8- §. Normalangan fazolarda chiziqli funksionallar
Download 138.25 Kb. Pdf ko'rish
|
8- ma'ruza. Funk.analiz
|
8- § . Normalangan fazolarda chiziqli funksionallar Biz bu paragrafda chiziqli funksionalning normasini saqlagan holda uni butun L fazogacha davom ettirish mumkinligi haqidagi Xan-Banax teoremasini isbotlaymiz, hamda funksional fazolarda chiziqli uzluksiz funksionallarning umumiy ko‘rinishidan foydalanib, asosiy funksional fazolarga qo‘shma fazolarni izomorfizm aniqligida topamiz. 8.1. Chiziqli funksionallar Agar operatorning qiymatlari sonlardan iborat bo‘lsa, bunday operator funksional deyiladi (24.1-ta’rifga qarang). Agar X chiziqli fazoda aniqlangan f funksional uchun quyidagi shartlar bajarilsa 1) f (x 1
2 ) = f (x
1 ) + f (x
2 ), ∀x
1 , x
2 ∈ X ; additivlik, 2) f (λx) = λf (x), ∀x ∈ X, ∀λ ∈ C , (yoki R), bir jinslilik f ga chiziqli funksional (24.2, 24.3-ta’riflarga qarang) deyiladi. 8.1-ta’rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday δ = δ(ε) > 0 mavjud bo‘lib, kx − x 0 k < δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x ∈ D(f ) lar uchun |f (x) − f (x 0 )| < ε tengsizlik bajarilsa, f funksional x = x 0 nuqtada
uzluksiz deyiladi. Agar f funksional ixtiyoriy x ∈ D(f ) nuqtada uzluksiz bo‘lsa, f uzluksiz funksional deyiladi. 8.1-ta’rifga teng kuchli bo‘lgan quyidagi ta’rifni keltiramiz. 8.2-ta’rif. Agar x 0 nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy x n ketma-ketlik uchun lim n→∞
|f (x n ) − f (x 0 )| = 0 bo‘lsa, u holda f funksional x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi. C − kompleks sonlar to‘plami ( R − haqiqiy sonlar to‘plami) Banax fazosi bo‘lganligi uchun 29-§ da chiziqli operatorlar uchun o‘rnatilgan teorema va tasdiqlar chiziqli funksionallar uchun ham o‘rinli bo‘ladi. 8.1-teorema. X chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli funksional biror x
0 ∈ X nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda bu chiziqli funksional butun X 1
fazoda uzluksiz. 8.2-teorema. X chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli f funksional uzluksiz bo‘lishi uchun uning chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli. Xuddi chiziqli operatorlardagidek |f (x)| ≤ M kxk tengsizlikni qanoatlantiruvchi M sonlarning aniq quyi chegarasi f funksionalning normasi deyiladi va kf k bilan belgilanadi. Shunday qilib, |f (x)| ≤ kf k · kxk . Bundan tashqari, chiziqli chegaralangan funksionalning normasi kf k uchun quyidagi tenglik o‘rinli: kf k = sup kxk=1 |f (x)| = sup x6=0 |f (x)|
kxk . (8.1) 8.3-teorema (Xan-Banax). E kompleks chiziqli normalangan fazo, E 0 − E ning qism fazosi va f 0 − E 0 da aniqlangan chiziqli uzluksiz funksional bo‘lsin. U holda f 0 ni normasini saqlagan holda E da aniqlangan f chiziqli funksionalgacha davom ettirish mumkin, ya’ni f (x) = f 0 (x), x ∈ E 0 va kf k
E = kf
0 k E 0 shartlarni qanoatlantiruvchi f : E → C chiziqli funksional mavjud. Isbot. Aytaylik, kf 0 k E 0 = K bo‘lsin. Norma aksiomalaridan bevosita kelib chiqadiki, barcha x ∈ E larda p(x) = K kxk tenglik bilan aniqlanuvchi akslantirish qavariq funksional bo‘ladi. Bundan tashqari ixtiyoriy x ∈ E 0 uchun
| f 0 (x) | ≤ kf 0 k E 0 · kxk = K · kxk = p(x) tengsizlik o‘rinli. Shunday ekan, f 0 25.3-teorema shartlarini qanoatlantiradi. U holda E da aniqlangan shunday f chiziqli funksional mavjudki, quyidagilar bajariladi: f (x) = f 0 (x), ∀x ∈ E 0 , |f (x) | ≤ p(x) = kf 0 k · kxk , ∀x ∈ E. 2
Bu yerdan f ning chegaralanganligi va k f k ≤ k f 0 k tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan, k f k
E = sup x∈E, x6=θ |f (x)|
k x k ≥ sup x∈E 0 , x6=θ |f (x)| k x k
= k f 0 k E 0 . Demak, k f k E = k f 0 k E 0 . ∆ 8.1-natija. X chiziqli normalangan fazo va x 0 6= θ undagi ixtiyoriy belgilangan element bo‘lsin. U holda butun X da aniqlangan shunday f chiziqli funksional mavjudki, k f k = 1, f (x 0 ) = kx 0 k (8.2) tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Isbot. f funksionalni bir o‘lchamli X 0 = {αx
0 } qism fazoda quyidagicha aniqlaymiz: f 0 (αx 0 ) = α kx
0 k . Ko‘rinib turibdiki, f (x 0
0 k , |f
0 (x)| = | α | k x 0 k = k x k , x = α x 0 Bu yerdan kf 0 k
0 = 1. f
0 funksionalni butun X gacha chiziqli davom ettiramiz. Hosil bo‘lgan funksional (8.2) shartlarni qanoatlantiruvchi funksional bo‘ladi.
∆ 8.2. Qo‘shma fazolar Chiziqli funksionallarning umumiy ko‘rinishidan foydalanib, qo‘shma fazoni ayrim hollarda izomorfizm aniqligida topish mumkin. 8.3-ta’rif. X normalangan fazoda aniqlangan, chiziqli uzluksiz funksional- lar fazosi X ga qo‘shma fazo deyiladi va X ∗ bilan belgilanadi, ya’ni X ∗ = L(X, C). Bundan keyingi 31-§ da ya’ni chiziqli uzluksiz operatorlar fazosi mavzusida biz Y to‘la fazo bo‘lgan holda L(X, Y ) fazoning Banax fazosi bo‘lishini isbotlaymiz. Shunga ko‘ra (31.1-natijaga qarang) X chiziqli normalangan fazoga qo‘shma bo‘lgan X ∗ = L(X, C) fazo Banax fazosi boladi. Chunki, kompleks sonlar to‘plami C = Y to‘la normalangan fazo. Qo‘shma fazolarni 3
o‘rganishni eng sodda holdan, yani X fazo n o‘lchamli (haqiqiy yoki compleks) chiziqli fazo bo‘lgan holdan boshlaymiz. Endi f funksional uchun olingan natijalarni jamlab, quyidagi F.Riss teoremasini keltiramiz. 8.4-teorema. C[a, b] fazoda berilgan ixtiyoriy f chiziqli uzluksiz funksional uchun shu f funksional bo‘yicha aniqlanuvchi shunday u ∈ V 0 [a, b] o‘zgarishi chegaralangan funksiya mavjudki, barcha x ∈ C[a, b] larda (8.17) va (8.19) tengliklar o‘rinli. Ko‘rsatish mumkinki [1], har bir o‘zgarishi chegaralangan u ∈ V 0 [a, b] funksiya (8.17) tenglik yordamida yagona f ∈ C ∗ [a, b] funksionalni aniqlaydi. Shuning uchun, C ∗ [a, b] dagi chiziqli funksionallar bilan V 0 [a, b] o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosining elementlari o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud. Bundan tashqari k f k = k u k bo‘lgani uchun, bu moslik izomorfdir, ya’ni C ∗ [a, b] = V 0 [a, b] .
4 Download 138.25 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|