9-маъруза Даражали қаторнинг текис яқинлашиши. Даражали қаторнинг хоссалари

 

9-маъруза  

Даражали қаторнинг текис яқинлашиши. Даражали қаторнинг 

хоссалари 

 

1

0

. Даражали қаторнинг текис яқинлашиши. Айтайлик, ушбу 

...

...



















n

n

n

n

n

x

a

x

a

x

a

a

x

a

2

2

1

0

0

                

(1) 

даражали қаторнинг яқинлашиш радиуси 

0



r

бўлсин. 

1-теорема.  (1)  даражали  қатор 





r

r ,

]

,

[









  да  текис  яқинлашувчи 

бўлади, бунда 

R

R









,

. 

◄  Равшанки,  (1)  даражали  қатор 





r

r ,



  да  абсолют  яқинлашувчи 

бўлади. 

Айтайлик, 





r

,

0





 бўлсин. Унда 

0





n

 ва 

]

,

[











x

 да  

n

n

n

n

a

x

a





 

бўлганлиги  учун,  Вейерштрасс  аломатига  кўра  (1)  қатор 

]

,

[







  да  текис 

яқинлашувчи бўлади. ► 

Демак, 







0

n

n

n

x

a

  даражали  қаторнинг  яқинлашиш  радиуси 

0



r

  бўлса, 

юқорида келтирилган теоремага кўра бу қатор 





r

r

c

c

,

]

,

[







 да 





0



c

 текис 

яқинлашувчи  бўлади.  Бунда 

c

  сонни 

r

  сонга  ҳар  қанча  яқин  қилиб  олиш 

мумкин  бўлсада,  қатор 





r

r ,



  да  текис  яқинлашмасдан  қолиши  мумкин. 

Масалан, ушбу  

...

...



















n

n

n

x

x

x

x

2

0

1

 

даражали  қаторнинг  яқинлашиш  радиуси 

1



r

,  бироқ  қатор 





1

1,



  да  текис 

яқинлашувчи эмас.  

2

0

.  Даражали  қаторнинг  хоссалари.  Маълумки,  даражали  қаторлар 

функционал  қаторларнинг  хусусий  ҳоли.  Бинобарин,  улар  текис 

яқинлашувчи функционал қаторлар-нинг хоссалари каби хоссаларга эга. 

2-теорема. Агар  

...

...



















n

n

n

n

n

x

a

x

a

x

a

a

x

a

2

2

1

0

0

 

даражали қаторнинг яқинлашиш радиуси 

0



r

 бўлиб, йиғиндиси 

 









0

n

n

n

x

a

x

S

 

бўлса, 

 

x

S

 функция 





r

r ,



 да узлуксиз бўлади. 

◄  Равшанки,  қаралаётган  даражали  қатор 





r

r ,



  да  яқинлашувчи 

бўлади. 

Айтайлик, 





r

r

x

,





0

 бўлсин. Ушбу  

r

c

x





0

 

тенгсизликни  қаноатлантирувчи 

c

  сонини  олайлик.  Унда  даражали  қатор 

]

,

[

c

c



  да  текис  яқинлашувчи  бўлади.  Текис  яқинлашувчи  функционал 

қаторнинг  хоссасига  кўра 







0

n

n

n

x

a

  даражали  қаторнинг  йиғиндиси 

 

x

S

 

функция 

]

,

[

c

c



 да узлуксиз, жумладан 

0

x

 нуқтада узлуксиз. ► 

3-теорема.  Айтайлик,  даражали  қаторнинг  яқинлашиш  радиуси 

0



r

 

бўлиб, йиғиндиси 

 

x

S

 бўлсин: 

 









0

n

n

n

x

a

x

S

. 

Бу қаторни 





r

r ,



 га тегишли бўлган ихтиёрий 

]

,

[

b

a

 бўйича 









r

r

b

a

,

]

,

[





 

ҳадлаб интеграллаш мумкин: 

 

 

























0

n

b

a

n

n

b

a

dx

x

a

dx

x

S

. 

Хусусан, 





r

r

x

,







 учун 

                              

 















0

1

0

1

n

n

n

x

x

n

a

dt

t

S

                               (2) 

бўлади. 

◄  Равшанки,  даражали  қатор 

]

,

[

b

a

  да 









r

r

b

a

,

]

,

[





  текис 

яқинлашувчи  бўлади.  Текис  яқинлашувчи  функционал  қаторнинг  хоссасига 

кўра  уни  ҳадлаб  интеграллаш  мумкин.  Айни  пайтда,  (2)  қаторнинг 

яқинлашиш  радиуси 

r

  га  тенг  бўлади.  Ҳақиқатан  ҳам  Коши-Адамар 

теоремасига кўра  

r

a

n

a

n

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n























lim

1

lim

1

lim

 

бўлади. ► 

Натижа.  Айтайлик, 







0

n

n

n

x

a

  даражали  қатор  берилган  бўлиб,  унинг 

яқинлашиш  радиуси 

0



r

  бўлсин.  Бу  қаторни 

]

,

[

x

0

  бўйича 









r

r

x

,







 

ихтиёрий  марта  ҳадлаб  интеграллаш  мумкин.  Интеграллаш  натижасида 

ҳосил бўлган даражали қаторнинг яқинлашиш радиуси ҳам 

r

 га тенг бўлади. 

 

3-теорема. Фараз қилайлик, 

...

...



















n

n

n

n

n

x

a

x

a

x

a

a

x

a

2

2

1

0

0

 

даражали қаторнинг яқинлашиш радиуси 

0



r

, йиғиндиси 

 

x

S

 бўлсин: 

 

x

S

x

a

n

n

n









0

. 

У ҳолда 

 

x

S

 функция 





r

r ,



 да узлуксиз 

 

x

S '

 ҳосилага эга ва 

                          

 











0

1

n

n

n

x

na

x

S '

                             

(3) 

бўлади, бунда (3) қаторнинг яқинлашиш радиуси ҳам 

r

 га тенг. 

◄  Берилган  даражали  қатор 

]

,

[

c

c



  да 





r

c





0

  текис  яқинлашувчи 

бўлади. Текис яқинлашувчи функционал қатор-нинг хоссасига кўра даражали 

қаторни ҳадлаб дифферен-циаллаш мумкин. Демак, 





r

r

x

,







 да 

 























1

1

0

n

n

n

n

n

n

x

na

x

a

x

S

'

'

. 

Бу  даражали  қаторнинг  яқинлашиш  радиуси  ҳам 

r

  га  тенг  бўлиши 

қуйидаги муносабатдан келиб чиқади: 





n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

na



















lim

lim

lim

.► 

Натижа.  Айтайлик, 







0

n

n

n

x

a

  даражали  қатор  берилган  бўлиб,  унинг 

яқинлашиш  радиуси 

0



r

  бўлсин.  Бу  қаторни 





r

r ,



  да  ихтиёрий  марта 

ҳадлаб  дифференциаллаш  мумкин.  Дифференциаллаш  натижасида  ҳосил 

бўлган даражали қаторнинг яқинлашиш радиуси ҳам 

r

 га тенг бўлади. 

4-теорема. Айтайлик,  

...

...



















n

n

n

n

n

x

a

x

a

x

a

a

x

a

2

2

1

0

0

 

даражали қаторнинг яқинлашиш радиуси 

0



r

, йиғиндиси 

 

x

S

 бўлсин:  

                     

 

x

S

x

a

n

n

n









0

 

. 

                             (4) 

У ҳолда 

0





n

 да  

 

 

!

n

S

a

n

n

0



 

бўлади. 

 

◄(4) муносабатда 

0



x

 деб топамиз: 

 

0

0

S

a



. 

(4) қаторни ҳадлаб дифференциаллаймиз: 

 



















0

1

0

n

n

n

n

n

n

x

na

x

a

x

S

)'

(

'

. 

Бу тенгликда 

0



x

 дейилса 

 

0

1

'

S

a



 

бўлиши келиб чиқади. Шу жараённи давом эттирабориб 

 

 





,...

,

!

3

2

0





n

n

S

a

n

n

 

бўлишини топамиз. ► 

1-мисол. Ушбу 

...

...



















n

n

n

nx

x

x

x

nx

3

2

1

3

2

 

даражали қатор йиғиндиси топилсин. 

◄Маълумки,  







1

n

n

x

 

даражали қатор 





1

1,



 да яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси 

x

x



1

 га тенг: 

x

x

x

n

n











1

1

. 

Бу қаторни ҳадлаб дифференциаллаб топамиз: 



































x

x

dx

d

x

dx

d

n

n

1

1

,  





2

1

1

1

1

x

nx

n

n













. 

Кейинги тенгликнинг ҳар икки томонини 

x

 га кўпайтирсак, унда  















1

2

1

n

n

x

x

nx

 

бўлиши келиб чиқади. ► 

2-мисол. Ушбу 

 





















0

1

1

ln

1

1

n

n

n

x

x

n

 

тенгликнинг тўғрилиги исботлансин. 

 

 

◄Равшанки,  







0

n

n

x

 

даражали қатор 





1

1,



 да яқинлашувчи бўлиб, унинг йиғиндиси 

x



1

1

 га тенг: 

x

x

n

n











1

1

0

. 

Бу тенгликда 

x

 ни 

x



 га алмаштирсак, натижада 

 

x

x

n

n

n













1

1

1

0

 

тенглик ҳосил бўлади. Уни 

]

,

[

x

0

 бўйича 





1

0





x

 интеграллаб топамиз: 







 











x

x

n

n

n

t

dt

dt

t

0

0

0

1

1

, 

 





x

n

x

n

n

t

dt

t

0

0

0

1

ln

1















 

 





















0

1

1

ln

1

1

n

n

n

x

n

x

. 

3-мисол. Ушбу 

 













0

1

2

1

2

1

n

n

n

x

n

 

даражали қатор йиғиндиси топилсин ва ундан фойдаланиб 

 

4

1

2

1

0















n

n

n

 

бўлиши кўрсатилсин. 

◄Маълумки, 





1

1

1

1

0

















x

x

x

n

n

. 

Бу  тенгликда 

x

  ни 

2

x



  га  алмаштирамиз.  Натижада 

 













0

2

2

1

1

1

n

n

n

x

x

 

ҳосил бўлади. Уни 

]

,

0

[

x

 бўйича 





1

0





x

 интеграллаб топамиз: 

 



 























x

x

n

n

n

t

dt

dt

t

0

2

0

0

2

1

1

, 

 

x

n

x

n

n

t

arctg

dt

t

0

0

0

2

1













, 

 















0

1

2

1

2

1

n

n

n

arctgx

n

x

. 

Кейинги тенгликда 

1



x

 дейлик. Унда тенгликнинг чап томони 

 











0

1

2

1

n

n

n

 

сонли  қаторга  айланиб,  у  Лейбниц  теоремасига  кўра,  яқин-лашувчи  бўлади. 

Демак, 





4

1

arctg

1

2

1

0

















n

n

n

. ► 

 

Машқлар 

 

1. Ҳадлаб дифференциаллаш билан ушбу 

...

!

4

!

2

1

4

2







x

x

 

даражали қаторнинг йиғиндиси топилсин. 

2. Ҳадлаб интеграллаш билан ушбу 

...

16

9

4

4

3

2









x

x

x

x

 

даражали қаторнинг йиғиндиси топилсин.