7-mavzu chiziqli oʻzgarmas koeffitsiyentli yuqori tartibli bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamalar

7-MAVZU

CHIZIQLI OʻZGARMAS KOEFFITSIYENTLI YUQORI TARTIBLI BIR JINSLI BOʻLMAGAN DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.

Ikkinchi tartibli bir jinsli boʻlmagan chiziqli oʻzgarmas koeffitsiyentli

(1)

differensial tenglama berilgan boʻlsin.

Bunday korinishdagi differensial tenglamalarni yechish algoritmi quyidagicha:

1. 
   Mos bir jisli differensial tenglamani yechish lozim:
   

(2)

Umumiy yechimini topamiz va uni kabi belgilaymiz.

2. 
   Bir jinsli boʻlmagan tenglamaning biror bir xususiy yechimi ni topamiz. Buning uchun aniqmas koeffitsiyentlar usuli asosida xususiy yechim tanlanadi.
   
3. 
   Bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi esa
   

(3)

koʻrinishda boʻladi.

Agar masalaning boshida Koshi masalasi berilgan boʻlsa, u holda 4-bosqich ham qoʻshiladi.

4. 
   Boshlangʻich shartlarni bajaruvchi xususiy yechim topiladi.
   

Yuqorida keltirilgan algoritmning 2-bosqichiga alohida toʻxtalib oʻtamiz. Xususiy yechim koʻrinishini tanlash tenglamaning oʻng tomonida turgan f(x) funksiyaning koʻrinishiga hamda bir jinsli tenglamaga mos xarakteristik tenglamasi ildizlari va larga bogʻliq. Duch kelishimiz mumkin boʻlgan turli hollarga toʻxtalib oʻtamiz:

1. 
   Aytaylik (2) tenglamaning xarakteristik tenglamasi: ning ildizlari va lar ikkita har xil haqiaiy ildizlar boʻlib, noldan farqli boʻlsin, yaʼni u holda xususiy yechim quyidagicha qidiriladi:
   

		Xususiy yechim		Xususiy yechim
			,
	,		va
	va		va
	va		asinbx acosbx acosbx+csinbx	Acosbx+Csinbx

		Xususiy yechim		Xususiy yechim
	va		asinbx, acosbx acosbx+csinbx	Acosbx+Csinbx

	va
	(ax+b)cosdx, (ax+b)sindx (ax+b)cosmx+(cx+d)sinmx	(Ax+B)cosmx+(Cx+D)sinmx
	,

2. 
   Agar va lar ikkita har xil haqiqiy ildizlar boʻlib, ulardan bittasi nolga
   

teng boʻlsa (aniqlik uchun keling boʻlsin) u holda ularga mos boʻlgan differensial tenglama koʻrinishi boʻlib, xususiy yechim quyidagicha qidiriladi: