4-mavzu. Matritsalarni koʻpaytirish va teskari matritsani Gauss-Jordan usulida topish. Matritsalarni lu va ldu koʻpaytmalariga yoyish

4-mavzu. Matritsalarni koʻpaytirish va teskari matritsani Gauss-Jordan 

usulida topish. Matritsalarni LU va LDU koʻpaytmalariga yoyish 

 

1-misol.     





















5

3

2

4

A

   va

   

 



















0

2

5

3

B

   matritsalar  berilgan.   

B

A



 va 

A

B



 

koʻpaytmasini  toping. 

Yechish. 

B

A



 koʻpaytmaning  ikkinchi  matritsasining  ustunlarini  ikki  vektor 

sifatida qaraymiz, alohida koʻpaytirib chiqaylik. 















































































































5

2

4

3

3

2

)

2

(

3

5

2

2

3

5

2

3

4

2

3

4

3

, 















































































































5

0

4

5

3

0

)

2

(

5

5

0

4

2

5

0

5

2

3

5

4

3

. 

Bulardan umumiy qilib, quyidagini yozishimiz mumkin: 























































































5

0

4

5

3

0

)

2

(

5

5

2

4

3

3

2

)

2

(

3

0

2

5

3

5

4

3

2

B

A

, 























20

10

22

0

B

A

. 

A

B



 koʻpaytmani  esa ta’rif yordamida hisoblaymiz. 

Ta’rif. 

k

т



 oʻlchamli  A  matritsani

n

k



oʻlchamli

B

matritsaga  ko`paytmasi 

deb, shunday 

n

m



 o`lchamli C matritsaga aytiladiki,uning elementlari 

kj

ik

j

i

j

i

ij

b

a

b

a

b

a

с









...

2

2

1

1

 

tenglik bilan aniqlanadi.  

B

A

С





 kabi belgilanadi.  

 

Bizning misolimizda  

A

B

С





 va  

2

,

2

,

2







n

k

т

bo`lgani uchun  





























































22

21

12

11

5

4

3

2

0

2

5

3

c

c

c

c

A

B

С

. 

 

4

5

2

3

11











с

,  

5

5

3

3

12









с

 

 

4

0

2

2

21











с

,  

5

0

3

2

22









с

. 

 

Demak,  























6

4

34

14

A

B

. 

2-misol.







































4

5

1

0

3

2

,

0

2

4

3

2

1

B

A

matritsalar 

berilgan.

AB

va

BA

koʻpaytmalarni hisoblang.   

Yechish. Bu yerda

3

2



A

va

2

3



B

boʻlgani uchun

AB matritsa

2

2



o`lchamli boʻladi:



































































































4

0

5

4

1

2

0

0

3

4

2

2

4

2

5

3

1

1

0

2

3

3

2

1

4

5

1

0

3

2

0

2

4

3

2

1

AB

 

.

18

8

24

11















 

BAmatritsa esa

3

3



oʻlchamli bo`ladi:   



























































































































0

4

2

0

4

4

3

0

)

2

(

4

1

0

0

5

2

3

4

5

3

3

)

2

(

5

1

3

0

1

2

2

4

1

3

2

)

2

(

1

1

2

0

2

4

3

2

1

4

5

1

0

3

2

BA

 

.

0

16

8

6

29

7

4

10

0



























BA

AB



.   

 

3-misol.





























3

2

4

3

,

2

1

2

2

B

A

matritsalar  berilgan.

AB va BA kommutativ 

matritsalar ekanini isbotlang.   

Yechish.

;

10

7

14

10

3

2

4

1

2

2

3

1

3

2

4

2

2

2

3

2

3

2

4

3

2

1

2

2

















































































AB

 

















































































10

7

14

10

2

3

2

2

1

3

2

2

2

4

2

3

1

4

2

3

2

1

2

2

3

2

4

3

BA

. 

BA

AB



, demak, kommutativ matritsalar bo`ladi. 

 

4-misol. 



















2

1

3

2

A

 matritsaga teskari matritsani Gauss-Jordan usulida 

toping. 

 

Yechish. Buning uchun quyidagi matritsani tuzib olamiz matritsa. 



















1

0

0

1

2

1

3

2

/ I

A

, bu yerda I- birlik

. 

 

Qulaylik uchun 1- va 2- satrlarni almashtiramiz(

1

11



a

). 



































0

1

1

0

3

2

2

1

1

0

0

1

2

1

3

2

. 

 

1-satrni 

2



 ga ko`paytirib, 2-satriga qo`shamiz. 







































2

1

1

0

1

0

2

1

0

1

1

0

3

2

2

1

. 

 

Avval, 2-satrini 

I

A/  ko`paytiramiz(

1

22



a

).  









































2

1

1

0

1

0

2

1

2

1

1

0

1

0

2

1

. 

 

Hosil  bo`lgan  matritsaning  2-satrini 

2



 ga  ko`paytirib,  1-satriga  qo`shamiz. 

Natijada quyidagi matritsaga ega bo`lamiz: 

1

/

2

1

3

2

1

0

0

1

























A

I

. 

 

Demak, 

























2

1

3

2

1

A

. 

 

5-misol. Quyidagi matritsaga teskari matritsani Gauss –Jordan usulida toping: 























8

4

7

3

1

2

0

1

1

A

 

 

Yechish. 

I

A/   matritsani tuzib, 1-satrini 

2   va   7



ga ko`paytirib, mos ravishda 

2- va 3-satriga qo`shamiz. 





























































1

0

7

0

1

2

0

0

1

8

3

0

3

1

0

0

1

1

8

4

7

3

1

2

0

1

1

/

1

0

0

0

1

0

0

0

1

I

A

. 

 

So`ngra,  matritsaning  2-satrini 

1



ga  bo`lamiz,  hamda  shu  satrni 3 ga. 

ko`paytirib, 3-satriga qo`shamiz. 





































































1

3

1

0

1

2

0

0

1

1

0

0

3

1

0

0

1

1

1

0

7

0

1

2

0

0

1

8

3

0

3

1

0

0

1

1

. 

 

Avval  matritsaning  3-satrini

1



ga  bo`lamiz.  So`ng  2-bosqichda,  diagonaldan 

yuqorisini  nollarga  aylantiramiz.  Buning  uchun  hosil  bo`lgan  matritsaning  3-satrni 3

ga ko`paytirib, 2-satriga, 2-satrini 

1



ga ko`paytirib, 1-satriga qo`shamiz. 

.

1

3

1

3

8

5

3

8

4

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

3

1

3

8

5

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

3

1

0

1

2

0

0

1

1

0

0

3

1

0

0

1

1

1































































































 

  

Demak, 

.

1

3

1

3

8

5

3

8

4

1

































A

  

 

6-misol. Berilgan kvadrat matritsani LU  va LDU koʻpaytmalarga yoying. 



















7

6

4

2

A

 

 

Yechish.  Matritsaning  birinchi  satridan  foydalanib, 

21

a

 elementini  nolga 

aylantiruvchi elementar almashtirish, shu matritsani o`ngdan 

21

E

 ga ko`paytirish orqali 

amalga oshiriladi. Bizning misolimizda bu 





















1

3

0

1

21

E

 . 

U

A

E































































5

0

4

2

7

6

4

2

1

3

0

1

21

 

 

Hosil bo`lgan matritsani o`ngdan 

1

21



E

 ga ko`paytiramiz. 













































5

0

4

2

1

3

0

1

21

1

21

A

E

E

 







































5

0

4

2

,

1

3

0

1

U

L

, L-uchburchak matritsa, U- yuqori uchburchak matritsa. 

LU

A



. 

 

Endi 



















5

0

4

2

 matritsani  diagonal  matritsa  va  yuqori  uchburchak  matritsa 

ko`paytmasi ko`rinishga olib kelamiz. 

DU



























































1

0

2

1

5

0

0

2

5

0

4

2

, bu yerda 



















1

0

2

1

U

. 

 

Demak, 

LDU

A



. 

 

7-misol. Berilgan kvadrat matritsani LU  koʻpaytmaga yoying. 























8

4

7

3

1

2

0

1

1

A

 

 

Yechish.  Matritsaning  birinchi  satridan  foydalanib, 

21

a

 elementini  nolga 

aylantiruvchi elementar almashtirish, shu matritsani o`ngdan 

21

E

 ga ko`paytirish orqali 

amalga oshiriladi. Bizning misolimizda bu 

























1

0

0

0

1

2

0

0

1

21

E

 . 









































































8

4

7

3

1

0

0

1

1

8

4

7

3

1

2

0

1

1

1

0

0

0

1

2

0

0

1

21

A

E

 

Hosil bo`lgan matritsani o`ngdan 

31

E

 ga ko`paytiramiz.  

.

8

3

0

3

1

0

0

1

1

8

4

7

3

1

0

0

1

1

1

0

7

0

1

0

0

0

1

21

31















































































A

E

E

 

Xuddu shu kabi,  

U

A

E

E

E





















































































1

0

0

3

1

0

0

1

1

8

3

0

3

1

0

0

1

1

1

3

0

0

1

0

0

0

1

21

31

32

 

 

U

A

E

E

E









21

31

32

 

U

E

E

E

A















1

1

1

32

31

21

 

Bu yerda 

L

E

E

E













1

1

1

32

31

21

, 

,

1

3

0

0

1

0

0

0

1

1

0

7

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

2

0

0

1

1

1

1

32

31

21















































































E

E

E

L

 

.

1

3

7

0

1

2

0

0

1























L

 

 

Demak, 







































































1

0

0

3

1

0

0

1

1

1

3

7

0

1

2

0

0

1

8

4

7

3

1

2

0

1

1

A

, ya’ni  

LU

A



. 

 

Uyga vazifalar. 

1.  Berilgan  matritsalarning 

DC

CD

CB

DA

AD

CA

BD

AC

AB

,

,

,

,

,

,

,

,

(

mumkin 

bo`lganlari) ko`paytmalarini hisoblang. 





















1

3

5

4

A

,  



























1

3

6

0

1

1

5

3

2

B

,  





















7

5

0

1

3

2

C

,  



























4

3

1

2

2

3

D

.  

Ikkinchi  tartibli  kvadrat  matritsalarning  teskari  matritsalarini  Gauss-

Jordan usulida toping. 

2. 





















1

3

6

2

A

 

3. 























6

3

7

4

A

 

4. 



















1

2

5

3

A

 

Uchinchi  tartibli  kvadrat  matitsalarning  teskari  matritsalarini  Gauss-Jordan 

usulida toping. 

5. 























1

3

4

0

1

1

5

1

5

A

. 

6. 



























5

8

3

1

3

1

1

8

2

A

 

7. 

























8

3

2

3

3

1

3

2

0

A

. 

Ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarni LU  va LDU  koʻpaytmalarga yoying. 

8. 























6

3

7

1

A

 

9. 





















6

3

7

4

A

.

 

Uchinchi tartibli kvadrat matritsani LU  koʻpaytmaga yoying 

10.  



























5

8

3

1

3

1

1

8

2

A

, 

11.  























1

3

4

5

1

5

0

1

1

A

, 

12. 

























8

3

2

3

2

0

3

3

1

A

. 

.