5-ma’ruza Vektorlarning o‘qdagi proyeksiyasi. Vektorlarning skalyar, vektor va aralash ko’paytmalari. Ularning xossalari. Ikki vektorning kollinearlik va uch vektorning komplanarlik shartlari

---

5-ma’ruza     

Vektorlarning o‘qdagi proyeksiyasi. Vektorlarning skalyar, vektor va aralash 

ko’paytmalari. Ularning xossalari. Ikki vektorning kollinearlik va uch vektorning 

komplanarlik shartlari. 

Ma’ruza rejasi:  

1. Vektorning o’qdagi proyeksiyasi. 

2. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi. 

3. Vektorlarning vektor ko’paytmasi 

4. Vektorlarning aralash ko’paytmasi. 

5. Proyeksiyalari bilan berilgan vektorlarning vektor ko’paytmasi. 

6. Proyeksiyalari bilan berilgan vektorlarning aralash ko’paytmasi.  

Vektorlarning o‘qdagi proyeksiyasi 

Bizga 

 ⃗  va   ⃗⃗  vektorlar  berilgan  bo„lsin.  Bu  vektorlarning  boshlarini  biror  umumiy    

nuqtaga  joylashtiramiz,  boshqacha  qilib  aytganda 

  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗    ⃗,    

⃗⃗⃗⃗⃗⃗    ⃗⃗  vektorlarni 

yasaymiz  (1-rasm).  U  holda 

     uchburchakning              burchagi  ( ⃗⃗  vektorni   ⃗ 

vektor bilan ustma–ust tushguncha aylantirish lozim bo„lganikki burchakning kichigi) 

 ⃗ 

va 

 ⃗⃗ vektorlar orasidagi burchak deb ataladi, hamda   ⃗     ⃗⃗  ko„rinishda yoki            

harflardan  biri  orqali  belgilanadi.  Ta‟rifga ko„ra vektorlar  orasidagi burchak 

 

 

 dan 

   

 

  gacha  bo„ladi.    Bundan      ko„rinadiki    bir    yo„nalishdagi    kollinear  vektorlar 

orasidagi burchak 

 

 

 ga, qarama-qarshi yo„nalishdagi vektorlar orasidagi burchak 

   

 

 

ga  teng  bo„lar  ekan.  Agar  vektorlar  orasidagi  burchak 

  

 

  ga  teng  bo„lsa,  ular 

perpendikulyar yoki ortogonal vektorlar deyiladi. 

 

 ⃗ vektor bilan   o„q orasidagi burchak deganda,   o„qning birlik  ⃗ vektori bilan  ⃗ 

vektor orasidagi burchak tushuniladi.  

1-Ta’rif. 

   nuqtaning     o‘qdagi  proyeksiyasi  deb,     nuqtadan     o„qqa  tushirilgan 

perpendikulyarning asosi bo„lgan  

 

    nuqtaga aytiladi. 

 

 

 

 

 

 

 

2-Ta’rif. 

  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektorning    o‘qdagi ortogonal proyeksiyasi deb,   va   nuqtalarning   

o„qdagi  mos  proyeksiyalari  bo„lgan   

 

  va 

 

 

  nuqtalardan  tuzilgan 

 

 

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  vektor 

uzunligining  bu  vektor  yo„nalishini  aniqlovchi  ishora  bilan  olingan  qiymatiga  aytiladi 

va 

  

 

  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ko„rinishda belgilanadi (2-rasm). 

Vektorning  o„qdagi  ortogonal  proyeksiyasi  sondan  iborat  ekanligini  ta‟kidlab 

o„tish kerak. Har qanday noldan farqli   ⃗ vektor birorta o„qni bir qiymatli aniqlaydi va 

uni biror to„g„ri chiziqda yotib, unga  yo„nalish  beradi  deb  qarash  mumkin. Shuning 

uchun  vektorning  bunday  o„qdagi  ortogonal  proyeksiyasini 

 ⃗  vektor  yo‘nalishidagi 

ortogonal  proyeksiya  ham  deb  ataladi.  Shu  sababli  biz  ba‟zan 

  

 

 ⃗  belgilash bilan bir 

𝑎⃗ 

𝑎⃗ 

𝑏⃗⃗ 

𝑏⃗⃗ 

𝜑

 

𝑂 

𝐴 

𝐵 

1-rasm 

𝐴 

𝐵 

𝐴

 

 

𝐵

 

 

𝑙 

2-rasm 

---

qatorda 

  

 ⃗

 ⃗  belgilashdan  ham  foydalanamiz.  Bu  belgilash   ⃗  vektorning   ⃗  vektor 

aniqlagan o„qdagi proyeksiyani anglatadi. 

 ⃗ vektor bilan   o„q berilgan va ular orasidai burchak esa   bo„lsin.     

1-Teorema. 

 ⃗  vektorning     o„qdagi  ortogonal  proyeksiyasi  | ⃗|  vektor  uzunligining    ⃗ 

vektor bilan 

  o„q orasidagi   burchak kosinusiga ko„paytirilganiga teng, ya‟ni 

  

 

 ⃗   | ⃗|        

2-Teorema.  Vektorlar  yig„indisining  ortogonal  proyeksiyasi  bu  vektorlarning  shu 

o„qdagi  ortogonal  proyeksiyalari  yig„indisiga  teng.  Vektorni  songa  ko„paytirilganda 

uning ortogonal proyrksiyasi ana shu songa ko„paytiriladi: 

  

 

( ⃗    ⃗⃗)     

 

 ⃗     

 

 ⃗⃗,       

 

   ⃗       

 

 ⃗.