5-mаvzu: Sanoqli va kontinual to‘plamlar. Tartiblangan to`plamlar. Dekart ko‘paytma reja

5-mаvzu: 

Sanoqli va kontinual to‘plamlar. Tartiblangan to`plamlar. Dekart 

ko‘paytma   

 

REJA: 

 

1.  Kardinal son 

2.  Sanoqli va kontinual to‘plamlar  

3.  Tartiblangan to`plamlar 

4.  Dekart ko‘paytma. 

 

Kalit so‘zlar: Tartiblashtirilgan juftlik, dekart kvadrat 

 

Har qanday A to‘plam uchun uning barcha to‘plam ostilar to‘plami P(A) yoki  2

A

  mavjud. 

  2

A

  to‘plam  tuzilmasini  tahlil  qilish  juda  mihimdir.  Agar  to‘plam  elementlari  sonini  biror 

bir  natural  son  bilan  ifodalashning  iloji  bo‘lsa,  u  holda  to‘plam  chekli  to‘plam  deyiladi. 

Chekli to‘plamlar uchun quyidagi teorema o‘rinli. 

Teorema  1.  n  ta  elementdan  iborat  X={x

1

,  x

2

,  ...,  x

n

  }  to‘plamning  barcha  to‘plam  ostilar 

to‘plami X to‘plamda aniqlangan soni 2

n

  ta  bo‘lgan  binar  funktsiyalar  to‘plamiga  biyektiv 

bo‘ladi.  

Misol 1. Aytaylik A={1, 2, 3} bo‘lsin. U holda 2

A

 ={{Ø}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 

3}, {1, 2, 3}} 

Har  bir  to‘plam  osti  Z  ga  

1

,  y

2

,  ...  ,  y

n

  >  binar  funktsiyani  biyektiv  mos  qo‘yamiz,  y

i  

elementlar quyidagicha aniqlanadi: 











 

holda

 

aks

   

,

0

'

  

agar 

    

,

1

lsa

bo

Z

x

y

i

i

 

Natijada quyidagicha 2

3

 ta binar funktsiyalar to‘plamiga ega bo‘lamiz: 

000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111. 

Ushbu  teoremani  cheksiz  to‘plamlar  uchun  ham  kengaytirish  mumkinmi  degan  savol 

tug‘iladi 

Cheksizlik  aksiomasi.  Hech  bo‘lmaganda  bitta  cheksiz  to‘plam  –  natural  sonlar  qatori 

mavjud.  

  Ushbu  aksiomaga  asoslanib  bundan  ham  murakkab  strukturaga  ega  bo‘lgan  to‘plamlarni: 

to‘g‘ri  chiziq,  tekislik  va  h.k.  qurish  mumkin.  Tabiiyki  savol  tug‘ladi:  ushbu  to‘plamlarni 

elementlar soni bo‘yicha qanday taqqoslaymiz ? 

 Natural sonlar qatori to‘plam ostilari soni: 









n

n

2

lim

 

bo‘ladi.  Lekin  uhbu  trivial  natija  to‘plamlarni  taqqoslashda  hech  qanday  natija  bermaydi. 

Cheksiz  to‘plamlar  tarkibining  yanada  aniqroq  baholari  zarur.  Ma’lum  baholar 

to‘plamlarning quvvati va ekvivalentligi  tushunchalariga asoslanadi. 

Ta’rif  1.  Chekli  to‘plamning  quvvati  deb,  ushbu  to‘plamning  barcha  elementlar  soniga 

aytiladi. Ixtiyoriy X chekli to‘plamning quvvati 

Х

 kabi belgilanadi. 

Ta’rif  2.  A  chekli  yoki  cheksiz  to‘plamlar  oilasidan  olingan  X  va  Y  to‘plamlar  uchun 

Y

X

f



:

  biyektsiya mavjud bo‘lsa, u holda X va Y to‘plamlar ekvivalent deyiladi. 

Ushbu munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv, shuning uchun ham ushbu munosabat A 

to‘plamlar oilasini ekvivalent elementlar sinfiga bo‘ladi.  

Teorema  2.  Agar  f    funktsiya  chekli  X  to‘plamni  Y  to‘plamga  o‘zaro  bir  qiymatli 

akslantirish bo‘lsa, u holda 

n

Х



 va 

n

Y



 shartlar ekvivalent bo‘ladi. 

Shunday qilib quvvat – turli chekli ekvivalent to‘plamlar uchun umumiy xarakteristikadir. 

  Elementlari  soni  cheksiz  bo‘lgan  ekvivalent  to‘plamlar  uchun  ham  bu  printsip  o‘rinli. 

Cheksiz to‘plamlar uchun quvvat tushunchasini aniqlash uchun,  kardinal son tushunchasi 

kiritiladi.  

Ta’rif  3.      Cheksiz  to‘plam  elementlarini  sonini  aniqlaydigan  simvolga  kardinal  son 

deyiladi. 

  Natural qatorning kardinal soni 

0



 simvol bilan belgilanadi va alfa nol deb kabi o‘qiladi. 

 Ixtiyoriy chekli X to‘plam uchun    

n

Х



 o‘rinli bo‘lsin. U holda tabiiyki 

0





n

 

taqqoslash  o‘rinli.  Natural  qator  barcha  to‘plam  ostilar  to‘plami  kardinal  sonini 



  bilan 

belgilanadi va teorema 1. ga ko‘ra  

0

2







. 

 Savol  tug‘iladi: 

0







  yoki 

0







?  Agar 

0







  bo‘lsa,  u  holda  natural  qator 

quvvati  uning  to‘plam  ostilart  to‘plami  quvvatidan  kichik  va  biz  quyidagi  imkoniyatlarga 

ega bo‘lamiz. 

1.  X dan P(X) ga o‘tib yanada quvvatliroq to‘plamlarni qurish usuliga egam bo‘lamiz. 

2.   Quvvatlar  shkalasini  tuzib  chiqish  imkoniga  ega  bo‘lamiz,  shu  jumladan  cheksiz 

to‘plamlar uchun ham.  

Sanoqli va kontinual to‘plamlar.  

 Bizga ma‘lum bo‘lgan to‘plamlar quvvatlarini taqqoslaylik. 

Aytaylik bizga musbat juft sonlar to‘plami berilgan bo‘lsin {2, 4, 6, .....}ushbu to‘plam bilan 

natural  qator  o‘rtasida  biyektsiya  o‘rnatish  uchun,  juft  sonlar  to‘plami  elementlarini 

quyidagicha nomerlab chiqamiz. 

2,  4,  6,  8, 

... 



 



 



 



 

 

1,  2,  3,  4, 

... 

Biyektsiya  k=2n  munosabat  bilan  o‘rnatildi,  bu  erda  k-  juft  sonlar  to‘plami  elementi 

qiymati,  n  –  natural  qator  elementi  qiymati.  Musbat  juft  sonlar  to‘plami  Natural  sonlar 

qatorining qismi bo‘lishiga qaramay ularning quvvatlari teng ekan. 

   Natural  va  butun  sonlar  to‘plami  o‘rtasida  biyektsiya  qurishga  urinib  ko‘ramiz.  Buning 

uchun  butun  sonlar    qatorini  quyidagicha  yozib  chiqamiz  va  mos  ravishda  natural  sonlar 

bilan nomerlaymiz. 

0,  -1,  1,  -2, 

2, 

... 



 



 



 



 



 

 

1,   2,  3,   4, 

5, 

 

Shunday qilib butun va natural sonlar o‘rtasida ekvivalentlik o‘rnatiladi, ya’ni 

0





Z

. 

Ratsional sonlar to‘plamining quvvati ham 

0



 ga teng.  

Bilamizki  ixtiyoriy  q  ratsional  sonni  qisqarmaydigan  kasr  ko‘rinishida  ifodalash  mumkin: 

q=m/n,  bu  erda  m  vd  n  lar  butun  sonlar.Ratsional  son  q  ning  balandligi  deb 

n

m



 

yigindiga aytiladi. Masalan 1 balandlikka faqat 0/1 son ega bo‘ladi, 2 balandlikka 1/1 va  -

1/1  sonlar,  3  balandlikka  2/1,  1/2,  -2/1,  -1/2  sonlar  ega  bo‘ladi.  Tushunarliki  berilgan 

balandlikdagi  sonlar  soni  chekli  bo‘ladi.  Shuning  uchun  ham  barcha  ratsional  sonlarni 

balandliklari  oshishiga  qarab  nomerlab  chiqish  mumkinki,  hattoki  bir  xil  balandlikka  ega 

bo‘lgan  sonlar  ham  o‘z  nomerlqariga  ega  bo‘lishadi.  Natijada  natural  va  ratsional  sonalar 

o‘rtasida biyektsiya o‘rnatiladi. 

   Shunday  qilib  to‘plam  sanoqli  bo‘ladi  agar  uni  natural  sonlar  qatoriga  biyektiv  mos 

qo‘yilgan bo‘lsa. Sanoqli to‘plamlarning muhim xossalarini keltiramiz. 

    1-xossa.    Sanoqli to‘plamning har qanday qism to‘plami yoki chekli yoki sanoqli. 

    2-xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to‘plamlarning yig‘indisi yana sanoqli bo‘ladi. 

Aytaylik  A

1

,  A

2

,  ...  –  sanoqli  to‘plamlar  bo‘lsin.  A

1

,  A

2

,  ...  to‘plamlarning  barcha 

elementlarini quyidagicha cheksiz jadval ko‘rinishida yozish mumkin: 

a

11        

a

12       

a

13

    a

14  

 ... 

a

21        

a

22       

a

23

    a

24  

 ... 

a

31        

a

32       

a

33

    a

34  

 ... 

a

41        

a

42       

a

43

    a

44  

 ... 

..................................... 

i-qatorda A

i

 to‘plamning barcha  elementlari turibdi. Ushbu elementlarni dioganal bo‘yicha 

nomerlab chiqamiz: 

 

a

11

 



  a

12  

   

a

13

 



  a

14  

  ... 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

21

 

 

a

22

   

a

23

   

a

24

 

... 



 

 

 

 

 

 

 

 

a

31

 

 

a

32

   

a

33

   

a

34  

  ... 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

41

 

 

a

42  

   

a

43

   

a

44

 

... 



 

 

 

 

 

 

 

 

... 

 

... 

 

... 

 

... 

 

   Shu  bilan  birga  birnechta  to‘plamlarga  tegishli  bo‘lgan  elementlarni  faqat  bir  marta 

belgilaymiz. Shunda  yigindidagi har bir element o‘zining nomeriga  ega  bo‘ladi va  natural 

sonlar  qatori  bilan  chekli  yoki  sanoqlita  to‘plamlar  yig‘indisi  o‘rtasida  o‘zaro  bir  qiymatli 

moslik o‘rnatiladi. 

  3-xossa.  Har  qanday  cheksiz  to‘plam  sanoqlita  elementga  ega  bo‘lgan    qism 

to‘plamga ega.  

Teorema. Nol va bir oralig‘idagi haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir. 

Isboti.  Faraz  qilaylik  [0,  1]  oraliqdagi  haqiqiy  sonlar  sanoqli  bo‘lsin.  U  holda  bu  sonlarni 

quyidagicha ifodalash mumkin: 

...

...

,

0

1

13

12

11

1

n

a











 

...

...

,

0

2

23

22

21

2

n

a











 

............................. 

...

...

,

0

3

2

1

nn

n

n

n

n

a











 

............................. 

  

....

....

,

0

3

2

1

n

b











haqiqiy  sonni  quyidagicha  qoida  bo‘yicha  quramiz.  Birinchi 

nol va vergul qo‘yamiz. Keyin 

i



  larni quyidagicha tanlaymiz. 













bolsa.

   

1

agar    

   

1

bolsa,

    

1

agar   

   

2

ii

ii

i







 

 Shu printsipda barcha sonlarni ko‘rib chiqamiz. Natijada biror bir a

i

 songa teng bo‘lmagan 

b  son  hosil  bo‘ladi.  Ushbu  son  birinchi  sondan  hech  bo‘lmaganda  verguldan  keyingi 

birinchi soni bilan, ikkinchi sondan hech bo‘lmaganda verguldan keyingi ikkinchi son bilan 

farq  qiladi  va  hokazo.  Shunday  qilib  [0,  1]  oraliqdagi  sonlar  to‘plami  sanoqli  degan 

taxminimiz noto‘g‘ri, chunki [0, 1] oraliqdan shunday son topdikki biz  sanoqli deb sanab 

chiqqan sonlar ichida u yo‘q. Demak [0, 1] oraliqdagi sonlar to‘plami sanoqsiz. 

    Ushbu  teoremaning  isboti  uqorida  keltirilgan  Kantorning  dioganal  protsedurasiga 

asoslangan.  

   [0,  1]  kesmadagi  nuqtalar  to‘plami  quvvati 

^

С

    kabi  belgilanadi  va  kontinium  deb 

nomlanadi.  [0,  +∞)  oraliq  quvvati  ham   

^

С

  gat  eng,  chunki  :  -ln[0,  1]=[0,  +∞)  biyeksiya 

o‘rinli. Aynan shu funksiya orqali [0, +∞) va (-∞, +∞) oraliqlar o‘rtasida biyeksiya o‘rnatish 

mumkin. Demak [0, 1], [0, +∞), (-∞, +∞) oraliqlar ekvivalent.  

  [0, 1]x[0, 1] kvadrat quvvati ham kontiniumga teng. Haqiqatdan ham A(x, y) nuqta  

[0, 1]x[0, 1] kvadratga tegishli bo‘lsin.  x  va  y  larni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz: 

 x=0.x

1

x

2

....;    y=0,y

1

y

2

…. va  har bir A(x,  y) nuqtaga a=0,x

1

y

1

x

2

y

2

…      haqiqiy son mos 

qo‘yamiz

.  Tushunarliki  kvadratning  turli  xil  nuqtalariga  turli  xil  haqiqiy  sonlar  mos 

keladi. Teskari moslik ham o‘rinli ekanligini Kantor isbotlagan. 

  Kantorning  ushbu  g‘oyasi  kubdagi  va  ixtiyoriy  n-  o‘lchovli  jismdagi  nuqtalar 

to‘plamining sanoqsizligi isbotiga kalit beradi. 

  Teorema:  Natural  qatorning  barcha  to‘plam  ostilari  to‘plami  quvvati  kontinuum 

quvvatiga teng. 

 

 А  vа B  ixtiyoriy to‘plаmlаr bo‘lsin, u holdа  tаrtiblаshtirilgаn juftlik  

}

y

  

,

   x

,

y

  

,

 

{

В

А

x

В

А













 

А  vа B  to‘plаrnlarning dekаrt ko‘pаytmаsi deyilаdi.  

Аgаr А=B bo‘lsа, u holdа   

2

А

А

А





- dekаrt kvаdrаt deyilаdi. 

Аgаr 

n

2

1

А

  

......,

 

,

А

  

,

 

А

  

n

 tа to‘plаm tizimi berilgаn bo‘lsа, u holdа ulаrning Dekаrt 

ko‘pаytmаsi deb, tаrtiblаshtirilgаn  





n

2

1

x

....,

 

,

  x

,

x

  

n

 tаliklаrdаn iborаt to‘plаmgа 

аytilаdi. 

}

 x

....,

,

 x

,

  x

,

 x

...,

 

,

 x

,

{

....

 

А

 

 

n

2

2

1

1

n

2

1

n

2

1

n

А

А

А

x

А

А

















