'rish
Sana26.09.2020
Hajmi244.73 Kb.



4- Мустақил иш. Акслантиришлар. 

 

 



Агурух топшириқлари. 

 

 



4.120. 

X 

{abc



ва 

Y 

{1,  2, 3,  4} 



тўпламлар  ўртасида  аниқланган  қуйидаги 

бинар  муносабатлардан  қайсилари  акслантириш, 



X 

ни 


Y 

нинг  ичига 

акслантириш бўлишини аниқланг: 

1) 


F 

{





a, 1





a, 2 





a, 3 





c, 4 

}



 

2) 



F



{



a, 2 







b, 1





c, 3

}



 

3) 



F



{



a, 2 







b, 2 





c, 4 

}



 

4) 



F



{



a, 2 







b, 1

}



 

 



4.121. 5.092 - мисолдаги бинар муносабатлар: 

[



{





x,  y 

,  z 





| {x,  y,  z}



R 



z 



x 



y}



R



R 



R

ва 


 





{





x,  y 

,  z 





| {x,  y,  z}



R 



z 



xy}



R



R 





R

лар 



R





R 

 



акслантиришлар бўладиларми? Нима учун? 

 

 



























 







 













 






















 



4.122. 

f 

акслантириш  аниқланиш  соҳасининг  ихтиёрий  қисм  тўплами  учун 



f ( A



B



f ( A



f (B)

тенглик ўринли бўлишини исботланг. 

 

4.123. 



f 





xy  | xy



Z 



yx



бинар муносабат акслантириш бўладими? Нима 



учун? 

Domf 

ва 


Im  f 

ни топинг. 

 

4.124. Қуйидаги муносабатлардан қайси бири акслантириш бўлади: 



 

1) 






xy 



R



R | y 



x



2) 






xy 

[0,



[



]

 


,

[| y 





x



3) 






xy 

[0,



[



]0,

[| y 





x



4) 






xy 

[0,1]



[0,1] | y 



x



 

5) 




xy 

 


0,

1

  



0,

1





y 



x





 

6) 






xy 



N 



N | y 



x



7) 






xy 

[0,



[



]

 


,

[| x 





y



8) 






xy 

[0,



[



]0,

[| x 





y



9) 






xy 

 


1,1 



1,0


x



y



1 ; 



10) 






xy 

 


1,0



1,1



x



y



1 ; 



11) 






xy 



1,0


 


1,0

x





y



1 ; 



12) 






xy 



N 



N | x



y 



3 ; 


13) 






xy 



N 



N | y 



x 



3 ; 


14) 






xy 



N 



N |  x 



y 



3 . 


 

 

4.125. 



А



аудиториядаги  барча  талабалар  тўплами, 



В 



шу  аудиториядаги 



стуллар тўплами бўлсин ва 

1) ҳар бир талабага ўзи ўтирган стулни мос қўйилган; 

2) ҳар бир стулга унга ўтирадиган талабани мос қўйилган. 

Қайси  ҳолда  1)  ва  2)  мослик 



А



В 

ва 

В 



А 

акслантиришларни 

аниқлайди? 

 

 

 



 

 

Вгурух топшириқлари. 

 

 

4.126.  Текисликдаги  барча  нуқталар  тўплами 



M 

билан 


R





ҳақиқий 

сонларнинг 

барча 

тартибланган 



жуфтликлари 

тўплами 


ўртасида 

берилган  қандайдир  координаталар  системасига  нисбатан  ҳар  бир 

нуқтага  ўзининг  координатасини  мос  қўйиш  орқали  аниқланган 




{





x,  y 




|  x 



m



y 

(OX ),  y 





m

x 

(OY )}





M 



R

бинар 


муносабат



M 





R

- акслантириш бўлишини исботланг. 



 

 

4.127.  4.088  –  мисолдаги 



W 

{





x,  y 



| {x,  y}





Z 



x  y  ни  бўлади

–  бинар 

муносабат акслантириш бўладими? Нима учун? 

 

4.128.  Ҳар  қандай 



X 

тўплам  учун  айний  муносабат 



id

X 

{





x,  x 







x



-

акслантириш бўлишини исботланг. 



 

4.129. 


 Ҳар 

қандай 


f  : X 



Y 

акслантириш  учун

 

унинг 



торайиши 

f  |

x

X





Y 

ҳам акслантириш бўлишини 

исботланг. 

 

4.130.                   6.120–масаладаги 



F



{



a, 2 







b, 1





c, 3 



торайишидан иборат? 

F



{



a, 2 







b, 1

}



акслантириш 

акслантиришнинг     қайси     тўпламдаги 

 

 

4.131. 



 

А 

{3, 2, 1} 



тўпламни 

В 

{ab}



тўпламга  мос  қўювчи

 

барча акслантиришларни  ва     



А      

ни 


В 

нинг 


ичига  ўтказувчи  барча акслантиришларни  топинг. 

А 

ни 


В 

га  мос 


қўювчи 

жамида  нечта бинар муносабат ва нечта акслантириш 

мавжуд? Жавобингизни 5.081-масаланинг натижаси билан солиштиринг. 

 

 



 

Сгурух топшириқлари. 

 

4.132.  Ҳар  бир  учбурчакка  унга  ички  чизилган  айланани  мос  қўювчи 



Т 

муносабат 



барча  (текисликдаги)  учбурчаклар  тўпламини 



 

барча  (текисликдаги)  айланалар  тўпламига  акслантириш  бўладими? 

Нима учун? 

 

4.133.  Ҳар  бир  айланага  унга  ташқи  чизилган  учбурчакни  мос  қўювчи 



О 

муносабат 



 

барча  (текисликдаги)  айланалар  тўпламини 



барча 


(текисликдаги) учбурчаклар тўпламига  акслантириш бўладими? Нима учун? 

 

 



 

 

4.134.  Агар 



f  : X 



Y 

бўлса,  у  ҳолда  ихтиёрий 

{A,  B}



X 

қисм  тўплам  учун 

 

қуйидаги 



боғланишлар 

ўринли 


f ( A



B



f ( A



f (B)

                лекин

бўлишини         исботланг: 



f ( A



B



f ( A



f (B)



f ( A) \  f (B



f ( B

бўлади. Агар бундан ташқари 

A 



B 

бўлса, у ҳолда 

f ( A



f 

(B)

бўлади. 


 

 

Dгурух топшириқлари. 



 

 

4.135.  Агар 



f  : X 



Y 

бўлса,  у  ҳолда  ихтиёрий 

{C,  D}



Im  f 



қисм  тўплам 

 

учун      қуйидаги      боғланишлар 



f 

1



(C 



D



f 

1



(D)



f 

1

(C)         



ва 

ўринли      бўлишини      исботланг: 



f 

1



(C) \  f 

1



(D



f 

1

(C \ D)



,       лекин 

f 

1



(C 



D



f 

1



(C)



f 

1

(D



бўлади. Агар бундан ташқари 

C 



D 

бўлса, у ҳолда 

f 

1



(C



f 

1

(D



бўлади. 

 

4.136.  Агар 



f ( A



B



f ( A



f (B

тенглик  барча 

f 

акслантиришлар  учун 

ўринли  бўлмаса  (лемма  7.1.  га  қаранг),  у  ҳолда 

f 

га  қандай  шарт 

қўйилганда  тенглик 

Dom  f 

нинг  ҳар  қандай  қисм  тўплами  учун 

ўринли бўлишини топишга ҳаракат қилинг. 

 

4.137.  Агар 



А 



p 

ва 

B 



q 

(Масалан, 

A 

{a



1

,  a

, . . . , a



p

ва 



B 

{b , b



2

, . . . , b



q

}



бўлса, 

А 

ни 


В 

нинг  ичига  мос  қўювчи  нечта  акслантириш  мавжуд 

бўлади? 

 

4.138. 



А 



m,  B 



n 

бўлсин. 


А



тўпламни 



В 



тўпламнинг  ичига  ўтказувчи 



барча акслантиришлар сонини топинг. 

 

 



 

 

Акслантиришлар устида амаллар. 

 

Агурух топшириқлари. 



 

 

4.139.  6.104  - мисолдаги 



f 

ва 


g 

лар акслантиришлар: 



f  : R 



R 

ва 

g : R 



R 

бу  ерда 



f 

{





x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



x

2

},  g 



{





x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



x

1}



учун 


акслантиришлар 

композициясини 

топинг 

ва 


уларнинг 

графикларини чизинг. 

 

4.140.  7.120  -  мисолдаги 



F

,  F



3

,  F

акслантиришлардан  қайси  бири 



тескариланувчи? 

Уларнинг 

графларидаги 

ўзига 


хослик 

нимадан 


иборат? 

 

 



 

 

 



4.141. 

f

1      


ва 

f

акслантириш (функция)лар тескариланувчими, аниқланг. 



1) 

f

R 





R 

, бу ерда 

f



{



x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



x

3

}



 

2) 



f

R 





R

, бу ерда 

f



{



x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



x

2

}



 

 



4.142. 

  Бу 


функцияларнинг

 

графикларини 



солиштиринг,  графикларда  тескариланувчи 

ва  тескариланмайдиган  акслантиришлар  учун  қандай  ўзига  хослик  кўзга 

ташланади? 

 

4.143.  Айний  акслантириш 



i

x 

{





x,  x 



x





-  тескариланувчи  эканини 

исботланг. 

 

4.144.  8.141-  масаладаги 



f

R 





R 

,  бу  ерда 

f



{



x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



x

3



-

тескариланувчи 

акслантириш 

учун 


тескари 

акслантиришни 

кўрсатинг. 

f

R 





R

, 

бу  ерда       



f



{



x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



x

2



-

тескариланувчи акслантириш бўладими? 

 

4.145.  7.124-  мисолдаги  акслантиришлардан  қайси  бири  тескариланувчи? 



Уларнинг тескари акслантиришларини топинг. 

 

Вгурух топшириқлари. 



 

 

4.146.  Акслантиришлар  инверсияси  (муносабатдаги  каби)  қандай  хоссаларга 



эга  ва  у  ихтиёрий  акслантириш  учун  яна  акслантириш  бўладими? 

Жавобингизни асосланг. 

 

 

4.147. 



 

f  : X 



Y 

ва 

g : Y 



Z 

акслантиришларнинг 

композицияси 

(бинар 

муносабатлар 



композицияси 

каби) 


яна 

акслантириш  бўлишини исботланг. 

 

4.148. 


 

Акслантиришлар 

эканлигини, 

яъни 


композицияси     ассоциативлик 

ихтиёрий       



f ,  g          

ва      


хоссасига     эга 

акслантиришлар 

учун


()  f 



 (g  f )

тенглик ўринли эканини исботланг. 

 

 



4.149.  Исботланг: 

f 

акслантириш тескариланувчи бўлади фақат ва фақат шу 

ҳолдаки,  қачонки, 



y 

Im  f 



учун  фақатгина  битта 



x,  y 



f 

кортеж 


мавжуд бўлса ёки ҳар бир 

y 

Im  f 



элемент ягона асл тасвирига эга бўлса.

 

 



 

 


 

4.150.  Агар 



f  : X 



Y 

акслантириш  тескариланувчи  бўлса,  у  ҳолда 

f 



акслантириш  ҳам  тескариланувчи  бўлиб, 

f 

1

)







f 

бўлишини 

исботланг. 

 

Сгурух топшириқлари. 



 

4.151.  Агар 



f  : X 



Y 

акслантириш  тескариланувчи  бўлса,  у  ҳолда 

Im  f 



Dom  f 

1



,  Dom  f 



Im  f 



1



f 



: Im  f 



X 

бўлади. 

 

4.152. Агар 



f  : X 



Y 

акслантириш тескариланувчи бўлса, у ҳолда 

f 



f 



i



X 

ва 


f  f 





i

Im  f     

бўлишини исботланг. 

 

 



7.153.  Агар 

f  : X 



Y 

ва 

g : Y 



Z 

акслантиришлар  тескариланувчи бўлсалар, 

у  ҳолда  уларнинг  композицияси 



g  f     

ҳам  тескариланувчи  бўлиб, 

(g f )



: Im (g f ) 



X 

ва 

(g f )







f 



 g



бўлишини исботланг. 

 

 



Dгурух топшириқлари. 

 

 



4.154.  Ихтиёрий  тескариланувчи 

f 

акслантириш  ва  ихтиёрий 

{C,  D}



Im  f 



қисм  тўпламлар  учун 

f 

1



(C 



D



f 

1



(C)



f 

1

(D



тенглик  ўринли 

бўлишини исботланг. 

 

7.155.  Ҳар  қандай 



f  : X 



Y 

акслантириш  ва 

X 



X 



X 




қисм  тўпламлар 

учун 


f  |

X



) |



X






f  |

X




- торайишлар тенглиги ўринли бўлади. 

 

 Инъектив ва сюръектив акслантиришлар. 



 

Агурух топшириқлари. 

 

 

4.156.  Қуйидаги  муносабатлардан  қайси  бири 



акслантириш бўлади? (8.10 – 815- расмлар): 

1. 


a 





2. 





b 



b 



.



нима  учун 



 

3. 


a 

сюръектив 



 

 

 











c 



c 







d 





d                                                         

 





 



 

 

g

8.10-расм. 



g



g

8.11-расм. 



8.12-расм. 

 

f

R 



[



1, 1]

, бу ерда 4. Y 



f



{



x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



sin x}



5. 


 

 



 

 

 



 

 

 



О 



 

 



 

 

 



4.13- расм. 

8.14- расм. 

 

Y 6 


 

 



 

 

X -





О 





2





-1 

8.15- расм. 

 

4.157. Ҳақиқий сонларни қўшиш ва кўпайтириш (5.092- ва 7.121- мисолларга 



қаранг): 

{





x,  y,  z 



| {x,  y,  z}





R 



z 



x 



y}



R



R



R 



R

ва 


{



x,  y,  z 



| {x,  y,  z}





R 



z 



xy}



R



R



R 



R

акслантириш 



сифатида сюръектив бўладиларми? 

 

4.158. 



f 



S  Map  ( 

-  тескариланувчи  акслантириш  учун 

f 



акслантириш 

сюръективми?  (Бу  ерда 



S  Map ( )



Х 

тўпламни 

Y 

тўпламга 

ўтказувчи барча сюръектив акслантиришлар тўплами). 

 

4.159.  Агар 



f 



I  Map  ( 

бўлса,  у  ҳолда 

f 



тескариланувчи  бўлади. 



f 



акслантириш  инъектив  бўладими?  (Бу  ерда 

I  Map  ( ,  



Х 

тўпламни 

Y 

тўпламга ўтказувчи барча инъектив акслантиришлар тўплами). 

 

 


 

 

 



4.160.  7.120  -  мисолдаги 

F

,  F



3

,  F

акслантиришлардан  қайси  бири 



сюръектив, қайси бири инъектив акслантириш бўлади? 

 

4.161.  8.141-  мисолдаги 



f

ва 



f

2     


акслантириш  (функция)лар  сюръективми, 

инъективми, аниқланг: 

1) 

f

R 





R 

, бу ерда 

f



{



x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



x

3

}



 

2) 



f

R 





R

, бу ерда 

f



{



x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



x

2

}



 

 



4.162.  7.141-  масаладаги 

f

R 





R 

,  бу  ерда 

f



{



x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



x

3



-

акслантириш  сюръективми,  инъективми,тескариланувчи? 



f

:  R 





R

,  бу  ерда 

f



{



x,  y 



| {x,  y}





R 



y 



x

2

}



- акслантириш-чи? 

 

4.163.  7.124-  мисолдаги  акслантиришлардан  қайси  бири  сюръектив,  қайси 



бири 

инъектив, 

тескариланувчи 

акслантириш 

бўлади? 

Уларнинг 

тескари акслантиришларини топинг. 

 

 



Вгурух топшириқлари. 

 

 



4.164.  Агар 

f  : X 



Y 

ва 

g : Y 



Z 

акслантиришлар  сюръектив  бўлсалар,  у 

ҳолда  уларнинг  композицияси 



g   f  :  X 



Z 

ҳам  сюръектив  бўлишини 

исботланг. 

 

4.165.  Агар 



f 

- инъектив  бинар муносабат  бўлса,  у ҳолда 



f 



-  акслантириш 

бўлишини исботланг. 

 

4.166.  Акслантириш  тескариланувчи  бўлади  фақат  ва  фақат  шу  ҳолдаки, 



қачонки у инъектив бўлса. Буни исботланг. 

 

4.167. Агар 



f  : X 



Y 

ва 

g : Y 



Z 

акслантиришлар инъектив бўлсалар, у ҳолда 

уларнинг 

композицияси 

g  f  : X 



Z 

ҳам  инъектив  бўлишини 

исботланг. 

 

4.168. 


N 

ва 


Z 

тўпламлар ўртасида шундай 



f 

акслантириш топингки, у: 

а) ичига бўлсин, инъектив бўлсин; 

 

б) ичига бўлсин, лекин инъектив бўлмасин; 



 

в) инъектив бўлсин ва сюръектив (устига) бўлсин (биектив); 

 

г) сюръектив (устига) бўлсин, лекин инъектив бўлмасин. 



 

 




 

 



 

Сгурух топшириқлари. 

 

 

4.169. 



А 



m,  B 



n 

бўлсин. 


А



тўпламни 



В 



тўпламнинг ичига ўтказувчи 



1) барча инъектив акслантиришлар сонини; 

2) барча сюръектив акслантиришлар сонини топинг. 

 

4.170.  Агар 



f  : X 



Y 

акслантириш  инъектив  бўлса,  у  ҳолда 

f 



f 



id



X      

ва 


f  f 





id

Im  f 

бўлишини исботланг. 

 

4.171. 



f  : R 



R,  f 





xy  | xy





R 



y 



x

2



ва 

g : R 



R,  f 



xy  | xy





R 



y 



x 



функциялар берилган. Улар учун 

f  g 



g  f 

тенглик ўринлими? 

f  g 

акслантириш  сюръективми  ёки  инъективми? 

f   g)



акслантириш 

мавжудми? 

 

4.172. 


f 



X 

ни 

Y 

нинг  устига  акслантириш  бўлсин.  Қуйидаги  тасдиқлар 

ўзаро эквивалент эканини исботланг: 

1) 


x





x





f (x

1





f (x

); 



 

2) 


f (x

1





f (x





x





x

2



 

3) 


ихтиёрий 

g : Y 



X 

ва 

Y 



X 

акслантиришлар  учун 

 

f  g 



f   h 



g 



h

 



 

Dгурух топшириқлари. 

 

4.173. Агар 



f 



X 

ни 

Y 

нинг устига ўзаро бир қийматли акслантириш, 



g 

эса 


Y 

ни 


Z 

нинг устига ўзаро бир қийматли акслантириш бўлса: 

1) 

g  f 



X 

ни 

Z 

нинг  устига  ўзаро  бир  қийматли  акслантириш 

 

бўлишини; 



 

2) 


(g f )





f 



 g



бўлишини исботланг. 

 

 



4.174. 

f 



чекли 



X 

тўпламни  алмаштириш  бўлсин.  Қуйидаги  тасдиқлар 

ўзаро эквивалент эканини исботланг: 

1) 


f 



акслантириш ўзаро бир қийматли; 



 

2) 


f 



X 

ни 

X 

нинг устига акслантириш. 

 

 

 



 

 

29 



 



 

 

 Биектив акслантиришлар. 



 

 

Aгурух топшириқлари. 



 

 

4.175.Айний 



акслантириш 

i

Х 

{





x,  x 







x



X

биектив  акслантириш 

бўлишини исботланг. 

 

4.176. 


A 

{a



1

a

a



3

},  B 

{b , b



2

}



A



B 

-  сюръектив  акслантириш, 

A



B 

-

инъектив  акслантириш, 



A



B 

-  биектив  акслантириш  мавжудми? Нима 

учун?  Агар  бундай  акслантиришлар  мавжуд  бўлса,  ҳар  хил сюръектив, 

инъектив ва биектив акслантиришлар - 

A



B 

нинг сонини аниқлашга ҳаракат 

қилинг.  Худди 

шу 

саволга 


юқоридаги 

тўпламлардаги 



В 



А 

акслантириш учун жавоб беринг. 

 

Bгурух топшириқлари. 



 

 

4.177. 



A 

{a



1

a

,. . . , a



m

},  B 

{b , b



, . . . ,b



n

}

.  Қандай 



m 

ва 


n 

ларда 


A



B 

-

сюръектив  акслантириш, 



A



B 

-  инъектив  акслантириш, 

A



B 

-

биектив акслантириш мавжуд бўлади? Нима учун? 



 

4.178.  Агар 



f  : X 



Y 

акслантириш  биектив  бўлса,  у  ҳолда 

f 



Y 



X 

ҳам 

биектив акслантириш бўлишини исботланг. 



 

Сгурух топшириқлари. 

 

 

4.179. 



А



тўплам чексиз, унинг қисм тўплами 



В 



эса чекли бўлсин. У ҳолда 



А В 



А 

биектив акслантириш мавжуд бўлишини исботланг. 

 

4.180. 



А 



m,  B 



n 

бўлсин. 


А



тўпламни 



В 



тўпламнинг  ичига  ўтказувчи 



барча биектив акслантиришлар сонини топинг. 

 

4.181. 



А



тўпламни 



{0,1} 

тўпламнинг  ичига  барча  акслантиришлар  тўплами 

билан 

PА



А 

тўпламнинг  барча  қисм  тўпламлари  тўплами  ўртасида 

биектив мослик ўрнатинг ва агар 



А 



n 

бўлса, 

PA

ни топинг. 

 

 

4.182. 



f (



x,  y 







x 

1,  y 









муносабат  орқали  берилган 

f  : R





R

акслантириш биективэканини исботланг. 



 

 

 



 

30 


 

Dгурух топшириқлари. 

 

4.183.  Агар 



M 

берилган 

текисликда  қандайдир  аффин  координаталар  системаси 

бўлса,  у  ҳолда 



Ax,  y)) 



A

(x 



1,  y 



2) 


муносабат  орқали 

аниқланган 

g : M 



M 

акслантириш 

M 

тўплам  нуқталарини 

алмаштириш бўлишини исботланг. 

 

4.184.  Агар 



M 

-  текисликлар  тўпламида  қандайдир  тўғри  бурчакли  декарт 

(ёки аффин) координаталар системаси берилган бўлса, у ҳолда 

h 

{





A(x,  y),  A

(x



,  y









x

,  y





x 



y 

1,  x 





y 





}

муносабат 



орқали 

берилган 



h 



M 

бинар  муносабат  бу  текисликни  алмаштириш 



эканини исботланг. 

 

4.185.  Қандай  сонлар  кўп:  натурал  сонларми  ёки  жуфт  мусбат  бутун 



сонларми,  деган  саволга  жавоб  топиш  мумкинми?  Равшанки,  ҳар қандай 

жуфт  мусбат  бутун  сон  бу  –  натурал  сондир, 

2N 



N 

,  яъни жуфт натурал 

сонлар барча натурал сонлардан “кичик”. Ваҳоланки, бу тўпламлар - 



N 

ва 


2N 

тенг қувватлидирлар. Исботланг. 

 

4.186. Барча  бутун сонлар тўплами 



Z 

ва натурал сонлар тўплами 



N 

-  тенг 


қувватли тўпламлар эканини исботланг. 

 

4.187.  Ихтиёрий  иккита  кесмадаги  нуқталар  тўплами  тенг  қувватли  эканини 



исботланг. 

 

4.188. 



S

 


ярим айланадаги нуқталар тўплами билан унинг диаметри - 



AB



нинг тенг қувватли эканини исботланг. 

 

4.189. Тўғри чизиқ билан унинг ихтиёрий оралиғидаги нуқталар тўпламининг 



тенг қувватли эканини исботланг. 

 

4.190.  Акслантиришни 



s :  l 



S



|  s : M 





M 




(OM ) 



S



орқали  аниқлаш  ва 



унинг  биективлигини  исботлаш  орқали  кесмадаги  нуқталар  билан  бу 

кесмага  чизилган  ярим  айлана  уринмасидаги  нуқталар  тўпламининг  тенг 

қувватли эканини исботланг (9.16- расм). 

 

А 



О 

В 







М









М 

 



 

 

 



4.16- расм. 

 

 



Download 244.73 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling