4-ma’ruza. Sonli algoritmlar Reja

4-ma’ruza. Sonli algoritmlar

Reja:

1. 
   Ko’p xadlarning qiymatlarini hisoblash. Gorner sxemasi
   
2. 
   Matricalarni ko’paytirish. Vinograd va Shtrassen usullari
   
3. 
   Chiziqli tenglamalarni echish. Gauss-Jordan usuli
   

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀ ko’phad berilgan bo’lsin.

Ta’rif. Agar x o’zgaruvchining biror a qiymatida f(x) ko’phadning qiymati nolga aylansa, bu a soni f(x) ko’phadning ham ildizi deyiladi.

f(x) ko’phadning ildizlarini aniqlash uchun uni nolga tenglashtirib yechish kerak.Bu tenglamaning ildizlari f(x) ko’phadning ham ildizlari bo’ladi.

1-misol f(x)=x⁴-13x²+36 ko’phadning ildizlarini toping.

Yechish. x⁴-13x²+36  x⁴-4x² -9x²+36=0  (x²-4)(x²-9)=0. Bu tenglama ikkita tenglamaga ajraladi:

1) x²-4=0 (x-2)(x+2)=0

2) x²-9=0  (x-3)(x+3)=0

Berilgan ko’phadning ildizlari: -3;-2;2;3 bo’ladi.

2-misol. f(x)=2x⁵+x⁴-10x³-5x²+8x+4=0 ko’phadning ildizlarini toping.

Yechish. 2x⁵+x⁴-10x³-5x²+8x+4=0 tenglamani yechamiz.

2x⁵-4x⁴+5x⁴-10x³-5x²+10x-2x+4=0

2x⁴(x-2)+5x³(x-2)-5x(x-2)-2(x-2)=0

(x-2)(2x⁴+5x³-5x-2)=0

(x-2)[2x⁴+2x³+3x³+3x²-3x²-3x-2x-2]=0

(x-2)(x+1)(2x³+3x²-3x-2]=0

(x-2)(x+1)(x-1)(2x²+5x+2)=0

(x-2)(x+1)(x-1)(2x+1)(x+2)=0

x₁=-0,5 ; x₂=-2 ;x₃=-1; x₄=2.

Shunday qilib, berilgan ko’phadning ildizlari -0,5 ; -2 ;-1; 2 bo’ladi.

Bezu teoremasi. f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀ (a0) ko’phadni x-a ikkihadga bo’lishdan chiqqan qoldiq ko’phadning x=a bo’lgandagi qiymatiga teng:

r = f(a) = 

Natija. f(x) ko’phad x-a ga bo’lingandagina va shundagina a soni f(x) ko’phadning ildizi bo’ladi.

Misol. f(x)= x³-1 ko’phad x=1 ga bo’linadi. Chunki x=1 soni f(x)= x³-1 ko’p-hadning ildizi bo’ladi, ya’ni, f(1)=0

f(x) ko’phadning ildizlarini izlash uning xa ko’rinishidagi chiziqli bo’luvchilarini topish bilan teng kuchlidir.

Misollar:

1) x²-a² ikkihad x-a ga ham, x+a ga ham bo’linadi;

2) x²+a² ikkihad x-a ga ham, x+a ga ham bo’linmaydi;

3) x³-a³ ikkihad ikkihad x-a ga ham, x+a ga ham bo’linmaydi;

Gorner sxemasi. fx)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀ ko’phadni x- ikkihadga bo’lishdagi qoldiqni hisoblashning Gorner (Xorner Uilyam (1786-1837) – ingliz matematigi) sxemasi deb ataluvchi usulini ko’rsatamiz.

f(x)=q(x)(x-a)+r (1) bo’lsin.

Bunda q(x)= b₀x^n-1+b₁x^n-2+b₂x^n-3+…+b_n-1.

(1) dagi x ning bir xil darajalari oldidagi koejjitsiyentlarni tenglashtirib quyidagiga ega bo’lamiz:

a₀=b₀

a₁=b₁-b₀

a₂=b₂-b₁

…

a_n-1=b_n-1-b_n-2

a_n=r - b_n-1

bundan ko’rinadiki, b₀=a₀, b_k=b_n-1 +a_k, k=1,2,3,…, n-1, r=-b_n-1.

Bo’linma va qoldiqni hisoblash quyidagi jadval yordamida topiladi.

	a0	a1	an-2	…	an-1	an
		b0+a1	b1+a2	…	bn-2+an-1	bn-1+an
	b0= a0	b1	b2		bn-1	r

Bu sxema Gorner sxemasi deyiladi.

1-misol. x³+4x²-3x+5 ko’phadni Gorner sxemasidan foydalanib, x-1 ga bo’lishni bajaring.

	1	4	-3	5
1	1	5	2	7

Demak, x³+4x²-3x+5=(x-1)(x²+5x+2)+7.

Bezu teoremasidan f(x) ko’phadni ax+b ko’rinishdagi ikkihadga bo’lishda hosil bo’ladigan r qoldiq f ga teng bo’lishi kelib chiqadi.

2-misol. P(x)= x³-3x²+5x+7 ni 2x+1 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.

Yechish. Qoldiq r=P ga teng.

3-misol. P₄(x) = x⁴+x³+3x²+2x+2 ko’phadni x-1 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping

Bezu teoremasiga asosan:

P₄(1) = 1+1+3+2+2 = 9

4-misol: P₂(x) = x₃+2x²+x-a² ko’phadni x-2 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiq 8 ga teng bo’lsa, ani toping.

P₂(2) = 2³+4²+2-a²= 8

a²=10

a= -

a= 

Javob: a=

5-misol: P₅(x)= 2x⁵ –x⁴-3x³+x-3 ni x-3 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.

P₅(x) = (x-3) (2x⁴+5x³+12x²+36^x+109) + 324