6 – amaliy mashg‘ulot: Qismiy va fundamental ketma – ketliklar. Koshi kriteriysi. 1 – teorema

6 – amaliy mashg‘ulot: Qismiy va fundamental ketma – ketliklar.  

Koshi kriteriysi. 

 

1 – teorema. Agar 

  

 

  ketma – ketlik limitga ega bo‘lsa, uning har qanday 

qismiy ketma – ketligi ham shu limitga ega bo‘ladi. 

 

2 – teorema (Boltsano – Veyershtrass). Har qanday chegaralangan ketma – 

ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma – ketlik ajratish mumkin. 

 

1  –  ta’rif.  Agar  har  qanday 

       son  olinganda  ham  shunday  natural 

 

 

   

 

    soni topilsaki, barcha      

 

 va 

     

 

 lar uchun 

| 

 

   

 

|     

tengsizligi bajarilsa, (ya’ni 

          

 

           

 

        

 

  | 

 

   

 

|     

bo‘lsa)   

 

  fundamental ketma – ketlik deyiladi. 

 

3  –  teorema.(Koshi  kiriteriyasi)  Ketma  –  ketlik  yaqinlashuvchi  bo‘lishi 

uchun uning yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarli. 

 

2 – ta’rif. 

  

 

  ketma – ketlikning qismiy limitlarining eng kattasi (kichigi) 

ketma –ketlikning yuqori (quyi) limiti deyiladi va  

   

̅̅̅̅

   

 

 

(    

   

 

 

) 

kabi belgilanadi. 

 

1 – misol. 

 

 

 

 

 

   

  

 

  ketma – ketlikni yaqinlashishga tekshiring, 

 

Yechilishi.1 – teoremadan agar ketma – ketlikni ikkita qismiy ketma – ketligi 

turli limitlarga intilsa, uning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi. 

 

  

 va 

 

    

 qismiy 

ketma – ketliklarni qaraylik: 

 

  

 

 

 

             

    

 

 

 

    (

 

 

     )  

 

 

 

ketma – ketlik turli qismiy limitlarga intilgani uchun ketma – ketlik uzoqlashuvchi 

bo‘ladi. 

 

2  –  misol. 

 

 

     

 

 

 

 

 

     

 

 

  formula  bilan  beriluvchi 

  

 

   ketma  – 

ketlikning yaqinlashuvchanligini Koshi kiriteriyasidan foydalanib tekshiring. 

 

Yechilishi.Dastlab Koshi shartini inkorini yozib olamiz. 

  

 

                              | 

 

   

 

|    

 

 

| 

  

   

 

|   |   

 

 

     

 

 

 

 

     

     

 

  

  (   

 

 

     

 

 

)|  

  |

 

     

 

 

     

   

 

  

|   |

 

  

 

 

  

     

 

  

|      

 

  

 

 

 

 

tenglikni olamiz. 

 

 

 

 

 

  deb  olsak, 

    olmaylik  va          da  va          ga  teng  bo‘lganda 

| 

 

   

 

|  

 

 

 bo‘lar ekan. 

 

Demak, bu ketma – ketlik uchun Koshi sharti bajarilmayapti. Bundan esa bu 

ketma – ketlikning uzoqlashuvchiligini ko‘rsatadi. 

 

3  –  misol. 

 

 

 

    

 

  

 

  ketma  –  ketlikning  quyi  va  yuqori  limitini 

hisoblang. 

 

Yechilishi.Ketma – ketlikning juft va toq nomerlarini qaraylik. 

 

  

 

 

 

 

 

 

     

̅̅̅̅

   

 

 

 

 

 

     

   

 

 

    

bo‘lar ekan.