4-Mavzu: Funksional qatorlarlarning tekis yaqinlashishi haqidagi Veyershtrass, Dirixle va Abel alomatlari. Reja

4-Mavzu: Funksional qatorlarlarning tekis yaqinlashishi haqidagi Veyershtrass, Dirixle va Abel alomatlari.

Reja:

1. 
   Funksional qatorlarlarning tekis yaqinlashishi haqidagi Veyershtrass alomati
   
2. 
   Funksional qatorlarlarning tekis yaqinlashishi haqidagi Dirixle alomati
   
3. 
   Funksional qatorlarlarning tekis yaqinlashishi haqidagi Abel alomati
   

1. 
   Funksional qatorlarlarning tekis yaqinlashishi haqidagi Veyershtrass alomati.
   

1-teorema. ( Veyershtrass alomati)

Agar

funksional qator uchun shunday yaqinlashuvchi sonli

qator va topilib va

tengsizlik bajarilsa, u holda (1) qator to’plamda absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Isbot. (2) shartga ko’ra lar uchun,

tengsizlik bajariladi.

qatorning yaqinlashuvchanligidan, bu qator uchun Koshi sharti bajariladi., yani

munosabat bajariladi. (4) va (3) dan (1) qator uchun E to’plamda Koshi shartning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, 3-teoremaga ko’ra (1) qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. (1) qatorning har bir uchun absolyut yaqinlashuvchiligi (3) ning o’ng tomonida turgan tengsizligidan kelib chiqadi.

Natija. bo’lsin. Agar

qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (2) qator to’plamda absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Misol. Umumiy hadi bo’lgan

qatorning tekis yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang.

Yechish: da bo’lganligi uchun

tengsizlik bajariladi

qator yaqinlashuvchi bo’lganligi uchun, 4-teoremaga ko’ra,

tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

Misol.

qatorni tekis yaqinlashishga tekshiring.

Yechish: Barcha uchun tengsizlikning o’rinli ekanligidan foydalanib va tengsizlikni hisobga olib

Munosabatni olamiz. Bu yerdan esa Veyershtrass alomatiga ko’ra qaralayotgan qatorning tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

2. 
   Funksional qatorlarlarning tekis yaqinlashishi haqidagi Dirixle alomati.
   

2-teorema.( Direxli alomati)

qator uchun,

a)



ketma ketlik to’plamda tekis chegaralangan.

Ya’ni

tengsizlik bajarilsin.

funksional ketma ketlik monaton, ya’ni

bo’lib, nolga tekis intilsin, ya’ni

(8)

shartlar bajarilsin. U holda (5) qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Isbot. Ixtiyoriy , ixtoyoriy va natural sonlari uchun yig’indi uchun quyidagi munosabatlar o’rinli .

tenglikka ko’ra

munosabat o’rinli, bu yerdan

tenglikni hisobga olib

munosabat kelib chiqadi.

Agar (6) va (7) lar bajarilsa , u holda bu oxirgi formuladan

tengsizlik kelib chiqadi . Ikkinchi tomondan

tengsizlikka ko’ra , va

(9)

munosabatni olamiz

(8) shart

(10)

munosabatning bajarilishini bildiradi. (6), (9) va (10) shartlardan barcha barcha va ixtiyoriy lar uchun

tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi.

Bu yerdan esa Koshi kriteriyasiga ko’ra (5) qatorning E to’plamda tekis yaqinlashishi kelib chiqadi.

Misol.

qatorni to’plamda tekis yaqinlashishga tekshiring .

Yechish: Agar bo’lsa , u holda tengsizlikka asosan va qatorning yaqinlshuvchiligidn Veyershtrass alomatiga ko’ra qator tekis yaqinlashuvchi bo’ladi .

Endi bo’lsin . U holda ketm-ketlik (7) va (8) shartlarni qanoaatlantiradi .



Tengsizlik bo’lganda o’rinli bo’lganligi uchun tengsizlikning barcha larda o’rinli bo’ladi. Demak Direxle alomatiga ko’ra qaralayotgan qator tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Qaralayotgan qator to’plamda bo’lganda tekis yaqinlashuvchi emasligini biz bundan oldingi mavzuda qarab chiqqan edik.

3. 
   Funksional qatorlarlarning tekis yaqinlashishi haqidagi Abel alomati.
   

3-teorema. ( Abel alomati)

Agar

a)

qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi.

b) ketma ketlik to’plamda monaton, ya’ni



va tekis chegaralangan, ya’ni munosabat bajarilsa, u holda (8) qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.