4-ma’ruza Sоnlar kеtma-kеtligi va uning limiti. Yaqinlashuvchi kеtma-kеtliklarning хоssalari. Reja

4-ma’ruza

Sоnlar kеtma-kеtligi va uning limiti. Yaqinlashuvchi kеtma-kеtliklarning хоssalari.

Reja

1. Sonlar ketma-ketligi tushunchasi.

2. Sonlar ketma-ketligining limiti.

3. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralanganligi. Tengsizliklarda limitga o‘tish.

4. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallar.

5. Cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar.
1. Sonlar ketma-ketligi tushunchasi.

Biz birinchi ma’ruzada ixtiyoriy to‘plamni to‘plamga akslantirish:

tushunchasi bilan tanishgan edik.

Endi deb, har bir natural songa biror haqiqiy sonini mos qo‘yuvchi

(1)

akslantirishni qaraymiz.

1-ta’rif. (1) akslantirishning akslaridan iborat ushbu

(2)

to‘plam sonlar ketma-ketligi deyiladi. Uni yoki kabi belgilanadi.

sonlar (2) ketma-ketlikning hadlari deyiladi. Masalan,

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

lar sonlar ketma-ketliklaridir.

Biror ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.

2-ta’rif. [1, p.130, def. 6.1.16] Agar shunday o‘zgarmas soni mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy uchun tengsizlik bajarilsa (ya’ni bo‘lsa), ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.

3-ta’rif. Agar shunday o‘zgarmas soni mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy uchun tengsizlik bajarilsa (ya’ni, bo‘lsa), ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.

4-ta’rif. Agar ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan bo‘lsa (ya’ni bo‘lsa), ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.

1-misol. Ushbu

ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin.

Ravshanki, uchun

bo‘ladi. Demak, qaralayotgan ketma-ketlik quyidan chegaralangan.

Ma’lumki,

bo‘lib, undan ya’ni,

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligini bildiradi. Demak, ketma-ket-lik chegaralangan.

5-ta’rif. Agar ketma-ketlik uchun

bo‘lsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan deyiladi.