6- ma`ruza. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli o’zgarmas koeffitsientli differentsial tenglamalar sistemasini o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan yechish

6- ma`ruza. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli o’zgarmas koeffitsientli differentsial 

tenglamalar sistemasini o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan yechish 

Tayanch so`z va iboralar: Differentsial tenglamalarning normal sistemasi. 

O’zgarmas koeffitsientli chiziqli differentsial tenglamalar sistemasi. Bir jinsli 

bo’lmagan chiziqli o’zgarmas koeffitsientli differentsial tenglamalar sistemasi, 

o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli, funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi, 

umumiy yechim, xususiy yechim.  

Reja. 

1. Differentsial tenglamalarning normal sistemasi. 

2. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli o’zgarmas koeffitsientli differentsial 

tenglamalar sistemasini o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan yechish. 

13.  1.  Bir  jinsli  bo’lmagan  chiziqli  o’zgarmas  koeffitsientli  differentsial 

tenglamalar  sistemasini  o’zgarmaslarni  variatsiyalash  usuli  bilan  yechish. 

Bizga 



















































)

(

),

(

),

(

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

t

f

x

a

x

a

x

a

dt

dx

t

f

x

a

x

a

x

a

dt

dx

t

f

x

a

x

a

x

a

dt

dx

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

























                  (10) 

sistema berilgan bo’lsin. 

    Faraz  qilaylik,  unga  mos  keluvchi  bir  jinsli  (7)  tenglamalar  sistemasining 

umumiy yechimi ma’lum bo’lsin: 

,

1

12

2

11

1

1

n

n

x

C

x

C

x

C

x











 

,

2

22

2

21

1

2

n

n

x

C

x

C

x

C

x











 



 

.

2

2

1

1

nn

n

n

n

n

x

C

x

C

x

C

x











 

    Berilgan (10) sistemaning umumiy yechimini 

,

)

(

)

(

)

(

1

12

2

11

1

1

n

n

x

t

C

x

t

C

x

t

C

x











 

,

)

(

)

(

)

(

2

22

2

21

1

2

n

n

x

t

C

x

t

C

x

t

C

x











 



       

nn

n

n

n

n

x

t

C

x

t

C

x

t

C

x

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1











 

ko’rinishda  izlaymiz,  bu  yerda 

)

(

,

),

(

),

(

2

1

t

C

t

C

t

C

n



  lar  topilishi  lozim  bo’lgan 

noma’lum  funktsiyalar.  Bularni  (10)  ga  qo’yamiz,  u  holda  uning 

i

-tenglamasi 

quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 





























n

n

in

n

i

i

x

a

x

a

x

a

x

C

x

C

x

C

x

C

1

1

12

12

11

11

'

1

1

'

2

'

2

1

'

1

 





)

(

2

2

1

1

'

t

f

x

a

x

a

x

a

x

C

i

nn

nn

n

n

n

n

n

n

















. 

    Qavs  ichidagi  yig’indilarning  hammasi  aynan  nolga  teng,  chunki    barcha 

n

k

,

,

2

,

1 



  lar  uchun 





kn

k

k

x

x

x

,

,

,

2

1



  lar  bir  jinsli  (7)  sistemaning 

yechimlaridir. Shuning uchun 

)

(

'

2

'

2

1

'

1

t

f

x

C

x

C

x

C

i

in

n

i

i











,  

n

i

,

,

2

,

1 



             (11) 

sistemaga ega bo’lamiz. 





kn

k

k

x

x

x

,

,

,

2

1



, 

n

k

,

,

2

,

1 



  lar chiziqli erkli bo’lgani 

uchun bu sistemaning asosiy determinanti 

.

0

.

.

1

1

11







nn

n

n

x

x

x

x







 

     

)

(

'

,

),

(

'

),

(

'

2

1

t

C

t

C

t

C

n



  larni  (11)  dan  aniqlab,  integrallab  chiqsak,  barcha 

)

(

,

),

(

),

(

2

1

t

C

t

C

t

C

n



 lar, va demak, (10) ning umumiy yechimi to-piladi. 

    8 - m i s o l. 

2

2

3

,

4

1

4

2

t

y

x

dt

dy

t

y

x

dt

dx















sistemani yeching. 

    Yechish. Avval bir jinsli sistemani yechib olamiz: 

.

0

,

0

4

2













y

x

dt

dy

y

x

dt

dx

 

Buning uchun birinchi tenglamani differentsiallaymiz: 

.

0

4

2

2

2







dt

dy

dt

dx

dt

x

d

 

Ikkinchi tenglamadan 

x

y

dt

dy





 ni va birinchi tenglamadan 

x

dt

dx

y

2

4







 ni 

aniqlab, bu tenglamaga qo’ysak:    

0

6

2

2







x

dt

dx

dt

x

d

 

o’zgarmas  koeffitsientli  ikkinchi  tartibli  tenglama  hosil  bo’ladi.  Uning  umumiy 

yechimi     

t

t

e

C

e

C

x

3

2

2

1







 

bo’ladi. Buni 

x

dt

dx

y

2

1

4

1







 ga qo’ysak:  

t

t

e

C

e

C

y

3

2

2

1

4

1









 ham topiladi. 

    Endi berilgan bir jinsli bo’lmagan sistemani yechish uchun 

t

t

e

t

C

e

t

C

x

3

2

2

1

)

(

)

(







, 

t

t

e

t

C

e

t

C

y

3

2

2

1

)

(

4

1

)

(









          (12) 

 

deb faraz qilamiz. (12) ni berilgan sistemaga qo’ysak: 

,

4

1

4

)

(

3

'

2

2

'

1

t

e

C

e

t

C

t

t









  

2

3

'

2

2

'

1

2

3

)

(

t

e

C

e

t

C

t

t









 

sistema hosil bo’ladi. Bundan    

,

5

6

4

1

)

(

2

2

'

1

t

e

t

t

t

C









 

.

5

2

3

4

1

)

(

3

2

'

2

t

e

t

t

t

C







 

Bularni integrallasak:   

,

5

3

)

(

1

2

2

1

C

e

t

t

t

C

t









 

2

3

2

2

5

2

1

)

(

C

e

t

t

t

C

t







 

hosil bo’ladi. Bularni (12) ga qo’yib sistemaning umumiy yechimini topamiz: 

2

3

2

2

1

t

t

e

C

e

C

x

t

t











, 

.

2

1

4

1

2

3

2

1

t

Ce

e

C

y

t

t











 

    13.2.  Bir  jinsli  bo’lmagan  chiziqli  o’zgarmas  koeffitsientli  differentsial 

tenglamalar  sistemasini  o’zgarmaslarni  variatsiyalash  usuli  bilan  yechish. 

Bizga 



















































)

(

),

(

),

(

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

t

f

x

a

x

a

x

a

dt

dx

t

f

x

a

x

a

x

a

dt

dx

t

f

x

a

x

a

x

a

dt

dx

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

























                  (10) 

sistema berilgan bo’lsin. 

    Faraz  qilaylik,  unga  mos  keluvchi  bir  jinsli  (7)  tenglamalar  sistemasining 

umumiy yechimi ma’lum bo’lsin: 

,

1

12

2

11

1

1

n

n

x

C

x

C

x

C

x











 

,

2

22

2

21

1

2

n

n

x

C

x

C

x

C

x











 



 

.

2

2

1

1

nn

n

n

n

n

x

C

x

C

x

C

x











 

    Berilgan (10) sistemaning umumiy yechimini 

,

)

(

)

(

)

(

1

12

2

11

1

1

n

n

x

t

C

x

t

C

x

t

C

x











 

,

)

(

)

(

)

(

2

22

2

21

1

2

n

n

x

t

C

x

t

C

x

t

C

x











 



       

nn

n

n

n

n

x

t

C

x

t

C

x

t

C

x

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1











 

ko’rinishda  izlaymiz,  bu  yerda 

)

(

,

),

(

),

(

2

1

t

C

t

C

t

C

n



  lar  topilishi  lozim  bo’lgan 

noma’lum  funktsiyalar.  Bularni  (10)  ga  qo’yamiz,  u  holda  uning 

i

-tenglamasi 

quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 





























n

n

in

n

i

i

x

a

x

a

x

a

x

C

x

C

x

C

x

C

1

1

12

12

11

11

'

1

1

'

2

'

2

1

'

1

 





)

(

2

2

1

1

'

t

f

x

a

x

a

x

a

x

C

i

nn

nn

n

n

n

n

n

n

















. 

    Qavs  ichidagi  yig’indilarning  hammasi  aynan  nolga  teng,  chunki    barcha 

n

k

,

,

2

,

1 



  lar  uchun 





kn

k

k

x

x

x

,

,

,

2

1



  lar  bir  jinsli  (7)  siste-maning 

yechimlaridir.  Shuning  uchun       

)

(

'

2

'

2

1

'

1

t

f

x

C

x

C

x

C

i

in

n

i

i











,   

n

i

,

,

2

,

1 



             

(11) 

sistemaga ega bo’lamiz. 





kn

k

k

x

x

x

,

,

,

2

1



, 

n

k

,

,

2

,

1 



  lar chiziqli erkli bo’lgani 

uchun bu sistemaning asosiy determinanti 

.

0

.

.

1

1

11







nn

n

n

x

x

x

x







 

     

)

(

'

,

),

(

'

),

(

'

2

1

t

C

t

C

t

C

n



  larni  (11)  dan  aniqlab,  integrallab  chiqsak,  barcha 

)

(

,

),

(

),

(

2

1

t

C

t

C

t

C

n



 lar, va demak, (10) ning umumiy yechimi to-piladi. 

    8 - m i s o l . 

2

2

3

,

4

1

4

2

t

y

x

dt

dy

t

y

x

dt

dx















sistemani yeching. 

    Yechish. Avval bir jinsli sistemani yechib olamiz: 

.

0

,

0

4

2













y

x

dt

dy

y

x

dt

dx

 

Buning uchun birinchi tenglamani differentsiallaymiz: 

.

0

4

2

2

2







dt

dy

dt

dx

dt

x

d

 

Ikkinchi tenglamadan 

x

y

dt

dy





 ni va birinchi tenglamadan 

x

dt

dx

y

2

4







 ni 

aniqlab, bu tenglamaga qo’ysak:    

0

6

2

2







x

dt

dx

dt

x

d

 

o’zgarmas  koeffitsientli  ikkinchi  tartibli  tenglama  hosil  bo’ladi.  Uning  umumiy 

yechimi      

t

t

e

C

e

C

x

3

2

2

1







 

bo’ladi. Buni 

x

dt

dx

y

2

1

4

1







 ga qo’ysak:   

t

t

e

C

e

C

y

3

2

2

1

4

1









 

ham topiladi. 

    Endi berilgan bir jinsli bo’lmagan sistemani yechish uchun 

t

t

e

t

C

e

t

C

x

3

2

2

1

)

(

)

(







, 

t

t

e

t

C

e

t

C

y

3

2

2

1

)

(

4

1

)

(









          (12) 

 

deb faraz qilamiz. (12) ni berilgan sistemaga qo’ysak: 

,

4

1

4

)

(

3

'

2

2

'

1

t

e

C

e

t

C

t

t









  

2

3

'

2

2

'

1

2

3

)

(

t

e

C

e

t

C

t

t









 

sistema hosil bo’ladi. Bundan     

,

5

6

4

1

)

(

2

2

'

1

t

e

t

t

t

C









 

.

5

2

3

4

1

)

(

3

2

'

2

t

e

t

t

t

C







 

Bularni integrallasak:    

,

5

3

)

(

1

2

2

1

C

e

t

t

t

C

t









 

2

3

2

2

5

2

1

)

(

C

e

t

t

t

C

t







 

hosil bo’ladi. Bularni (12) ga qo’yib sistemaning umumiy yechimini topamiz: 

2

3

2

2

1

t

t

e

C

e

C

x

t

t











, 

.

2

1

4

1

2

3

2

1

t

Ce

e

C

y

t

t









