7-ma’ruza. Lebeg integrali (2 soat) Reja

7-ma’ruza. Lebeg integrali (2 soat)

Reja:

1. Sodda funksiyalar

2. Sodda funksiya uchun Lebeg integrali

3. Lebeg integraliga misollar va uning xossalari.

Hamma yerda o‘lchovli to‘plamda aniqlangan o‘lchovli funksiyani qaraymiz va deb faraz qilamiz.

7.1-ta'rif. Agar o‘lchovli bo‘lib, uning qiymatlari to‘plami ko‘pi bilan sanoqli bo‘lsa, u holda sodda funksiya deyiladi.

7.1-teorema. Ko‘pi bilan sanoqlita har xil qiymatlarni qabul qiluvchi funksiya o‘lchovli bo‘lishi uchun

to‘plamlarning o‘lchovli bo‘lishi zarur va yetarli.

Isbot. Zaruriyligi. funksiya to‘plamda o‘lchovli bo‘lsa, to‘plamlarning o‘lchovli ekanligi 7.1-lemmadan kelib chiqadi.

Yetarliligi. to‘plamlarning har biri o‘lchovli ekanligidan funksiyaning o‘lchovli ekanligini keltirib chiqaramiz.

tenglikdan va o‘lchovli to‘plamlarning birlashmasi o‘lchovli ekanligidan ning da o‘lchovli funksiya ekanligi kelib chiqadi.

7.1-misol. Agar o‘lchovli funksiya bo‘lsa, u holda funksiya da sodda funksiya bo‘lishini isbotlang. Bu yerda simvol sonining butun qismini bildiradi.

Yechish. funksiya faqatgina butun qiymatlar qabul qiladi. Shuning uchun uning qiymatlar to‘plami ko‘pi bilan sanoqlidir. Endi uning o‘lchovli ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, ixtiyoriy uchun

tenglik o‘rinli. ___-lemmaga ko‘ra to‘plam o‘lchovli. ___-teoremaga ko‘ra funksiya da o‘lchovli funksiya bo‘ladi. Demak, sodda funksiya ekan.

7.2-misol. Sodda funksiyaning songa ko‘paytmasi yana sodda funksiya bo‘lishini ko‘rsating. Sodda funksiyalar yig‘indisi yana sodda funksiya bo‘lishligini isbotlang.

Yechish. Sodda funksiyaning songa ko‘paytmasi yana sodda funksiya bo‘lishligi bevosita ta'rifdan kelib chiqadi. Sodda funksiyalar yig‘indisining yana sodda funksiya bo‘lishligi esa, o‘lchovli funksiyalar yig‘indisining yana o‘lchovli funksiya ekanligidan hamda chekli yoki sanoqli to‘plamlarning arifmetik yig‘indisi (2-ma’ruzadagi 5-topshiriqqa qarang) yana chekli yoki sanoqli to‘plam ekanligidan kelib chiqadi.

7.2-teorema (O‘lchovlilik mezoni). funksiya o‘lchovli bo‘lishi uchun unga tekis yaqinlashuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligining mavjud bo‘lishi zarur va yetarli.

Isbot. Yetarliligi 9.2-teoremadan kelib chiqadi.

Zaruriyligi. o‘lchovli funksiya bo‘lsin. Unga tekis yaqinlashuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligining mavjudligini ko‘rsatamiz. 7.1-7.2 misollarga ko‘ra har bir uchun

sodda funksiya bo‘ladi. Bundan tashqari

tengsizlik o‘rinli. Demak, ketma-ketlik ga tekis yaqinlashadi.

Dastlab biz cheklita qiymatlarni qabul qiluvchi sodda funksiya uchun Lebeg integrali tushunchasini kiritamiz. Ixtiyoriy uchun

belgilash olamiz.

7.2-ta'rif. Bizga qiymatlarni qabul qiluvchi sodda funksiya berilgan bo‘lsin. U holda

yig‘indi sodda funksiyaning to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integrali deyiladi va

kabi belgilanadi.

Endi bizga sanoqlita qiymatlarni qabul qiluvchi sodda funksiya berilgan bo‘lsin. funksiya uchun quyidagi formal qator

ni qaraymiz, bu yerda lar (7.2) tenglik bilan aniqlanadi.