5. Kwietnia 2008 o poznaniu


Download 15.65 Mb.
Sana01.01.2020
Hajmi15.65 Mb.

5.Kwietnia 2008 o poznaniu

  • AdaM 5 IV 2008
  • Plan prelekcji:
  • Pięknie o matematyce.
  • i co to słowo znaczy.
  • Jak się ona dzieli, z czego wyrosła,
  • czym się zajmuje,
  • na czym się zasadza.
  • Co dla niej znaczy piąty postulat Euklidesa.
  • O liczbach, porządku i równoważności
  • nigdy jest dość wam, nigdy jest dość mi.
  • Nie ma lekcji,
  • gdy wiele injekcji, surjekcji, bijekcji
  • Że 9 + 7 = 16 = 4, uwierzymy sami,
  • i się policzymy i będzie moc (z nami).
  • Potem ZF i ZFC
  • oraz jak z jednej kuli zrobić takie same dwie ?
  • Wreszcie o intuicji i Platonie oraz, na zakończenie,
  • Gödla twierdzenie.
  • Adam Marlewski
  • Instytut Matematyki
  • Politechnika Poznańska

1. Matematyka jest światem

  • O tym, za jak ważną
  • uważali matematykę
  • AdaM 5 IV 2008
  • Arystoteles (384-322 p.n.e.),
  • Roger Bacon (1214-94),
  • Leonardo da Vinci (1452-1519),
  • Galileusz (1564-1642),
  • Immanuel Kant (1724-1804)
  • i Bertrand Russell (1872-1970),
  • Matematyka jest miarą wszystkiego.
  • świadczą ich wypowiedzi, kolejno:
  • Matematyka jest drzwiami
  • i kluczem do nauki.
  • Matematyka jest światem.
  • Matematyka jest alfabetem, przy pomocy którego Bóg opisał świat
  • Matematyka zawiera w sobie nie tylko prawdę, ale i najwyższe piękno
  • - piękno chłodne i surowe, podobne do piękna rzeźby.
  • Tyle jest w każdym poznaniu nauki, ile jest w nim matematyki.
  • Rafaello (1509-10), Szkoła ateńska
  • Platon i, po jego lewej stronie, Arystoteles

2. Nauka o poznaniu

  • Greckie máthema znaczy poznanie.
  • Od tego słowa wywodzi się termin matematyka,
  • którym nazywa się jedną z najstarszych dziedzin wiedzy ludzkiej.
  • AdaM 5 IV 2008
  • po grecku mathematike,
  • po łacinie mathematica,
  • po angielsku mathematics,
  • po francusku mathematiques,
  • po portugalsku matemática,
  • po polsku matematyka (ma tematy matematyka)
  • po holendersku wiskunde = wiedza pewna.
  • W swych początkach i potem aż po schyłek wieku XIX
  • matematyka jest nauką o liczbach i figurach geometrycznych
  • (stąd też mówi się, że matematyka wyrosła z geometrii
  • i z rozważań dziś objętych teorią liczb).
  • Można, bez jakichkolwiek pretensji do ogólności, powiedzieć, że obecnie
  • matematyka to nauka dedukcyjną o ogólnych formach przestrzennych
  • i o stosunkach ilościowych.

3. Dedukcja

  • Dedukcyjność jest bodaj najbardziej istotną cechą matematyki.
  • Swe wyniki, ujmowane w zdania zwane twierdzeniami, lematami i wnioskami,
  • uzyskuje dedukcyjnie, tzn. stosując dedukcję.
  • Dedukcja (z łac. deductio = wyprowadzam), czyli wnioskowanie,
  • to rozumowanie, w którym z przyjętych założeń (zwanych aksjomatami)
  • i ze znanych już twierdzeń,
  • uzyskuje się inne twierdzenia
  • stosując reguły wnioskowania,
  • zwane też schematami dowodzenia.
  • AdaM 5 IV 2008
  • Reguły wnioskowania bada dział matematyki zwany logiką matematyczną.
  • Nazwa tej dziedziny nauki, logika, wywodzi się z greckiego logikos,
  • co znaczy zgodny z rozumowaniem,
  • i bezpośrednio nawiązuje do słowa logos = słowo.
  • Określenie logika matematyczna ma dwa znaczenia:
  • nauka o ogólnych prawach poprawnego wnioskowania,
  • system dedukcyjny opisujący to wnioskowanie.
  • Wnioskowanie dedukcyjne wypracowali, w wiekach od VI do IV p.n.e., w Grecji tacy uczeni jak Arystoteles,
  • Tales z Miletu i Pitagoras
  • Constantin Caratheodory (1873-1950), Tales z Miletu (624-546 p.n.e.)

4/ Logika (klasyczna)

  • Wyróżnia się logikę klasyczną, czyli dwuwartościową,
  • oraz logiki nieklasyczne, zwane też wielowartościowymi.
  • Przykładem logiki wielowartościowej jest logika trójwartościowa
  • opracowana przez Jana Łukaszewicza (1858-1956).
  • Logiki wielowartościowe w praktyce stosowane są rzadko,
  • nigdy na gruncie matematyki standardowej,
  • i nie stanowią przedmiotu naszego zainteresowania.
  • AdaM 5 IV 2008
  • Logika (klasyczna) rozważa jedynie zdania prawdziwe i fałszywe,
  • a więc wartościowuje każdą wypowiedź jako prawdziwą lub jako fałszywą,
  • stosując tzw. rachunek zdań.
  • Przypomnijmy, że tymi wartościami logicznymifałszprawda.
  • Powszechnie oznacza się przez odpowiednio 0 i 1 albo F i T.
  • 5 podstawowych operacji logicznych oznacza się przez , , , , ~.
  • Cztery pierwsze z nich określamy mianem spójników logicznych,
  • ostatnia nazywa się negacją albo zaprzeczeniem.
  • Zdania (logiczne) buduje się z tzw. zmiennych logicznych,
  • czyli wielkości mogących przyjmować
  • jedną z dwóch dopuszczalnych wartości,
  • stosując 5 podstawowych operacji logicznych.

5/ Pięć operacji logicznych

  • AdaM 5 IV 2008
  • Tabelki wartości podstawowych operacji logicznych
  • alternatywa
  • koniunkcja
  • implikacja,
  • wynikanie
  • równo-ważność
  • negacja, zaprzeczenie
  • p
  • q
  •  q
  •  q
  •  q
  •  q
  • ~q
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 1
  • 1
  • 1
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • 1
  • 0
  • 0
  • 1
  • 0
  • 1
  • 0
  • 0
  • 0
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • 0
  • Tabele określające wartości spójników logicznych mają postać,
  • jaką nadał im Charles Sanders Peirce (1839-1914).
  • Zdanie, które jest prawdziwe
  • dla każdego zestawu wartości zmiennych logicznych wchodzących w to zdanie, nazywa się tautologią albo prawem rachunku zdań.

6/ Prawa rachunku zdań

  • AdaM 5 IV 2008
  • nr
  • nazwa prawa: prawo
  • 1
  • tożsamości
  • p  p
  • 2
  • pozbywania implikacji
  • (p  q)  (~p  q)
  • 3
  • pozbywania równoważności
  • (p  q)   { (p  q)  (q  p)}  
  • 4
  • podwójnego przeczenia
  • p  ~~p
  • 5
  • przemienności alternatywy
  • (p  q)  (q  p)
  • 6
  • przemienności koniunkcji
  • (p  q)  (q  p)
  • 7
  • łączności alternatywy
  • ((p  q)  r)  ( p  (q  r) ) 
  • 8
  • łączności koniunkcji
  • (p  q)  r   p  (q  r)  
  • 9
  • idempotentności alternatywy
  • p  ( p)
  • 10
  • idempotentności koniunkcji
  • p  ( p)
  • 11
  • rozdzielności alternatywy
  • wzgl.koniunkcji.
  • {(p  (q  r)}  {( r)  (p  r)}
  • 12
  • rozdzielności koniunkcji
  • wzgl. alternatywy.
  • {(p  (q  r)}  {( r)  (p  r)}
  • 13
  • wyłączonego środka
  • p  ~p
  • 14
  • sprzeczności
  •  ~(p  ~p)
  • 15
  • p  (p  q)
  • 16
  • pochłaniania dla koniunkcji
  • (p  q)  p
  • 17
  • pierwsze prawo de Morgana
  • ~(p  q)  ( ~p  ~q)
  • 18
  • drugie prawo de Morgana
  • ~(p  q)  ( ~p  ~q)
  • 19
  • zaprzeczenia implikacji
  • ~(p  q)  (p  ~q)
  • 20
  • Claviusa
  • (~p  p) )  p
  • 21
  • Dunsa Szkota
  • ~p  (p  q)
  • 22
  • symplifikacji
  • p  (q  p)
  • 23
  • przechodniości implikacji
  • {(p  q)  (q  r)} 
  •  (p  r)   
  • 24
  • transpozycji
  • (p  q)  (~p  ~q)  
  • 25
  • modus tollendo tollens
  • {(p  q)  ~q}  ~p  
  • 26
  • modus tollendo ponens
  • {(p  q)  ~p}  q
  • 27
  • modus ponendo tollens
  • {(~p  ~q)  p}  ~q
  • 28
  • modus ponendo ponens
  • {(p  q)  p}  q
  • 29
  • redukcji do sprzeczności
  • {(p  q)  (p  ~q)}  ~p
  • 30
  • Fregego
  • {(p  (q  r)}  {(p  q)  (p  r)}
  • Zestaw często używanych praw rachunku zdań
  • Współczesną postać klasycznemu rachunkowi zdań nadał
  • Friedrich Ludwig Gollob Frege (1848-1925).
  • Prawo nr 21, Dunsa Sczkota, mówi, że zdania
  • fałszywego wynika każde zdanie.
  • Prawo nr 22 (symplifikacji) orzeka: zdanie
  • prawdziwe wynika z każdego innego.
  • Prawa 25-28 zwane są prawami Arystotelesa
  • (384-322 p.n.e.), stanowią formalny zapis
  • reguł, jakie on stosował.

7. Matematyka czysta i stosowana

  • Matematykę można podzielić na dwa
  • wzajemnie przenikające się obszary:
  • matematykę czystą i matematykę stosowaną.
  • AdaM 5 IV 2008
  • Jeden z największych
  • matematyków wszechczasów,
  • Karl Friedrich Gauss (1777-1855),
  • powiedział:
  • Matematyka jest królową nauk,
  • a teoria liczb jest królową matematyki.
  • Matematyka czysta to studium związków
  • zachodzących między abstrakcyjnymi wielkościami
  • przeprowadzane za pomocą przyjętych reguł
  • (regułami tymi są, jak wiemy, prawa rachunku zdań).
  • Obejmuje ona różne działy, wśród których znajdują się:
  • arytmetyka (czyli teoria liczb naturalnych)
  • i wyrosła z niej teoria liczb,
  • algebra,
  • geometria,
  • rachunek różniczkowy i całkowy,
  • topologia,
  • teoria zbiorów.
  • Do matematyki stosowanej zalicza się
  • takie działy matematyki jak
  • rachunek prawdopodobieństwa
  • i statystyka,
  • mechanika klasyczna,
  • mechanika kwantowa,
  • teoria względności.
  • Toplologia to studium własności geometrycznych figur,
  • które pozostają niezmienne
  • przy dokonywaniu transformacji
  • ciągłych (zw homeomeorfizmami)
  • Na gruncie teorii zbiorów podjęto, w końcu wieku XIX,
  • aksjomatyzację całej matematyki
  • (o czym więcej powiadamy dalej).

8. Matematyka użytkowa i naukowa

  • Rozumiana potocznie matematyka to matematyka użytkowa,
  • czyli stosowana w tzw. życiu codziennym (oraz w zastosowaniach inżynierskich),
  • a więc przed wszystkim umiejętność dodawania, odejmowania,
  • mnożenia i dzielenia liczb, dokonywania pomiarów długości, pola i objętości.
  • Początki matematyki użytkowej sięgają Babilonii (około 2000 lat p.n.e.).
  • AdaM 5 IV 2008
  • Początki matematyki naukowej,
  • czyli opartej na rozumowaniu logicznym (a nie wyjaśnianiu magicznym
  • lub uzasadnieniu odwołującym się wyłącznie do przebadanych przypadków),
  • znajdujemy w Grecji około roku 500 p.n.e.,
  • a zwłaszcza w 13-tomowym dziele Stoicheia geometria (tzn. Elementy geometrii). Jego autor, Euklides (ok. 365-300 r.p.n.e.), zarzuty jednego z władców,
  • iż tak trudno jest nauczyć się matematyki, odrzekł :
  • Do matematyki nie ma drogi królewskiej.

9/ Geometrie euklidesowa i nieeuklidesowe

  • W swym dziele Elementy geometrii Euklides podał zestaw pojęć pierwotnych
  • i aksjomatów, spełnienie których stanowi, iż geometria zwie się geometria euklidesowa.
  • Przyjął, że istnieją punkty, proste i płaszczyzny,
  • że wiadomo, co znaczą takie wypowiedzi jak punkt należy do prostej
  • prosta przechodzi przez punkt, prosta leży na płaszczyźnie.
  • Ostatni, piąty, aksjomat Euklidesa powiada (we współczesnym sformułowaniu), że
  • przez punkt nie leżący na prostej przechodzi dokładnie jedna prosta do niej równoległa.
  • AdaM 5 IV 2008
  • Do połowy XIX wieku nie zachodziła potrzeba aksjomatyzacji matematyki,
  • Ujęcia jej podstaw w karby ścisłości faktycznej (a nie domniemanej).
  • Konieczność ta zaistniała, gdy niezależnie Nikołaj Łobaczewski, w r.1826,
  • i János Bolyai (ok.r.1823) zbudowali sensowne geometrie, w którym piąty aksjomat
  • Euklidesa zastępuje inny: przez punkt nie leżący na prostej
  • przechodzi nieskończenie wiele prostych do niej równoległych.
  • Geometria z tym aksjomatem nazywa się geometrią hiperboliczną.
  • Geometria z jeszcze innym pewnikiem, przez punkt nie leżący na prostej
  • nie przechodzi jakakolwiek prosta do niej równoległa,
  • nazywa się geometrią eliptyczną. Określił ją, w r.1854, Bernhard Riemann).
  • Pojawienie się tych geometrii spowodowało, że zwrócono baczną uwagę na stwierdzenia przyjmowane bez dowodu,, tzn. na aksjomaty, na ich rolę. Nie tylko w geometrii.
  • Także, a może nawet przede wszystkim, w teorii mnogości, bowiem wychodząc od niej
  • można podjąć opisać jeśli nie całej matematyki, to przynajmniej jej ogromną część.
  • Można, na przykład, zdefiniować, co to jest równość,
  • co to jest funkcja, co to jest liczba.
  • Wraz z rozwojem teorii mnogości szybko okazało się, że aksjomatyzacja taka jest,
  • w pewnym sensie, niezbędna, bez niej nie sposób uniknąć antynomii, paradoksów.
  • Bernhard Riemann

10. Matematyka formalna

  • Aksjomatyzację całości matematyki, a więc sformułowanie jej w postaci systemu dedukcyjnego,
  • podjęto w końcu wieku XIX.. W tej koncepcji matematyka jawi się jako nauka formalna:
  • matematyka formalna to zbiór definicji i twierdzeń, czyli zdań, które łączą zdefiniowane pojęcia
  • i są uzasadnione metodami logiki.
  • AdaM 5 IV 2008
  • W tak rozumianej matematyce wszystko, co można zrobić, to nazywać pewne obiekty
  • i z nazw wywnioskowywać związki jednych obiektów z innymi.
  • Tak rozumiana matematyka jest sztuką czystego słowa i rozumu,
  • wszystko bowiem znajduje w definicjach rozpatrywanych pojęć, wszystko jest w słowie
  • (i aż narzuca się porównanie do zdania, jakim św. Jan zaczyna swą Ewangelię: Na początku było Słowo).
  • Matematyk zaś jest jak Sherlock Holmes poszukujący sprawcę zbrodni:
  • popełniono zbrodnię, więc jest jej sprawca (choć może nie znamy jeszcze jego nazwiska)
  • i zaistniały konkretnie takie, a nie inne okoliczności jej popełnienia.
  • Dlatego prawdziwie rozumiejący matematykę nie wypowiada zdania takiego jak
  • Rozwiązaniem równania x2 – 2x – 15 = 0 będzie –3.
  • Nie pyta Co będzie rozwiązaniem równania x2 – 2x – 15 = 0 ?,
  • bowiem skoro dane jest równanie, to dane są już jego pierwiastki,
  • a nam pozostaje jedynie dowiedzieć się, ile one wynoszą.
  • Tak kategoryczną ocenę wypowiedzi można jednak złagodzić, bowiem
  • Liczba –3 była, jest i będzie rozwiązaniem równania x2 – 2x – 15 = 0.
  • Matematyka należy do świata idei, nie ma żadnego odwołania do świata fizycznego
  • i jedynie jak Albert Einstein możemy się zdumiewać,
  • iż mimo tego oderwania jest językiem opisu tego świata.
  • Matematyka funkcjonuje zupełnie inaczej niż na przykład biologia, medycyna lub fizyka ekspreymentalna.
  • Te nauki formułują swe twierdzenia na podstawie obserwacji, doświadczeń.
  • Twierdzenia matematyczne nie podlegają jakiejkolwiek weryfikacji doświadczalnej,
  • istnieją tak, jak na przykład pole elektromagnetyczne istnieje niezależnie od tego,
  • czy jest opisane równaniami Maxwella bądź innymi, a nawet istnieje, gdy nie jest opisane w ogóle.

11. Co to jest 6 ?

  • Choć na matematykę można spojrzeć jako na naukę czysto formalną, abstrakcyjną,
  • to wyrasta wyrasta ona z koncepcji liczby i z geometrii.
  • Już powiedzieliśmy, że matematyka jako całość jest nauką zajmującą się liczbami
  • i figurami geometrycznymi oraz ich uogólnieniami.
  • AdaM 5 IV 2008
  • Tak rzecz ujmując, matematyka jest projekcją świata fizycznego w świecie idei.
  • Przy takim spojrzeniu jest matematyka zaczepiona tak mocno w świecie fizycznym,
  • że aż można mówić o matematyce doświadczalnej.
  • Doświadczalność matematyki trzeba jednak rozumieć inaczej niż w naukach przyr-
  • odniczych. Ta odmienność wynika choćby z tego, że w matematykę jest istotnie
  • wpisana nieskończoność – pojęcie, którego dotąd nie zaobserwowaliśmy
  • w świecie fizycznym: nikt jeszcze nie stwierdził istnienia nieskończoności fizycznej
  • i mówiąc, na przykład, o obiekcie nieskończenie dalekim,
  • mówimy jedynie, że znajduje się on bardzo, bardzo daleko.
  • Uogólnienia w matematyce są w istocie abstrakcjami, wysublimowanymi cechami.
  • Takim uogólnieniem jest nawet tak elementarne pojęcie jak liczba.
  • Courant i Robbins w książce Co to jest matematyka (pierwsze wyd. w r.1941) piszą na przykład tak:
  • Liczba 6 jest abstrakcją wszystkich zbiorów obejmujących dokładnie 6 przedmiotów, elementów,
  • nie zależy ona ani od poszczególnych własności tych przedmiotów ani od użytych symboli.
  • Tak rozumiana liczba 6 jest cechą wspólną zbiorów 6-elementowych.
  • Mówimy, że liczba 6 jest mocą każdego takiego zbioru.
  • Moc zbioru (inaczej: liczba kardynalna zbioru) jest jednym z podstawowych pojęć teorii
  • mnogości, zwanej też teorią zbiorów. Podwaliny tego działu matematyki i logiki matematycznej,
  • położył Georg Cantor (1845-1918), słuchacz wykładów Weierstrassa, Kummera i Kroneckera,
  • stwarzając tzw. naiwną teorię zbiorów.
  • infinity.jpg by Malte Marwedel

12. Georg Cantor

  • Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor urodził się w r.1845 w Sankt Petersburgu.
  • Tu pracował jego ojciec, z pochodzenia Duńczyk, stąd była jego matka, Maria Anna
  • Böhm. Gdy miał 11 lat, z rodzicami osiadł w Wiesbaden, później we Frankfurcie.
  • Studia rozpoczął na Politechnice w Zurychu, kontynuował je w Berlinie. Rozprawę
  • doktorską z teorii liczb, De aequationibus secundi gradus indeterminatis, obronił w r.1867
  • na Uniwersytecie w Getyndze.
  • W roku 1870 rozwiązał pewne zagadnienie dotyczące jednoznaczności szeregów
  • trygonometrycznych, jakie podsunął mu Heindrich Eduard Heine. Kolegium,
  • gdzie Heine był zatrudniony, zatrudniło go na stanowisko profesora w roku 1872.
  • Na początku roku 1873 Cantor pokazał, że wszystkie liczby wymierne dają się
  • ustawić w ciąg. W grudniu tegoż roku pokazał, że tego samego nie można
  • powiedzieć o zbiorze R liczb rzeczywistych.
  • W roku 1877 zwrócił uwagę na wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między przedziałem <0, 1) a prostą. Zaskoczony tą obserwacją napisał Widzę to, ale nie wierzę !
  • w liście, adresatem którego był Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916), od r.1855 Dedekind pracujący na Uniwersytecie w Göttingen na stanowisku, które przedtem zajmował Gauss.
  • Pracę na temat tego odkrycia wysłał do Crelle’s Journal. Tak dalece jej tezom nie dowierzał Kronecker, wtedy jeden z redaktorów tego czasopisma, że tylko interwencji Dedekinda zawdzięczać trzeba, iż została ona tam wydrukowana. Cantor do końca życia nie zapomniał tej sytuacji i nigdy więcej do Crelle’s Journal nic nie posłał.
  • Serię artykułów, które uznaje się za początek teorii mnogości (Mengetheorie) opublikował, w latach 1895-97, w Mathematische Annalen.
  • Uczestnicząc w pierwszym Międzynarodowym Kongresie Matematycznym (Zurych 1897) bardzo pochlebne opinie na temat nowej teorii wyrazili m.in. Hurwitz i Hilbert. Na tym zjeździe wykład o postulatach geometrii Euklidesa i Łobaczewskiego wygłosił Cesare Burali-Forti z Turynu. On, a wkrótce niezależnie od niego także i Cantor, natrafili na paradoks w teorii zbiorów, rozważając zbiór wszystkich zbiorów.
  • Cantor doświadczał okresów depresji. Rosła ona z takich racji jak śmierć młodszego brata i swego najmłodszego syna (rok 1899). Odwracał się wtedy od matematyki, zagłębiał się w lekturę dzieł epoki elżbietańskiej (Bacon, Szekspir). Zmarł w roku 1918 w Halle, w sanatorium na atak serca.
  • AdaM 5 IV 2008

13. Fundamenty naiwnej teorii zbiorów

  • Pojęciami pierwotnymi (a więc takimi, których się nie definiuje, które są, bo są) naiwnej teorii zbiorów
  • element, zbiór elementówprzynależność elementu do zbioru (oznacza się ją znakiem , napis
  • p  Z czyta się: p jest elementem zbioru Z, p jest w zbiorze Z, element p należy do zbioru Z).
  • Zbiór podać można
  • wymieniając jego elementy explicite, np. zbiór {powietrze, woda, ogień, ziemia},
  • wyliczając jego elementy domyślnie, np. zbiór {1, 2, 3, …, 2008},,
  • podając własność, jaka stanowi cechę definiującą zbiór, np. zbiór wydanych po polsku dzieł Adama
  • Mickiewicza, zbiór liczb podzielnych (rozumie się: bez reszty) przez 3; ten ostatni można zapisać
  • używając dwukropka lub pionowej kreski, np. { 3z : z  Z}.
  • Niekiedy zamiast zbiór mówi się klasa bądź rodzina (zbiorów).
  • AdaM 5 IV 2008
  • Mając jedynie te 3 pojęcia pierwotne możemy określić m.in. takie obiekty jak
  • para elementów: jest to zbiór (ab)  := {a, {a, b}},
  • podzbiór zbioru Z: jest to zbiór A taki, że (a  A)  (a  Z);
  • pisze się wtedy A  Z i mówi, że A zawiera się w B, że B zawiera A,
  • dopełnienie zbioru A do zawierającego go zbioru B: jest to zbiór {c  B: c  A},
  • gdzie ( B)  ~(b  B), co czyta się: b nie należy do B, b nie jest elementem zbioru B,
  • suma zbiorów A i B: jest to zbiór A  B := { cc  Ab  B},
  • iloczyn (lub: przekrój) zbiorów A i B: jest to zbiór A  B := { cc  Ab  B},
  • różnica zbiorów A i B: jest to zbiór A \ B := { cc  A  b  B},
  • zbiór potęgowy zbioru A : 2A = { BB  A},
  • iloczyn kartezjański zbiorów A i B: jest to zbiór AB := { (ab) :  a  A, b  B},
  • relacja dwuargumentowa w iloczynie AB: jest to dowolny podzbiór tego iloczynu.
  • O elementach a  A, b  B, które należą do relacji R  AB 
  • mówimy, że pozostają ze sobą w tej relacji i na ogół zamiast pisać (a, b)  B piszemy a R b.

14. Porządek

  • Mówimy, że relacja RA2 , tzn. w iloczynie kartezjańskim AA, jest
  • zwrotna, jeśłi  a  A a R a,
  • przechodnia, jeśłi  a, b, c  A {(a R b)  (b R c) }  (a R c),
  • symetryczna, jeśłi  a, b  A (a R b)  (b R a),
  • asymetryczna, inaczej: przeciwsymetryczna, jeśli  a, b  A (a R b)  ~(b R a),
  • antysymetryczna, jeśłi  a, b   A {(a R b)  (b R a)}  (b),
  • spójna, jeśłi  a, b   A (a R b)  (b R a)    (b).
  • AdaM 5 IV 2008
  • Relację zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w A2 nazywa się częściowym porządkiemA.
  • Jest częściowym porządkiem np. a) zawieranie zbiorów w dowolnej rodzinie podzbiorów ustalonego zbioru,
  • b) implikacja, czyli wynikanie , w zbiorze formuł rachunku zdań.
  • Częściowy porządek R w zbiorze A taki, że  a, b   A (a R b)  (b R a),
  • nazywa się porządkiem liniowym lub krótko: porządkiem.
  • Na przykład jest porządkiem a) w zbiorze N (i także w Z, Q, R) relacja , (mniejsze lub równe),
  • b) w każdym zbiorze relacja należenia ,
  • c) w zbiorze wektorów [x1, x2] liczbowych porządek leksykograficzny , ,
  • [x1, x2]  [y1, y2]   { (x1 < y1)   (x1 = y1   x2  y2) }.
  • Parę (XR), którą stanowią zbiór X i częściowy porządek R,
  • nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym (ang. poset).
  • O elemencie x zbioru częściowo uporządkowanego (XR) mówi się,
  • że jest najmniejszy (ze względu na porządek R), jeśli x R y dla dowolnego y  X.
  • Parę (XR), którą stanowią zbiór X i porządek liniowy R, nazywamy zbiorem liniowo uporządkowanym.
  • Porządek liniowy w zbiorze X nazywamy dobrym porządkiem,
  • jeśli każdy niepusty podzbiór zbioru X ma element najmniejszy ze względu na ten porządek.
  • Zbiór  dobrze uporządkowany relacją należenia ()
  • i taki, że każdy element    jest podzbiorem zbioru , nazywa się liczbą porządkową.
  • Tak więc dla dowolnych dwóch elementów ,    jest       .
  • Tak więc liczbami porządkowymi
  • są (poczynając od najmniejszej)
  • zbiór pusty ,
  • zbiór {},
  • zbiór {, {}},
  • zbiór {, {}, {, {}} itd. Zwyczajowo oznaczamy je kolejno przez 0, 1, 2, 3 itd.;
  • w ten sposób każda liczba naturalna jest liczbą porządkową.
  • Specyficznymi liczbami porządkowymi są liczby kardynalne – o nich powiemy później .

15 Równoważność

  • Zbiór elementów równoważnych danemu, tzn. zbiór [a]~ := { b : b ~ a},
  • nazywamy klasą elementów równoważności elementu a generowaną relacją równoważności ~.
  • Zbiór ten nazywa się także klasą abstrakcji elementu a.
  • Nazwa klasa abstrakcji podkreśla istotny fakt, jakim jest abstrahowanie,
  • pominięcie wszystkich cech elementów rozpatrywanego zbioru poza tą cechą,
  • która tę relację stanowi/określa.
  • Abstrahowanie, tj. wprowadzanie relacji równoważności,
  • stanowi jedno z najistotniejszych narzędzi, jakimi posługuje się matematyka.
  • W szczególności pozwala ono opisywać różne zjawiska fizyczne
  • tymi samymi równaniami lub układami równań.
  • AdaM 5 IV 2008
  • Relację zwrotną, przechodnią i symetryczną w A2 nazywa się równoważnością w zbiorze A.
  • Najczęściej zapisuje się ją używając znaku ~ lub ,
  • czasem pisze się po prostu = (którego nie należy mylić ze znakiem równości elementów).
  • O elementach a, b mówimy, że są ~ –równoważnymi, lub krócej, że są sobie równoważne,
  • jeśli pozostają ze sobą w relacji równoważności ~. Piszemy wtedy: ab.
  • Zbiór klas abstrakcji nazywa się zbiorem ilorazowym albo przestrzenią ilorazową
  • i jest oznaczany przez A/~, tak więc
  • A/~  :=  { [a]~  : a  A }.
  • Dowodzi się, że dowolna relacja równoważności w zbiorze A wprowadza w tym zbiorze podział,
  • tzn. że każdy element zbioru A należy do jakiejś i tylko jednej klasy abstrakcji.
  • Równoważnością jest w zbiorze Z liczb całkowitych relacja parzystości.
  • Dzieli ona zbiór Z na dwa podzbiory: zbiór liczb parzystych i zbiór liczb nieparzystych.
  • Relacja ta jest szczególnym (bo zachodzącym dla m = 2) przypadkiem relacji =m
  • zwanej przystawaniem modulo m albo równością modulo m.

16. Równość modulo

  • Niech m oznacza dowolną liczbę naturalną > 1.
  • Mówimy, że dwie liczby całkowite a, b są sobie równe modulo m,
  • i piszemy a =m b, jeżeli różnica a – b dzieli się bez reszty przez m.
  • Łatwo zauważyć, że warunek ten jest równoważny temu, że istnieje taka liczba całkowita k, że
  • a = b + km.
  • Łatwo też sprawdzić, że określona właśnie równość modulo m
  • jest relacją równoważności w zbiorze Z liczb całkowitych.
  • Relację tę nazywa się relacją równości modulo m, przystawaniem modulo m,
  • albo równością według reszt z dzielenia przez m.
  • AdaM 5 IV 2008
  • Relacja =m rozbija zbiór Z na klasy abstrakcji, Stanowią one jedyne elementy przestrzeni ilorazowej.
  • Przestrzeń ta liczy m elementów, tymi elementami są zbiory [0], [1], …, [m-1].
  • Nazywa się ją przestrzenią reszt z dzielenia przez m i często oznacza się przez Zm.
  • Można w niej wprowadzić działania dodawania, odejmowania i mnożenia kongruentnie
  • (mówimy też: zgodnie z działaniami wyjściowymi), tzn. wzorami  
  • [a]  +m  [b]  :=  [ a + b ],
  • [a]  – m  [b]  :=  [ a – b ],
  • [a]    m  [b]  :=  [  a  b ].
  • 16 = 4
  • Arytmetyka tak wprowadzona nazywa się arytmetyką cykliczną lub zegarową, bowiem przy m = 12 sprowadza się do takiego liczenia, jakie zachodzi na standardowej tarczy zegarka.
  • Na przykład po upływie 9 godzin od godziny 7 rano wskazówka duża mierzy w godzinę 4:
  • 7 + 9  =  16 = 4 + 112,
  • i czwarta po południu to godzina 16-ta, 4 =12 16.
  • Piszemy często w postaci 4 = 16 mod 12,
  • a bywa, że po prostu 4 = 16.
  • Klasa abstrakcji [ 4 ] = { …, -8, 4, 16, 28, 40, 52, … }.
  • 7+9 = 4

17 Przykłady relacji równoważności

  • Do już omówionego przystawania liczb modulo m dodajmy przykłady innych relacji równoważności,
  • a mianowicie:
  • (klasyczną) równość liczb,
  • przystawanie trójkątów,
  • podobieństwo trójkątów,
  • równość liczb wymiernych: zbiór Q liczb wymiernych można zdefiniować
  • jako przestrzeń ilorazową, którą w zbiorze par postaci (ab), gdzie a, b  Z oraz b  0,
  • generuje relacją równoważności ~ zdefiniowaną wzorem
  • (ab) ~ (pq)  aq = bp.
  • AdaM 5 IV 2008
  • to relacja równoważności przyjmuje znaną nam postać równości ułamków
  • Natomiast dodawanie i mnożenie ułamków zapisanych jako pary liczb wygląda następująco:
  • Zauważmy, że jeśli zamiast (a, b) napiszemy ,
  • Widać, że są to tylko inne zapisy znanych wzorów:
  • Zasadność zaprezentowanego „utrudniania życia”
  • (jakim, wobec naszych przyzwyczajeń, bez wątpienia jest zapis ułamka w postaci pary liczb)
  • dostrzega się, gdy w podobny sposób – mianowicie poprzez pary liczb – definiuje się tzw. liczby zespolone.

18. Co to jest funkcja

  • Na gruncie teorii mnogości funkcją (jednoznaczną)
  • określoną w zbiorze A i przyjmującą wartości w zbiorze V
  • nazywamy każdą relację f w iloczynie kartezjańskim AV
  • taką, że { (x, y1)  f }  {(x, y2)  f } )   y1 = y2 .
  • Przy tym zbiór A nazywa się zbiorem argumentów
  • (lub dziedziną, obszarem określoności),
  • zbiór Bzbiorem wartości (lub przeciwdziedziną) funkcji f.
  • Mówi się, że f odwzorowuje (także: przekształca, przeprowadza) argument x w wartość y.
  • Stosuje się też diagram f : A  V.
  • Zbiór { (x, y)  :  x  } nazywa się wykresem funkcji f nad zbiorem D.  
  • Zbiór { y  :  (x, y)     x   } nazywa się f-obrazem zbioru D
  • albo obrazem zbioru D (uzyskanym) przy przekształceniu f .
  • AdaM 5 IV 2008
  • Zamiast pisać (xy)  f pisze się y = f(x)
  • i mówi się, że y jest f-obrazem punktu x,
  • jest wartością funkcji f w punkcie x.
  • Teraz warunek, którego spełnienie stanowi,
  • że relacja f jest funkcją, pisze się następująco:
  • y1 = f(x)    y2 = f(x) }    ( y1 = y2 ).
  • Implikacja ta jest precyzyjnym wyrażeniem tego,
  • co popularnie rozumie się pod pojęciem funkcja
  • – że jest to przyporządkowanie jednoznaczne,
  • że konkretny argument x przekształca w dokładnie jedną wartość y.
  • Wykres funkcji y = sin(x)
  • Wykres równości x = 8y2 – 4y – 4
  • Niekiedy zamiast
  • funkcja mówi się
  • odwzorowanie,
  • przekształcenie,
  • transformacja,
  • operacja,
  • operator
  • (i trzech ostatnich zwłaszcza
  • wtedy, gdy przekształca
  • funkcja funkcję w funkcję).

19 Injekcja, surjekcja, bijekcja

  • Niech, jak poprzednio, f oznacza funkcję określoną w zbiorze A
  • i przyjmującą wartości w zbiorze V.
  • AdaM 5 IV 2008
  • Jeżeli każda wartość funkcji f
  • jest f-obrazem dokładnie jednego punktu jej dziedziny,
  • to mówimy, że f jest różnowartościowa, że jest injekcją.
  • Tym samym funkcja różnowartościowa f spełnia warunek
  •  f(x1) = f(x2)    x1 = x2 .
  • Jeżeli V jest f-obrazem zbioru A, tzn. V = f(A) := { f(a) : aA },
  • to mówimy, że f jest surjekcją (z A w V),
  • że funkcja f zbiór A przekształca na zbiór V.
  • Surjekcję różnowartościową z A na V nazywa się
  • odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym
  • albo bijekcją (z A w/na V).
  • Funkcja f określona wzorem f(x) = sin(x) jest
  • jest różnowartościowa na przedziale <0, /2>,
  • surjekcją z każdego przedziału <a, a + 2> na przedział <–1, 1>,
  • dla dowolnego a jest bowiem f(<a, a + 2>) = <–1, 1>,
  • jest bijekcją przedziału
  • <–/2, /2>
  • w/na <–1, 1>.
  • Funkcja y = x2 – x – 2
  • nie jest injekcją z przedziału <–1, 3>,
  • jest przekształceniem różnowartościowym
  • na przedziale <1, 3>,
  • nie jest odwzorowaniem przedziału
  • <0, 2> na przedział <–3, 4>,
  • jest surjekcją z <–1, 3> w/na <–2.25, 4>,
  • odwzorowuje zbiór R liczb rzeczywistych 
  • na przedział <–2.25, +),
  • nie jest bijekcją przedziału <–1, 3>
  • w przedział <–3, 4>,
  • jest funkcją wzajemnie jednoznaczną
  • przedziału <1, 3> w/na przedział <–2, 4>

20. Równoliczność

  • Za Cantorem dwa zbiory nazywamy równolicznymi
  • jeśli jeden jest bijekcyjnym obrazem drugiego.
  • AdaM 5 IV 2008
  • Grób Galileusza w kościele Santa Croce we Florencji
  • Równoliczność jest relacją równoważności
  • w danej rodzinie zbiorów, więc rozbija ją na rozłączne klasy.
  • O dwóch zbiorach należących do tej samej klasy abstrakcji,
  • powiadamy że mają tyle samo elementów,
  • że są takiej samej mocy,
  • że mają taką samą moc,
  • że ich liczby kardynalne są sobie równe.
  • Widać teraz, że zbiory N = {1, 2, 3, ,4 ... }
  • i P = {2, 4, 6, 8, ... } są równoliczne.
  • Istnieje bowiem bijekcja ze zbioru N w zbiór P;
  • jest ona określona wzorem f(n) = 2n.
  • To stwierdzenie, sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem,
  • nazwane jest paradoksem Galileusza.
  • Pierwszy odnotował je, w r.1638, Galileusz (Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze)
  • pisząc, że jest tyle samo liczb naturalnych, co ich kwadratów.
  • Tym samym podważył tę oczywistość, że część jest mniejsza od całości.
  • Spójrzmy bowiem: P jest podzbiorem właściwym zbioru N,
  • tzn. P  N i, równocześnie, P  N.
  • Tak więc część właściwa (P) zbioru (N) jest równoliczna z całym zbiorem.

21. Moce 0 i c

  • AdaM 11 III 2008

22. Hipoteza kontinuum

  • AdaM 11 III 2008
  • Paul Cohen (1934–2007)

23 ZF, ZFC

  • AdaM 5 IV 2008

23 Paradoksalny rozkład kuli

  • AdaM 5 IV 2008
  • Alfred Tarski (1902-83)
  • Stefan Banach (1892-1945)

25 Intuicjonizm, platonizm

  • AdaM 5 IV 2008

26. Ile matematyk ?

  • Henri Poincaré (1860-1934),
  • Kurt Gödel (1906-78),
  • Andriej Kołomogorow (1903-87)
  • AdaM 5 IV 2008

Download 15.65 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling