5 -ma’ruza. Magnit maydoni

5 -ma’ruza. Magnit maydoni

Reja:

1. 
   Magnit maydonni tavsiflovchi asosiy kattaliklar
   
2. 
   Magnit oqimi va uning uzluksizligi
   
3. 
   Magnit maydonining skalyar potensiali
   
4. 
   Magnit maydonining vektor potensiali
   
5. 
   Magnit maydonidagi chegaraviy shartlar
   
6. 
   Magnit maydoni energiyasi
   
7. 
   Magnit maydonning hisoblash usullari
   

1.Magnit maydonni tavsiflovchi asosiy kattaliklar

Magnit maydonni tavsiflovchi asosiy kattaliklar shundan iboratki ular o‘z ta’siri ostidagi harakatlanayotgan zaryadlangan jismga va tok oqayotgan harakatsiz o‘tkazgichga kuch bilan ta’sir qiladi. Magnit maydonni magnit induksiyasi vektori orqali tavsiflanadi. vektorining yo‘nalishi va qiymatini bilgan holda, u tomonidan hosil qilinishi mumkin bo‘lgan hodisalarni aniqlash mumkin. vektorini tok oqayotgan konturga ta’sir etayotgan kuch orqali aniqlash mumkin. Tokning chiziqli qismiga ta’sir ko‘rsatuvchi kuchni quyidagi formula bilan aniqlash mumkin.

. (5.1)

SI tizimida []= [Tl].

Tok va u tomonidan bo‘shliqda qo‘zg‘atilgan induksiya orasidagi bog’liqlikning differsial ko‘rinishi quyidagicha

, (5.2)

bu yerda J – tok zichligi

dV – elementar hajm

R – vektor aniqlanadigan nuqtagacha bo‘lgan masofa

₀ – magnit doimiysi ₀=4^-7 Gn/m.
Agar o‘tkazgichning ko‘ndalang kesimi o‘tkazgich uzunligi va kuzatish nuqtasigacha bo‘lgan masofadan kichik bo‘lsa (bu yerda o‘tkazgich chiziqli).

[ ]dv=[ ] =[()]=I[]. (5.3)

Tenglamani integrallab quyidagi ifodani hosil qilamiz

. (5.4)

Agar, tokli kontur biror muhitda joylashgan bo‘lsa, unda magnit induksiyasining qiymati ₀ dan  marta farq qiladi

(5.5)

 - nisbiy magnit singdiruvchanlik.

Magnit maydon kuchlanganligi quyidagicha aniqlanadi

. (5.6)

Magnit maydon kuchlanganligi muhit xossalariga bog‘liq emas. Tokli o‘tkazgich uchun Bio-Savar-Laplas qonuni quyidagicha

. (5.7)

Muhitning xususiy makroskopik maydonini M vektori bilan tavsiflash mumkin. U magnitlanish vektori deb ataladi. Bu vektor bir xil kuchlanganlikka ega bo‘lgan magnit maydoni ta’sir etayotgan muhitda va vakuumda magnit induksiyasi vektorlari o‘zaro qanchaga farq qilishini (=₀ muhitdagi magnit induksiyasi, =₀ vakuumdagi magnit induksiyasi) ko‘rsatadi.

-₀=₀, (5.8)

M=k_m. (5.9)

bu yerda k_m –magnit ta’sirchanlik

=₀M+₀=₀(1+ k_m)= ₀. (5.10)

Yuqoridagilarga ko‘ra, =1+ k_m

SI birliklar tizimida []=[A/m], [M]=[A/m].

2.Magnit oqimi va uning uzluksizligi

Magnit induksiyasi vektorining oqimi quyidagicha yoziladi

F=. (5.11)

SI tizimida [F] = [Vb].

Yopiq yuza orqali magnit oqimi doimo nolga teng.

. (5.12)

Ostragradskiy teoremasidan foydalanib quyidagi ifodani yozish mumkin

. (5.13)

Bu tenglama istalgan hajm uchun o‘rinli va shunga asosan

div=0. (5.14)

Keltirilgan tenglama magnit oqimining uzluksizlik prinsipi bo‘lib, differensial shaklda yozilgan. Bu magnit maydonining istalgan nuqtasida ham keluvchi (stok) va ketuvchi (istok) magnit induksiya kuch chiziqlarining mavjud emasligini ifodalaydi. Magnit induksiyasi chiziqlari hech qachon uzilmaydi va ular doimo o‘z-o‘ziga tutashgan.

vektorining yopiq kontur bo‘yicha sirkulyatsiyasi va konturdagi tok bilan miqdoriy aloqasi to‘liq tok qonuni orqali aniqlanadi.

I (5.15)

Biron-bir muhitda uncha katta bo‘lmagan kontur olamiz va unda vektorini sirkulyatsiyasini ko‘rib chiqamiz.

J_o‘tk  J

i =J =J_o‘tk 

Ifodaning ikkala tomonini  ga bo‘lib, yuzaning maydonini nolga intiltiramiz .

,

rot_p =J_o‘tk,

rot =J.

rot =J tenglama to‘liq tok qonunining differensial shakli hisoblanadi.

H vektori kuzatilayotgan nuqtada maydonga uyurmali ko‘rinish bera oladigan funksiya sifatida ko‘rib chiqilishi mumkin.

3.Magnit maydonining skalyar potensiali

Rotori noldan farq qiluvchi maydonni uyurmali maydon deyiladi. O‘zgarmas tok yuzaga keltirayotgan maydonda rot =J bo‘lganligi, va bu yerda J0 tenglik bajarilganligi uchun vektorining maydoni uyurmali bo‘ladi. Agar J=0 va rot=0 bo‘lsa, magnit maydonni potensial maydon sifatida ko‘rib chiqish lozim.

Bunday hollarda

=-grad _M,

chunki

div=div₀=0,

div=0,

div grad_M=0. (5.16)

yoki ²_M=0 – toksiz tarmoqlar uchun Laplas tenglamasi.

Birinchi va ikkinchi nuqtalardagi skalyar magnit potensiallari farqini shu nuqtalar orasidagi magnit kuchlanishining tushushi deb ataladi.

U_M12=_M1-_M2=. (5.17)

“Magnit kuchlanishning tushishi” va “magnit kuchlanish” orasidagi farqni tushunib olish kerak. Birinchisi faqat dan bo‘yicha tanlangan yo‘l orqali chiziqli integralash bilan, ikkinchisi esa nafaqat shu integral bilan, balki, shu yo‘lda mavjud bo‘lgan EYuK bilan ham aniqlanadi.

4.Magnit maydonining vektor potensiali

Magnit maydonini hisoblash uchun vektor potensialidan foydalaniladi

=rot.

Magnit induksiyasini vektor potensialidan olingan rotor sifatida tasvirlash uchun ixtiyoriy rotorning divergensiyasi nolga teng ekanligi haqidagi ayniyat asos bo‘lib xizmat qiladi

div=0 ekan, demak divrot =0.

Ixtiyoriy konturdan o‘tayotgan magnit oqimi va magnit induksiyasini topish uchun vektor potensialidan foydalanish ma’qul.

5.Magnit maydonidagi chegaraviy shartlar

Magnit maydoni uchun N_1=N_2 shart o‘rinli. Bu shart mnpq yassi konturi bo‘ylab chiziqli integralni tuzish orqali keltirib chiqarilgan. Konturning np va mq tomonlar mn va pq tomonlarga nisbatan juda ham kichik. Konturning mn va pq tomonlarini dl deb belgilab quyidagini hosil qilamiz

H₁sin₁dl-H₂sin₂dl=0, (5.18)

H₁sin₁=H_1 H₂sin₂=H_2

Demak, H_1=H_2 shart haqiqatdan ham o‘rinli. Agar ikki muhitlar chegarasida yuza toklari oqayotgan bo‘lsa, bu shart bajarilmaydi. Bunday hollarda

H₁sin₁dl - H₂sin₂dl = J_sdl ,

H_1 - H_2 = J_s.

J_s zichlikka ega bo‘lgan yuza toki mavjud bo‘lganda maydonning urunma tashkil etuvchisi muhitlar chegarasida uzilishga uchraydi, ya’ni sakrab o‘zgaradi.

Magnit maydoni uchun

V_1p=V_2p

Bu ifoda magnit oqimi prinsipidan kelib chiqadi

=0

Ikki muhitlar chegarasida uncha katta bo‘lmagan yassi paralipiped hosil qilaylikda, undagi oqimlarni hisoblaylik. Hisob-kitoblarni paralellepipedning quyi V_1p S va yuqori V_2p S chekkalari uchun amalga oshirmiz. Natijada quyidagi tengliklar hosil bo‘ladi

-V_1p S+ V_2p S=0,

V_1p= V_2p,

. (5.19)

6.Magnit maydoni energiyasi

dl elementar maydonni kesib o‘tayotgan magnit oqimi dF=d ga teng. To‘la oqim esa

F=. (5.20)

d yuzani chegaralovchi konturda kuch naychalarini chizamiz. vektorining magnit maydondagi chiziqlari doimo o‘zaro tutashgan bo‘lganligi uchun, kuch naychalari ham yopiq (tutashgan) bo‘ladi. Ular magnit maydoni bilan band bo‘lgan V hajmni to‘ldiradi. Agar nay o‘qini L bilan belgilasak, u holda

Maydon energiyasi esa

,

yoki

,

u holda

. (5.21)

Agar =rot ekanligini hisobga olsak

,

biroq,

div[]=rot- rot.

Shunday ekan,

tenglamani yozish mumkin.

Ostrogradskiy teoremasiga ko‘ra

. (5.22)

Magnit maydoni cheksiz hajmni egallaganligi uchun S ni cheksiz katta R radiusli sharning yuzasi deb qarash mumkin. [] vektor masofa funksiyasi sifatida dan tezroq, yuza esa R² dan sekinroq o‘sib boradi. Shunday ekan, R holatida

.

U holda, Maksvellning (rot=J) birinchi tenglamasiga ko‘ra

(5.23)

tenglamani hosil qilamiz.

7.Magnit maydonning hisoblash usullari

Magnit maydonini hisoblash ko‘pincha Н vektorni aniqlashga taqaladi. Bunda, tok qiymatlari va tok oqayotgan o‘tkazgichlarning joylashuvi berilishi shart. Agar maydon ferromagnitsiz muhitda ta’sir etayotgan bo‘lsa,

__410^-7 Gn/m . (5.24)

Agar Н ni hisoblash katta matematik qiyinchiliklar tug‘dirsa, u holda vektor potensial tushunchasini kiritish qulay. Vektor potensialini aniqlash orqali maydon kuchlanganligini topish mumkin. Magnit maydonini hisoblashda quyidagi usullardan foydalanish mumkin:

• 
  Integral ko‘rinishdagi to‘liq tok qonuni qo‘llash;
  
• 
  Maksvelning birinchi tenglamasini qo‘llash;
  
• 
  Vektor potensiali uchun Puasson – Laplas tenglamasini qo‘llash;
  
• 
  Ko‘zguli tasvir usuli;
  
• 
  Konform o‘zgarishlar usuli;
  
• 
  grafik hisoblash usulini.
  

Nazorat savollari

1. 
   Magnit maydoni energiyasi
   
2. 
   Magnit maydonidagi qanday chegaraviy shartlarni bilasiz?
   
3. 
   Magnit maydonining vektor potensiali nima?
   
4. 
   Ostragradskiy teoremasi qanday ifodalanadi?