7-ma’ruza. Lebeg integrali (2 soat) Reja

 

7-ma’ruza. Lebeg integrali (2 soat) 

Reja: 

1. Sodda funksiyalar 

2. Sodda funksiya uchun Lebeg integrali 

3. Lebeg integraliga misollar va uning  xossalari.  

Hamma  yerda 

E   o‘lchovli  to‘plamda  aniqlangan  o‘lchovli  f   funksiyani 

qaraymiz va 



<

)

(E



 deb faraz qilamiz. 

  7.1-ta'rif. Agar 

R

E

f



:

 o‘lchovli bo‘lib, uning qiymatlari to‘plami ko‘pi 

bilan sanoqli bo‘lsa, u holda  f  sodda funksiya deyiladi. 

  7.1-teorema. Ko‘pi bilan sanoqlita har xil 





,

,

,

,

2

1

n

y

y

y

 qiymatlarni qabul 

qiluvchi  f  funksiya o‘lchovli bo‘lishi uchun  

 





n

n

y

x

f

E

x

A

=

)

(

:

=



 

to‘plamlarning o‘lchovli bo‘lishi zarur va yetarli. 

Isbot.  Zaruriyligi. 

f   funksiya 

E   to‘plamda  o‘lchovli  bo‘lsa, 

n

A

 

to‘plamlarning o‘lchovli ekanligi 7.1-lemmadan kelib chiqadi. 

 Yetarliligi. 

n

A

 to‘plamlarning har biri o‘lchovli ekanligidan  f  funksiyaning 

o‘lchovli ekanligini keltirib chiqaramiz.  

 

n

n

y

A

c

c

f

E



<

=

}

<

{

 

tenglikdan va o‘lchovli to‘plamlarning birlashmasi o‘lchovli ekanligidan  f  ning  E  

da o‘lchovli funksiya ekanligi kelib chiqadi. 

 7.1-misol. Agar 

R

E

f



:

 o‘lchovli funksiya bo‘lsa, u holda 

)]

(

[

=

)

(

x

f

x

g

 

funksiya 

E  da sodda funksiya bo‘lishini isbotlang. Bu yerda  ]

[a  simvol  a  sonining 

butun qismini bildiradi. 

 Yechish.  g  funksiya faqatgina butun qiymatlar qabul qiladi. Shuning uchun 

uning  qiymatlar  to‘plami  ko‘pi  bilan  sanoqlidir.  Endi  uning  o‘lchovli  ekanligini 

ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, ixtiyoriy 

Z

n



 uchun  

 

1}

<

)

(

:

{

=

}

=

)

(

:

{









n

x

f

n

E

x

n

x

g

E

x

 

tenglik  o‘rinli.  ___-lemmaga  ko‘ra 

1)

<

(





n

f

n

E

  to‘plam  o‘lchovli.  ___-

teoremaga  ko‘ra  g   funksiya  E   da  o‘lchovli  funksiya  bo‘ladi.  Demak,  g   sodda 

funksiya ekan. 

 7.2-misol.  Sodda  funksiyaning  songa  ko‘paytmasi  yana  sodda  funksiya 

bo‘lishini ko‘rsating. Sodda funksiyalar yig‘indisi yana sodda funksiya bo‘lishligini 

isbotlang. 

 Yechish.  Sodda  funksiyaning  songa  ko‘paytmasi  yana  sodda  funksiya 

bo‘lishligi  bevosita  ta'rifdan  kelib  chiqadi.  Sodda  funksiyalar yig‘indisining  yana 

sodda funksiya bo‘lishligi esa, o‘lchovli funksiyalar yig‘indisining yana o‘lchovli 

funksiya ekanligidan hamda chekli yoki sanoqli to‘plamlarning arifmetik yig‘indisi 

(2-ma’ruzadagi 5-topshiriqqa qarang) yana chekli yoki sanoqli to‘plam ekanligidan 

kelib chiqadi. 

 

7.2-teorema  (O‘lchovlilik  mezoni). 

R

E

f



:

  funksiya  o‘lchovli  bo‘lishi 

uchun  unga  tekis  yaqinlashuvchi  sodda  funksiyalar  ketma-ketligining  mavjud 

bo‘lishi zarur va yetarli. 

Isbot.  Yetarliligi 9.2-teoremadan kelib chiqadi. 

 Zaruriyligi. 



f

 o‘lchovli funksiya bo‘lsin. Unga tekis yaqinlashuvchi 

}

{

n

f

 

sodda  funksiyalar  ketma-ketligining  mavjudligini  ko‘rsatamiz.  7.1-7.2  misollarga 

ko‘ra har bir 

N

n



 uchun  

 

[

( )]

( ) =

(7.1)

but

n

nf x

f

x

n

 

sodda funksiya bo‘ladi. Bundan tashqari  

 

n

n

x

nf

n

x

nf

x

nf

n

x

nf

x

f

x

f

x

f

but

n

1

)}

(

{

=

)]

(

[

)

(

=

)]

(

[

)

(

=

)

(

)

(









 

tengsizlik o‘rinli. Demak, 

n

f

 ketma-ketlik  f  ga tekis yaqinlashadi. 



 

Dastlab biz cheklita 

n

y

y

y

,

,

,

2

1



 qiymatlarni qabul qiluvchi  f  sodda funksiya 

uchun Lebeg integrali tushunchasini kiritamiz. Ixtiyoriy 

}

,

{1,2,

n

k





 uchun  

 

= {

: ( ) = }

(7.2)

k

k

A

x

A f x

y

 

belgilash olamiz.    

7.2-ta'rif.  Bizga 

n

y

y

y

,

,

,

2

1



  qiymatlarni  qabul  qiluvchi  f   sodda  funksiya 

berilgan bo‘lsin. U holda  

 

 

k

k

n

k

A

y





1

=

 

yig‘indi  f  sodda funksiyaning  A to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integrali deyiladi 

va  

 

 

k

k

n

k

A

A

y

d

x

f









1

=

=

)

(

 

kabi belgilanadi. 

Endi  bizga  sanoqlita 





,

,

,

,

2

1

n

y

y

y

  qiymatlarni  qabul  qiluvchi  f   sodda 

funksiya berilgan bo‘lsin.  f  funksiya uchun quyidagi formal qator  

 

=1

(7.3)

k

k

k

y

A

 

ni qaraymiz, bu yerda 

k

A

 lar (7.2) tenglik bilan aniqlanadi. 

  7.3-ta'rif. Agar (7.3) qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda  f  sodda 

funksiya 

A   to‘plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchi deyiladi. (7.3) qatorning 

yig‘indisi  f  funksiyaning  A to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integrali deyiladi va 

quyidagicha belgilanadi  

 

 

.

=

)

(

1

=

n

n

n

A

A

y

d

x

f











 

Bu ta'rifda 

n

y

 larning har xilligi talab qilingan. Lekin 

n

y

 larning har xilligini 

talab  qilmasdan  ham  sodda  funksiyalar  uchun  Lebeg  integrali  ta'rifini  keltirish 

mumkin. Bu quyidagi lemma yordamida amalga oshiriladi. 

 

  7.1-lemma. 

j

i

B

B

B

A

j

j

k

k



,

Ø

=

,

=





 va har bir 

k

B

 to‘plamda  f  funksiya 

faqat bitta 

k

c

 qiymat qabul qilsin. U holda  

 

( )

=

(7.4)

k

k

k

A

f x d

c

B

 

tenglik  o‘rinli  hamda  f   sodda  funksiya  A   to‘plamda  integrallanuvchi  bo‘lishi 

uchun (7.4) qatorning absolyut yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarlidir. 

Isbot. Osongina ko‘rish mumkinki, har bir  

 

}

=

)

(

:

{

=

n

n

y

x

f

E

x

A



 

to‘plam 

n

k

y

c =

 bo‘ladigan 

k

B

 to‘plamlarning birlashmasidan iborat, ya'ni  

 

.

=

=

k

n

k

c

n

B

y

A



 

Shuning uchun  

 

 

 

 

.

=

=

=

k

k

k

k

n

k

c

n

n

n

n

n

B

c

B

y

y

A

y















 

O‘lchovning manfiymasligidan  

 

 

 

 

k

k

k

k

n

k

c

n

n

n

n

n

B

c

B

y

y

A

y















=

=

=

 

ya'ni  

 

 

 

k

k

k

n

n

n

B

c

va

A

y









 

qatorlar bir vaqtda absolyut yaqinlashadi yoki uzoqlashadi. 



 

Sodda funksiyalar uchun Lebeg integralining ba'zi xossalarini isbotlaymiz. 

A)    Additivlik  xossasi.  Agar  f   va  g   sodda  funksiyalar 

A   to‘plamda 

integrallanuvchi  bo‘lsa,  u  holda 

g

f



  sodda  funksiya  ham 

A   to‘plamda 

integrallanuvchi va  

 







d

x

g

d

x

f

d

x

g

x

f

A

A

A

)

(

)

(

=

)]

(

)

(

[











 

tenglik o‘rinli. 

Isbot. Integrallanuvchi  f  sodda funksiya 

i

f

 qiymatni 

A

A

i



 to‘plamda,  g  

sodda funksiya esa 

j

g  qiymatni 

A

B

j



 to‘plamda qabul qilsin. U holda  

 

 

 

j

j

j

A

i

i

i

A

B

g

d

x

g

A

f

d

x

f

















=

)

(

,

=

)

(

 

qatorlar  absolyut  yaqinlashuvchi  bo‘ladi.  O‘lchovning 





  additivlik  xossasiga 

ko‘ra, quyidagi tengliklar o‘rinli  

 

 



  





.

=

,

=

j

i

i

j

j

i

j

i

B

A

B

B

A

A

















 

U holda quyidagi musbat hadli qatorlar  

 









j

i

j

j

i

j

i

i

j

i

B

A

g

B

A

f





















|

|

,

|

|

 

yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak,  

 



 



j

i

j

i

j

i

B

A

g

f











 

 

qator absolyut yaqinlashuvchi. Bundan 

g

f



 sodda funksiyaning integrallanuvchi 

ekanligi kelib chiqadi. 7.1-lemmaga ko‘ra,  



 























j

i

j

i

i

j

i

j

i

j

i

A

B

A

f

B

A

g

f

d

x

g

x

f











=

=

)]

(

)

(

[

 





 

 

























.

)

(

)

(

=

=











d

x

g

d

x

f

B

g

A

f

B

A

g

A

A

j

j

j

i

i

i

j

i

i

j

j



 

B)      Agar  f   sodda  funksiya 

A   to‘plamda  integrallanuvchi  bo‘lsa,  u  holda 

ixtiyoriy 

R

k



 o‘zgarmas uchun 

f

k



 funksiya ham 

A  to‘plamda integrallanuvchi 

va quyidagi tenglik o‘rinli  

 

.

)

(

=

)

(





d

x

f

k

d

x

f

k

A

A







 

Isbot.  

( )

=

=

=

( ) .

i

i

i

i

i

i

A

A

k f x d

k f

A

k

f

A

k f x d

 

C)  

A   to‘plamda chegaralangan  f  sodda funksiya integrallanuvchidir. 

Agar 

A  da 

M

x

f



)

(

 bo‘lsa, u holda quyidagi tengsizlik o‘rinli  

 

).

(

|

)

(

|

A

M

d

x

f

A











 

Isbot.  

 

 

 

 



















).

(

=

|

|

|

|=|

)

(

|

A

M

A

M

A

f

A

f

d

x

f

i

i

i

i

i

i

i

i

A











 

Bu ma’ruzani quyidagi sodda funksiyaning Lebeg integralini hisoblash bilan 

yakunlaymiz. 

 7.3-misol. 

(0;1]

=

A

 oraliqda  f  funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:  

 

.

],

2

1

,

2

1

(

=

,

=

)

(

1

N

n

A

x

agar

n

x

f

n

n

n







 

f  sodda funksiya 

(0;1]

=

A

 to‘plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchimi? Agar 

integrallanuvchi bo‘lsa, uni hisoblang. 

 Yechish. Ma'lumki,  

 

(0;1]

=

1

=

n

n

A





 

va 

n

A

  to‘plamlar  o‘zaro  keshishmaydi.  Sodda  funksiyalar  uchun  Lebeg  integrali 

ta'rifiga ko‘ra,  

 

=1

1

(7.5)

2

n

n

n

 

qator yaqinlashuvchi bo‘lsa,  f  funksiya 

(0;1]

=

A

 da integrallanuvchi bo‘ladi. Bu 

holda musbat hadli qatorlarni taqqoslash haqidagi Dalamber alomatidan foydalanish 

qulay.  

 

1.

<

2

1

=

2

2

1

lim

=

lim

1

1

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n

















 

 

Demak, (7.5) qator yaqinlashuvchi. Bu yerdan  f  sodda funksiyaning Lebeg 

ma'nosida  integrallanuvchiligi  kelib  chiqadi.  Endi  (7.5)  qator  yig‘indisini 

hisoblaymiz. Uning qismiy yig‘indisi 

n

S

 uchun  

 

=

)

2

8

3

4

2

2

1

(

2

8

4

4

3

2

2

1

=

2

=

1

n

n

n

n

n

n

n

S

S

S





























 

 

.

2

2

1

8

1

4

1

2

1

1

=

2

)

2

1

2

(

)

4

2

4

3

(

)

2

1

2

2

(

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n









































 

Bu tenglikda 





n

 da limitga o‘tib  

 

2

=

lim

=

)

(

(0;1]

n

n

S

d

x

f









 

ekanligini olamiz. 

Matematik  analiz  kursidan  ma'lumki  ([7]  ga  qarang)  f   funksiya  Riman 

ma'nosida  integrallanuvchi  bo‘lishi  uchun,  uning  chegaralangan  bo‘lishi  zarur. 

Chegaralanmagan funksiyalar uchun Riman integrali "xosmas integral"   ma'nosida 

ta'riflanadi.  7.1-misolda  qaralgan  f   funksiya  (0;1]  da  chegaralanmagan.  Lebeg 

integrali  ta'rifida  funksiyaning  chegaralangan  bo‘lishi  muhim  emas,  ya'ni 

chegaralangan  va  chegaralanmagan  funksiyalar  uchun  Lebeg  integrali  bir  xilda 

ta'riflanada.