5 (2020) Junior Problems j 21

M

ATEMATIKAFLY   5  (2020)                 

 

                                              Junior Problems 

J 21.    Which number is larger:      

    √    √ 

 

  √    √ 

 

 

     √ 

 

 

                                             Proposed by Umidjon Rakhmonov, Kashkadarya, Uzbekistan 

 

J 22.    Find all the real values of     which satisfy  

 

 

(        √     )

 

 

 

 

         

(     )

 

 

                                                      Proposed by Dilshodbek Shodiyev, Fergana, Uzbekistan         

        

J 23.    Prove that 

(      )(      )(      )         

            for all real numbers                   

                                                                                Proposed by Hung Nguyen, Vietnam 

                                    

J 24.    Is there a polynomial   ( )  with integer coefficients such that   (  )        

            (  )        and   (  )       ? 

                                                                  Proposed by Elif  Nur Yerlikaya, Bursa, Turkey 

            

 

J 25.    Solve the system of equations 

{

 

 

            

  

 

            

  

 

            

 

           in real numbers           

                                                   Proposed by Umidjon Rakhmonov, Kashkadarya, Uzbekistan 

M

ATEMATIKAFLY   5  (2020)                 

 

                                            Senior Problems 

 

S 21.   Let   ( )     (     

 

)   Find    

( )

( ). 

                                                       Proposed by Wildan Bagus  Wicaksono, Singapore 

 

 

S 22.   Let           be pairwise distinct numbers, different from zero and such that  

                           Evaluate 

(

     

 

 

     

 

 

     

 

)   (

 

     

 

 

     

 

 

     

) 

                                                     Proposed by George Theodoropoulos, Patras, Greece  

 

 

S 23.   Solve the equation   

 

   

 

     in natural numbers            

                                                                                                Proposed by Turan Bey 

 

S 24.    Evaluate 

∫ (   

 

( √    

    

)      

 

( √    

    

))   

 

 

 

 

                                                                                     Proposed by Sladjan Stankovic  

 

S 25.     Prove that 

(   

 

 

)

 

  (   

 

 

)

 

      (   

 

     

)

   

 

 

   

(     ) 

 

                                                  Proposed by Dilshodbek Shodiyev, Fergana, Uzbekistan                

 

 

M

ATEMATIKAFLY   5  (2020)                 

                                      Undergraduate  Problems 

U 21.     Evaluate 

   

   

∑

 

 

     

 

     

 

          

(     ) 

 

   

 

                                                             Proposed by George Theodoropoulos, Patras, Greece  

 

U 22.   Two real sequences   * 

 

+       * 

 

+  are defined in the following way: 

 

 

   

 

  √       

   

   

 

  √     

 

 

  

 

   

 

 

 

    √     

 

 

      

            for all (     )   Prove that       

 

   

 

     for all        

                                                                                 Proposed by Vladimir Morozov, Russia                                

U 23.   Let 

   

   

(

   

 

     

 

 

   

  

     

 

     

   

  

     

 

)      

           then prove that       . 

                                                                          Proposed by David Farre, Barcelona, Spain 

 

U 24.   Let            continuous functions satisfy the equation     (  )         ( )   

            prove the following for                    

 

 

(

 

 

 ( ))

   

 

 

  (

 

 

 ( ))

   

 

 

   ( )   

 

     ( )   

 

  

                                                      Proposed by Ghaniev Abdusamad, Namangan, Uzbekistan  

U 25.      Evaluate 

   

   

( 

 

  ∫ (   

 

        (  ))  

 

 

) 

                                                            Proposed by Ruben Sancho-Portoles, Valencia, Spain