6 -7 Ma’ruza. Chiziqli va kasr chiziqli funksiyalar chiziqli funksiya

6 -7 Ma’ruza.


CHIZIQLI VA KASR CHIZIQLI FUNKSIYALAR
1.Chiziqli funksiya.
w=az+b (1)
Ko’rinishdagi funksiya chiziqli funksiya deyiladi, bunda a va v lar o’zgarmas kompleks sonlar va a  0
Bu funksiya to’plamda aniqlangan, o’nga teskari funksiya ham chiziqli funksiya bo’lib, u quyidagi
(2)
ko’rinishga ega.
(1) va (2) akslantirishlardan va tekislik nuqtalari o’zaro bir qiymatli moslikda ekanligi kelib chiqadi. Bunda z= da w=  bo’ladi va aksincha.
Ravshanki,
w`=(az+b)`=a
Demak,
w=az+b
akslantirish tekislikni tekislikka konform akslantiradi
w=az+b chiziqli funksiyani quyidagi 3 ta akslantirishlarni kompozisiyasi shaklida tasvirlash mumkin.
1. z₁=e^iz ( burchakka burish)
2. z₂=mz₁ (m marta cho’zish)
3. w=z₂+b (b vektorga parallel siljitish)
w=f(z) funksiya biror E sohada (E ) berilgan bo’lsin.
Agar aE nuqtada
f(a)=a
tenglik bajarilsa, z=a nuqtada w=f(a) akslantirishning qo’zg’almas nuqtasi deyiladi.
w=az+b akslantirish

1. 
   a=1 da z= qo’zg’almas nuqtaga,
   
2. 
   a1 da ikkita z₁=, z₂= qo’zg’almas nuqtalarga ega bo’ladi.
   

2. Kasr - chiziqli funksiya
(3)
ko’rinishdagi funksiya kasr-chiziqli funksiya deyiladi, bunda a,b,c,d lar o’zgarmas kompleks sonlar, z-kompleks o’zgaruvchi. ad-bc=0 bo’lgan hol biz uchun qiziqarli emas.
s0 bo’lganda
(4)
C=0 bo’lganda w()= deb qaraymiz.
(3) munosabatni z ga nisbatan yechish natijasida berilgan kasr-chiziqli funksiyaga nisbatan teskari bo’lgan
(5)
funksiyaga kelamiz, bu yerda ham
s0 da, z()=
c=0 da z()=
deb qaraymiz.
Demak,

funksiya to’plamda

funksiya esa to’plamda aniqlangan. (3) funksiya to’plam nuqtalarini to’plam nuqtalariga o’zaro bir qiymatli akslantiradi.
Ravshanki,

bo’lib, bu hosila

to’plada chekli hamda (4) shartga binoan w’0.
Demak,

akslantirish

to’plamda konform akslantirish bo’ladi.
Endi
(3)
akslantirishning va nuqtalarda konform bo’lishini ko’rsatamiz.
1)s0 bo’lsin. Bu (3) ning nuqtada konform bo’lishini ko’rsatish uchun

ni qaraymiz.
Ravshanki,


bo’lib,

bo’ladi. Demak, qaralayotgan akslantirish nuqtada konform bo’ladi.
(3) ning nuqtada konform bo’lshini ko’rsatish uchun

ni qaraymiz. Unda


bo’lib, z₁=0 bo’lganda

bo’ladi. Demak, (3) akslantirish z= nuqtada konform bo’ladi.
2) s=0 bo’lsin. Bu holda

bo’lib, z= nuqta w= nuqtaga akslanadi.
Agar , deyilsa, unda


bo’lib, z₁=0 nuqtada

bo’ladi. Demak, (3) akslantirish z= nuqtada konform akslantirish bo’ladi.
Shunday qilib,

akslantirish tekislik nuqtalarini tekislik nuqtalariga konform akslantirar ekan.