7-misol. Tenglamani yechamiz

7-misol. Tenglamani yechamiz
(4)
R e W e n va E. bizda bor .
Так как Va oraliqda функция  oshganligi sababli, ya'ni. , т. е.
(5)
Shunday qilib, (4) tenglamaning o'ng tomoni ijobiy bo'lishi kerak. Bundan tashqari , biz quyidagilarni olamiz:
(6)
(5) va (6) tengsizliklarni taqqoslab, biz tizimga kelamiz

Tizimning birinchi tenglamasi faqat to'g'ri tenglikka aylanadi . Ushbu qiymat tizimning ikkinchi tenglamasini qondirganligi sababli (4) tenglamaning yagona ildizi hisoblanadi.
P r va m E  8. Tenglamani yechamiz
(7)
R e W e n va E. chunki , keyin . Bundan tashqari, . Darhaqiqat, tenglamani ko'rib chiqing . Bunday tenglik, agar mumkin bo'lmasa va mumkin bo'lmasa , sodir и bo'lishi mumkin, chunki  при va bu qiymatlar uchun bizda:

Shunday qilib, . Shu bilan birga, (7) tenglamaning o'ng tomoni tengsizlikni qondiradi . Shunday qilib, (7) tenglamaning yechimlari yo'q degan xulosaga kelish mumkin.
P r va m e r 9. Biz tengsizlikni hal qilamiz
(8)
Tengsizlikni oddiyroq shaklga o'tkazish uchun biz ikkita holatni ko'rib chiqamiz: . Birinchi holda, tengsizlik shaklga aylanadi

va keyin

Ikkinchi holda, biz olamiz .
Demak, tengsizlik (7) tengsizlik tizimlari yig'indisiga tengdir
(8) (9)
biz bir xil koordinatalar tizimida funktsiyalar grafikalarini tuzamiz va
(rasm. 62). E'tibor bering,  bilan logaritmik funktsiya grafigi kasr-chiziqli grafikning tepasida joylashgan

funktsiyalar, ya'ni  -tizim echimi (8). Agar logaritmik funktsiya grafigi kasr-chiziqli

funktsiya grafigi ostida joylashgan bo'lsa, ya'ni . yechim (9).
(8) va (9) tizimlarning echimlarini birlashtirib , biz tengsizlikning echimini olamiz (7).
 r va m e r 10. Biz tengsizlikni hal qilamiz
(10)
P e W e n va e. tengsizlikni aniqlash sohasi tengsizlik bilan berilganligi sababli, ya'ni , keyin tengsizlikning ikkala qismini (10) 2-asosda prologarifm qilib, biz unga teng tengsizlikni olamiz

T. e.

Tenglik выполняется при  . Funktsiya kamayib, funktsiya ortib borayotganligi sababli , tengsizlik  (rasm. 63).
Shunday qilib,  _x0001_ tengsizlikning echimi (10).
 r va m e  11. Aralash tizimni hal qiling

R e W e n va E. tizimning ikkinchi tenglamasini shaklga o'tkazamiz

bu erda  , ya'ni  .
Рассмотрим функцию  segmentidagi  chiqing , buning uchun  va  Имеем .
Shunday qilib ,  , agar  bo'lsa , ya'ni  va shuning uchun quote _x0001_ segmentidagi uzluksiz funktsiya eng katta va eng kichik qiymatlarni на отрезке  faqat segmentning oxirida yoki quote _x0001_ nuqtasida olishi mumkin  .
Bizda  . Shunday qilib,  . Shunday qilib, (12) tenglamaning o'ng tomoni tengsizliklar tizimini qondirishi kerak

Ushbu tizimni hal qilib, tizim (11) _x0001_ quote shartini o'z ichiga olganligini hisobga olsak  olamiz . Ushbu holatlarning har birida tizimning birinchi tenglamasini (11) ko'rib chiqing.
Vaqti-vaqti bilan boshlaymiz . Keyin tizimning birinchi tenglamasini (11) quyidagicha qayta yozish mumkin:

Quote _x0001_ funktsiyasini ko'rib  и найдем  и  на отрезке  . Bizda  , ya'ni  mavjud va shuning QUOTE _x0001_ ga . Shunday qilib ,  va  . Ammo keyin quote _x0001_ funktsiyasi  _x0001_ dan  gacha  , ya'ni -3 dan -2 gacha bo'lgan qiymatlarni oladi. Endi (13) tenglamaning chap va o'ng tomonlarining chegaralarini baholaymiz.
Chunki , keyin  .
Chunki , keyin .
Shunday qilib, (13) tenglamaning o'ng tomoni -1 dan kam emas, chap tomoni esa - 2 dan katta emas, demak (13) tenglamaning yechimlari yo'q.
Keling,  . Bunday holda , tizimning ikkinchi tenglamasi (11) shaklni oladi , bu erda oddiy o'zgarishlardan so'ng  , bu bizga mos kelmaydi yoki , ya'ni  .
QUOTE _x0001_ uchun tizimning birinchi tenglamasi (11)  quyidagi shaklni oladi:

Chunki  , keyin  . Shunday qilib ,  , ya'ni  va shuning uchun yuqorida topilgan qiymatlar  _x0001_bem faqat  . Ular (14) tenglamani qondiradilar.
P p va m e p 12.  из интервала  tengsizlik

имеет решения на отрезке  ?
P e W e n va E. bu aniq  , a cos   . Demak, (15) tenglama quote _x0001_ shaklidagi sonlar tenglamalari tizimiga teng
Из чисел вида  segmenti  faqat  , ya'ni QUOTE _x0001_ ga tegishli  . Ushbu qiymatda tizimning birinchi tenglamasi (16)  , qaerdan

Ushbu qiymatlar orasida QUOTE _x0001_ oralig'iga tegishli bo'lganlarni tanlash qoladi  . Bu  при  va  ( )bo'ladi
Shunday qilib, vazifa shartlari parametr qiymatlari bilan qondiriladi a:  .
 p p a Ji n nia
tenglamalarni yeching.
1893.  .
1894.  .
1895.  .
1896.  .
1897. 
1898.  .
1899.  .
1900.  .
1901.  .
1902.  .
1903.  .
1804.  .

1961. 
       .
      
1962. 
       .
      
1963. 
       .
      
1964. 
       .
      
1965. 
       .
      
1966. 
       .
      
1967. 
       .
      
1968. 
       .
      
1969. 
       .
      
1970. 
       .
      
1971. 
       .
      
1972. 
       .
      
1973. 
       .
      
1974. 
       .
      
1975. 
       .
      
1976. 
       .
      
1977. 
       .
      
1978. 
       .
      
1979. 
       .
      
1980. 
       .
      
1981. 
       .
      
1982. 
       .
      
1983. 
       .
      
1984. 
       .
      
1985. 
       .
      
1986. 
       .
      
1987. 
       .
      
1988. 
       .
      
1989. 
       .
      
1990. 
       .
      
1991. 
       .
      

1937. 
       .
       .
      
1938. 
       .
      
1939. 
       .
      
1940. 
       .
      
1941. 
       .
      
1942. 
       .
      
1943. 
       .
      
1944. 
       .
      
1945. 
       .
      
1946. 
       .
      
1947. 
       .
      Tengsizliklarni hal qiling.
      
1948. 
       .
      
1949. 
       .
      
1950. 
       .
      
1951. 
       .
      
1952. 
       .
      
1953. 
       .
      
1954. 
       .
      
1955. 
       .
      
1956. 
       .
      
1957. 
       .
      
1958. 
       .
      
1959. 
      Aralash tizimni hal qiling
      

1960. 
      Tengsizliklar tizimini hal qiling
      

1961. 
      Quote _x0001_ oralig'idan a parametrining qaysi qiymatlarida  tenglamasi   309 segmentida echimlarga ega
      309
      

1962. 
      При каких значениях параметра  quote _x0001_ parametrining qaysi qiymatlari уравнение  uchun quote _x0001_ quote _x0001_ tenglamasi segmentidagi  ?
      
1963. 
      При каких значениях параметра  quote _x0001_ parametrining qaysi qiymatlari уравнение  uchun quote _x0001_ quote _x0001_ tenglamasi segmentida echimlarga ega  ?
      8 3. Nostandart tenglamalar va HEPABEHCTBA
      "nostandart muammo" atamasi matematika metodologiyasida ikki, uchta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizliklarning h tenglamalariga, shuningdek tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan yuqori bo'lgan tenglamalar tizimiga ega. Albatta, ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan har qanday tenglamani  nostandart deb tasniflash mumkin  , uning echimlari 5 ga teng bo'lgan frontal juft sonlarga ega. Ushbu tenglama noaniq (cheksiz echimlar to'plami) kabi sodda. Biz ikki, uchta o'zgaruvchiga ega bo'lgan bunday tenglamani nostandart deb hisoblaymiz, bu ozmi-ko'pmi asl mulohazalardan so'ng juda aniq echimlarga olib keladi.
      PR va me r 1. Tenglamani yechamiz
      

P esh e n va E. bizda bor

3boshlaydi, berilgan tenglamani   . Ammo ikkita manfiy bo'lmagan sonning yig'indisi nolga teng, agar ularning har biri nolga teng bo'lsa. Shunday qilib ,  , A  , ya'ni  .
O t ichida e t:  .
P va m e  2. Tenglamani yechamiz

R e W e n va e. ketma-ket bizda:

Oldingi misolda bo'lgani kabi, biz trigonometrik tenglamalar tizimiga kelamiz

Положив  , biz tizimni olamiz

откуда находим 
T. e ni qaerdan topamiz.

Birinchi tizimdan 
biz quote _x0001_ ni ikkinchi QUOTE _x0001_ dan 
bu berilgan tenglamaning echimlari.
P  va m e p 3. Tenglamani yechamiz

Biz ba'zi o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Положив  , biz tenglamani olamiz

biz buni quote _x0001_ ga nisbatan kvadrat sifatida ko'rib chiqamiz  . Bizda:

Bundan kelib chiqadiki,  . Boshqa tomondan ,  , то делаем вывод, что  , и тогда  .
Natijada, oldingi misolda bo'lgani kabi, biz trigonometrik tenglamalar tizimiga kelamiz

Ushbu tizim ikkita tizimning yig'indisiga teng:

Birinchi tizimdan biz olamiz:
p e W e n va E. biz ba'zi o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Положим  . Keyin  va tenglama quyidagi shaklni oladi:

va keyin  , bu erda  .   va  bo'lgani uchun biz tizimni olamiz

qaerdan topamiz:  ya'ni 
Ushbu tizimni hal qilib, berilgan tenglamaning quyidagi echimlarini olamiz:

P r va me r 6. Tenglamani yechamiz

P e W e n va E. bizda ketma-ket:

Положнв  ga binoan (5) tenglamani quyidagicha yozamiz

T. e.

Рассмотрим функцию  chiqing . Bu erda  , ya'ni  . Shunday qilib,  .  quote _x0001_ funktsiyasining eng kichik qiymatini toping  .
Bizda  . Ko'rinib turibdiki, ko'rib chiqilayotgan segmentda  , ya'ni  va shuning  QUOTE _x0001_ ga  . Shunday qilib ,  , ya'ni (6) tenglamaning chap tomoni  . Shu bilan birga, (6) tenglamaning o'ng tomoni  . 3boshlaydi, (6) tenglamaning har bir qismi 7,5 ga teng, ya'ni. biz tenglamalar tizimiga kelamiz
откуда  yoki 
Из уравнения  quyidagilarni olamiz:

B natijada biz berilgan tenglamaning quyidagi echimlarini topamiz:

 r va m e r 7. Tenglamalar tizimini echish

Biz tizimning birinchi tenglamasining ba'zi o'zgarishlarini amalga oshiramiz:

 ,  . Ushbu tenglama tenglamalar tizimiga tengdir

Уравнение  tenglamalar to'plamiga qisqartiriladi:  yoki  . Birinchi holatda  , ikkinchi  . Shunday qilib, tizim (8) ikkita tizimning yig'indisiga teng:

Birinchi tizimdan 
T. e.

Va3 ikkinchi tizim 
qayerdan

yoki

Shartlar bilan belgilangan juftliklar (9), (10), (11) - tizim echimlari (8). Endi  , получаем решения системы  :

P r va m e r 8. Biz tengsizlikni hal qilamiz

P e W e n va e. tengsizlikni shaklga aylantirish

va ikkalasini ham quramiz. (aniqlash maydoni) va  (tengsizlik ma'nosida (13)) ni hisobga olgan holda uning qismlari kvadratga aylanadi. Tengsizlikka teng bo'lgan tengsizliklar tizimini olamiz (13):

Uchinchi tengsizlikdan biz ketma-ket olamiz:

Bundan, xususan,  . Tizimning ikkinchi tengsizligidan (14) kelib chiqadiki,  , biz faqat aniq xulosa chiqarishimiz kerak:  .
Shunday qilib, tizim (14) faqat  . Ushbu qiymat bilan tizim (14) quyidagi shaklni oladi:

bu bir vaqtning o'zida faqat  .
Shunday qilib,  _x0001_ tengsizlikning yagona yechimidir (12).
 r va m e r 9. Biz tengsizlikni hal qilamiz

P e W e n va E. quote _x0001_ funktsiyasi  faqat QUOTE _x0001_ uchun aniqlanganligi  , то  , ya'ni.

Так как  (16) ikki tomonlama tengsizlikdan quyidagicha

Quote _x0001_ oralig'ida  funktsiyasi  ortadi, ya'ni  , ya'ni .ushbu segmentda  , ya'ni  . Shu bilan birga , ta'rifi bo'yicha ya'ni.

Shunday qilib, tengsizlikning chap tomonida (15) ikkita manfiy bo'lmagan  va  . Shunday qilib, tengsizlik (15) faqat ko'rsatilgan iboralarning har biri nolga tushganda amalga oshirilishi mumkin: