7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar

1. 
   7-ma’ruza. Bir jinsli funksiyalar
   
2. 
   Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. Bernulli differensial tenglamasi. Birinchi tartibli to‘la differensialli differensial tenglamalar.
   

Reja:

1. 
   Bir jinsli funksiyalar
   
2. 
   Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar
   
3. 
   Bernulli tenglamasi
   
4. 
   To‘la differensialli differensial tenglamalar
   
5. 
   Integral ko‘paytuvchi
   

Bir jinsli differensial tenglamalar.
TA’RIF: Agar  ning xar kanday kiymatida

f (x,u) = ⁿ f (x , u)

ayniyat tugri bulsa, f (x , u) funksiya x va u uzgaruvchilarga nisbatan n ulchovli birjinsli funksiya deb ataladi.

M i s o l : f (x , u) = x⁴ – u⁴,

f (x,u) = (x)⁴ -(u)⁴ =⁴ (x⁴ -u⁴)
Demak , berilgan funksiya 4 ulchovli birjinsli funksiya ekan.
TA’RIF: Agar birinchi tartibli

u= f (x , u)

tenglamada f (x , u) funksiya x va u ga nisbatan nol ulchovli bir jinsli funksiya bulsa, bunday tenglama bir jinsli birinchi tartibli tenglama deyiladi. Uni, yana

u= f (1, )

kurinishda yozish mumkin. Bundan umumiy echimni =t(x) kurinishda izlash mumkinligi kelib chikadi.

Darxakikat u=tx ; u=t+xt ekanligi uchun dastlabki bir jinsli birinchi tartibli tenglama

t+xt= f (1,t)

kurinishga keladi. Bu erda uzgaruvchilarni ajratib va kelib chikkan tenglikning ikkala tomonini integrallab t(x) funksiyani aniklaymiz:

f (1,t)-t

Oxirgi tenglikdan t(x) ni topib u=tx ga kuysak izlangan umumiy echimni topgan bulamiz.

M i s o l :Tenglamani eching:

u =

Echimi. f (x , u)= , f (x,u)= = .
Berilgan tenglama bir jinsli ekan. Umumiy echimni

u=tx, u = t+xt

kurinishda kidiramiz:

t+xt = xt =1+ t-t ,

t=lnx +C,

y=tx=( lnx +C)x.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.

Ushbu

(1)

ko‘rinishdagi tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi, bunda  va lar biror oraliqda uzluksiz bo‘lgan funksiyalar¹.

Bernulli usuli bo‘yicha, (1) tenglamaning yechimini ikkita noma’lum va funksiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishida izlaymiz:

.

U holda uning hosilasi bo‘ladi.

Topilishi kerak bo‘lgan noma’lum funksiya o‘rniga ikkita noma’lum , funksiyalarning kiritilishi g‘aliz tuyuladi. Biroq keyinchalik ko‘ramizki va funksiyalarning birini mos tanlab olinishi ikkinchisini yengil topishga imkon beradi. Natijada topiladi.

Yuqoridagi

larni (1) tenglamadagi  va lar o‘rniga qo‘ysak,

,

ya’ni

(2)

differensial tenglama hosil bo‘ladi. Endi funksiyani shunday tanlaymizki (bu funksiyani ixtiyoriy ravishda tanlash imkoniyatidan foydalanib),

bo‘lsin. Bu differensial tenglama ushbu

o‘zgaruvchisi ajraladigan tenglamaga keladi. Keyingi tenglamani integrallab topamiz:

(3)

Natijada (2) differensial tenglama ushbu

ko‘rinishni oladi. Uni yechamiz:

(4)

(3) va (4) munosabatlardan

(5)

bo‘lishi kelib chiqadi.

Demak,

chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi.
1-misol. Ushbu

tenglamaning umumiy yechimi topilsin.

Bu tenglamaning umumiy yechimini (5) formuladan foydalanib topamiz. Berilgan tenglama uchun

bo‘lib, (5) formulaga ko‘ra

bo‘ladi. Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi.