A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet10/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   39

16 
4
5.36. -  
- c h i  + -s/z(4x + 8) 4  С 
5.37. 
In 
rg-
+ C.
5 . 3 8 . - _ ^  
+ 1 | n t g -   + c . 
5 .3 9 ,-
2 sin  
2 
2
cos x 


1

-----—ctgx + С  =
3sin  x 
2
ctg'x
- ctgx + C.
с   
cosx 
3  cosx 
3, 
x
5.40 
.  
------------- — + - l n  l g -   + C.
4sin  x 
8 s i n ‘ x 

2
1
 
2
5 .4 1 .
- y  ctg5x - —cig,x -  cigx+ c .  
5.42. 
in
-  
Л 1
 
sinx 
1  , 
( л  
x
5 .4 3 .----- — + -ln/g  —+ -
2cos~x 

V4 
2 )  
3cos  x 
3
c   . c  
sinx 
3  sinx 
3. 
. . .  
..  ,
5 .4 5 .------— +------ -— i— In fgj —+ — 
| +c.
4 cos  x 
8  cos'x
+ C.
.   £  i i   sini 

1  ,

C. 
5 .4 4 .
------ -
— + 
— tgx + C  = —tg  x+ tgx + C.
,  л  
x 
«
1
Г
2
1
- i
5
c  
sinx 
4
, 4
 


i  
,
5 .4 6   .  
:— 
+ —l g   x + —tgx = —t g
  x 4— 
t g   x + tgx + C.
5 co s'x 



3
-  
ЛП 
cl 
IX 
1  , 
X
5.47 
.  
--------In tv -
2sh-x 

'  2
+ c . 
5 .4 8 .—  
cth1 x + ctkx + С . 
3
5.49. 
+ —arctg(shx) C. 
5.50
. - - t h ' x  + thx + C. 
ch'x 

3
5.51. —
ch2x -
 
In chx + C. 
5.52. 
— sin x + In 
2
5.53 
. —cos3 x-ln|cosx|j + C. 
5 .5 4 .
- s i n 3 x - s i n x + l r
+ C
'S
n  
X

2
+ C.
5.55. —— + 
c . 
5.56. 
t g x -  x + c. 
5.57 . 
COS 
X
 + -
-+c.


!
5.58. 
(gx + — sinx cosx —  x + C. 
5 .5 9 .— 
—-— + Inlcosxl + C. 



2 cos  x 

1
5 . 6 0 . - - U -   1
cosx 
3cos’ x
+ c . 
5.61 .cosx + ln
+ c 5 . 6 2 . ^ ^  + in| sin xj + C.
1
5.63 . 
-  
cos’ 

+
 
C O S X +   In  
3
+ C.  5 .6 4
. - c l g x + x  + C. 
5 .6 5 .- s in x -------
+ c.
sinx
5 .6 6 . -  
c t g x   0,5 
sin 
x
 cos 

-1,5
+ C. 
5 .6 7 . -
1
2sin" 
x
-ln|sinx| + C.
5 .6 8 .—--------
K -  + c -
  5 . 6 9 .
c t g ' x  + c t g x  + x + C. 
5 .7 0 . 
slix -  a r c t g ( s h x )  + C.
sinx  3sin  x
 
3
5 .7 1 . i  
c h ‘ x - Inc/ix + 
C.  5 .7 2 .1 
s h ' x -  shx
 
a r c t g ( s l i x ) + C. 
5 .7 3 . 
x - t h x  + C.
5 .7 4 . -  —x + — 
s h 2 x
 + 
thx + C. 
5 .7 5 . 

+ —a r c t g ( s h x )  + C.
2
 

2c h 2x 

'
5 .7 6 . — — н---- + C.  5 .7 7 . -  -f/i5x -  
thx + x + C.
c h x  
3 ch   x
 
3
73

5 .7 8 .j,л’х+с.5.79 . 
chx + in th- + С.  5 . 8 0 .  }-cft2x + ln[^/ixj + c .
t l i - + C . 5 . 8 2  . — c/r’ .v + ln|stor| + C. 5 . 8 3 .  x -  ctlix + C.
5 .8 1  
. —ch'x ch x + \n 
5 .8 4 . 
shx -  ~
 + C. 
5 .8 5 . 
~ x  + ~ sh 2x -  ctlix + C. 
5 .8 6 . 
-  ~cth2x +1 n|i/ix| + C.
5 . 8 1 .  chx

~ —  — In 
r/?- 
7sh~x 
2
+ .v + C.  5 .8 8 . —
cth'x -  ctlix + x + C. 
3
5 .8 9 . - i  
ctlvx  + 
C.  5 .9 0 . -  x - — sin 4,r + C.

32
3
Д с  =
 - ’
3'
5 .9 1 .1  
sin3 x - 2 s i n '  x + C. 
5 .9 2 , 
— + — sin 2x-

16 
64
5 .9 3 . 
i s i n 4 x 
+ C.5 .9 4 .
- c o s 5 x - ^ c o s 3 x + 
C.


3
5 .9 5 . 
cos5x- 3 cos2x) + C.  5 .9 6 . 
'T + C.
— sin4x------ sin6x + C.
64 
192
64l3

 
1
 
1
  . 
1
 
1
Э.У /. —x —— sm2x-----sin4x + — sin6x + C.
16 
64 
64 
192
5 .9 8 .- s in 3 x( ^- + 2 Cos3x -c o s4 x ) + C ,5 .9 9 .— X— — sin4x + —-—sin8x + C.
1 5 
5
128 
128'
1024'
5 .1 0 0 .- j ^ + c . 5 .1 0 1 .- ^  + l-i/;4x+ c. 5.102. ji/ j3xc/i:x + li/ 7 3x+c.
5 .1 0 3 .  - i - x  —
—s h 2 x
 + 
- —s li4 x  + - ! —s h  6x
 + C.
16 
64 
64 
192
5 .1 0 4 .
 
2.sA3x 
ch 'x— ?-c/i3x + 
C .5 .1 0 5 . 
— shc’x + —sit2x = —chr' x - —ch*x+C 

15 



4
5 .1 0 6 . 
- s h 2x - ~
i/i3xc-/?5x + c .5 .1 0 7 .  —
35
-j/i4x + ------ sh8x + C.
128 
128 
1024
5 .1 0 8 . ln|fgx| + c. 5 .1 0 9 . - L .  + In 
tg
 £| + c.  5 . 1 1 0 ___ i _  + In!Ы  + с.
ms г 

2 co s 'x
5 .1 1 1 .- 2 — + — L _  + |n
cosx
X
cosx  3cos’ x
t g -
+c.
5 .1 1 2 . In
tg
Я 
X
---
1
--

2
]_
sinx
+ C.  5 .1 1 3 . 
- 2 c t g 2 x  + C.
5 .1 1 4 . 
Г-- ^ - - -

3 ,  
н— In
v
2
cos2,y 
2
)
 sinx- 
2
rg

X
-- 1--
4  2
+ c. 
5 .115 .
5 .1 1 6 . -  — Ц—+ln|fgx|+
c .
 5 .117 . — — Г— L—  2) + 2 in
2sin" x 
cosjc\ 2 sin- 
2 
2
3sin 
x
cos3 .r  3 
x
— ctg2x + C
5.118.-2£ 252£ +21
п
Ы +
с
. 5 .1 1 9
sin* 2x
5 . 1 2 0 . - - --------—---- ^<.vg2x + C .5 .1 2 1 .-8 c fg 2 x -- c ,g ’ 2x + C.
3cosxsin 


3
cosx I, 2s irr x 
2
_ 1
_____
1
sinx  3sin
‘S:
тг,пКИ)
+c.
74

5 .1 2 4 .
— + In ig £  + C. 
5.125. -  
X
- i h : x ь Щ + с .
chx 
2 
5 . 1 2 6 .- j -  + _ L -  + ln
sinx 
3sinJ x 
2cos2  x 
2
+c. 
5 . 1 2 3 .  in|(/ix)+c.

x 
t h -
+ £  5 .1 2 7 — -—
arctg(shx)+C 
5.128. 
— 2cth2x + C. 
shx
chx_ _ ± lathi] 
2
+ C.
'chx 
hch‘ x
5.12 9 . -  
^ c t h 2x +
 
ln|c/Ax( 

С 
.5.130. 
2
5.131.w /!:x -i^ A 2x-2ln|r/Lv| + 
C. 
5.132.  ^ - 3 ^  + arc'g^
 + C- 
5.133.
+  ^  - + —arctg(shx) + C.
shx 
Ish'x 
Ich'x 
2
5.134. 
8 c / / r 2 x - | c rt’ 2 *  + C. 
5.135.  iln
x  л 
«
2 + 2
5.137. jarc(g|
tg1.
+C. 
5.138. 
—arctg
X
>
 —"
12

-’O
+ C .
5.13 6 . 
ia/cfg
« 2
3

/
\
+ 5
+ C.
+ C.
5.139.  iln
4
3 « |  + 1
3(g i  + 9
+C.5.140 . i  arctg
5 + f g ^  + 3
I
+ C.
5 .14 1.
•Ja
2
 -b~tg^-
sla2  - b 2 
1
arctg-
■Jb  - a '
In
a + b 
x 
’ 2
•Jb2  - a  
t g ? -  + 


b
2  +C,  a 2  > b7,
+ C ,a 2  < i 2
5.142.
afg^ + й 
= a rc tg — 
— + C,  a '  >b~,
—arcig
  .  ;  - 
Va‘ -
6

va
1
_ In
atg ^  + b — xb~  — a 2
5.143.-
+ C , a :  > fc2.
x
'g- +3
-  + C.
7
5.144. 
- ==arctg 
VT5
l + 2rg;
5 .1 4 6 .
2r g^ 

31n
Vis
2
 * 
1 
'g  -  + ■
2
+ C. 
5.145. 
a r c t g
S
_  X   .
V
+c.
- 4arc/g —

 + C. 5.147. — In
2 « f  + 3
+ C.
75

5 . 1 4 8 .
5.149.
-I n
5
Ю


1 
2
 + 
2
л: 
I
+ C.

[a -b ) lg ~  + c
1   ■>
 
L i 
a r c t g  —— 
2  
.. .  a :   >  
+ c 2 
Va'  +*  - c -  
V a ’  - 6 2  - c 2
I
л/b 1  + c ‘  — a 2 2
In
( a - b j t g ^  + c - y f b 2"
be2 - a 2
( a - 6 ) l  + c + f b 2  + c 2 - a 2
,o
2  < 6 2  + c 2
a + - 2
c + ( a -
6
)rg^
.  a = b
,  a 2  = b 2  + c 2
7 6

II  bob.  ANIQ IN TEGRAL
6-§.  Aniq  integralning  ta’ rifla ri
6.1. 
Rim an  integrali./(x)  funksiya 
[a,b]
  kesm ada  aniqlangan 
bo‘ lsin. 
[a,b]
 
kesmaning 
a = x
0

2
<...
 
shartni 
qanoatlantiradigan  chekli  sondagi 
{xk}"ksl
  nuqtalar  sistem asiga  [
a,b] 
kesm aning 
bo'linishi
  deyiladi  v a  u  P = {**}*=,  kabi  belgilanadi. 
xt (k =
 l,«) 
nuqta 
P 
b o'linishning  bo‘ luvchi 
nuqtasi 
kesm a  esa, 
qism
oralig'i
  deyiladi.  A g ar 
[a,b]
  kesmaning  ixtiyoriy 
P 
bo‘ linishidagi 
qism  o ra lig 'in in g   uzunliklari  bir  xil  bo'lsa,  u  holda,  bunday  bo'linish, 
[a, 
b\
 
kesm aning 
regular 
bo'linishi
 
deyiladi.


d(P )=  
max Дг,  (дг*  = x
,.+1
 
-х к), 
P 
bo'linishning 
diametri,
  deb  ataladi.
Har bir  [.vt , 
1
  kesmadan  (a = o,« -
1
)  Vbct  nuqtani  olamiz: 
xt <£k 
6 .1-ta ’ rif.  Ushbu
и
) =«т,  
(/
, { a . i
) = 2
 ж  к  
( 6
 • i )
k=0
y ig 'in d ig a , 
f{x)
  funksiyaning, 
p
  b o 'lin ish ga  va 
nuqtani  tanlashga 
mos  kelgan, 
integral yig'indisi (Riman yig'indisi)
  deb ataladi.
6.2-ta’ rif.  A gar 
V s
> 0
  olinganda  ham,  shunday  £ о  mavjud 
bo‘ lib,  diametri 
d(p)
  boMgan  [a ,
b]
  kesm aning  har  qanday 
P 
boMinishida, 
hamda 
\/гк 
(xk  <£k 

xkJ  
nuqtani 
tanlashga 
bogMiq 
boMmagan  holda,
(6.2)
tengsizlik  bajarilsa,  u  holda,  shu 
J
  son, 
integralyig'indining limiti 
deyiladi  v a u 
J  =  \\m  
 
kabi yoziladi.
6.3- 
ta’ rif.  A gar 
f(x)
  fun ksiya  uchun,  (6.1)  integral  yigMndining 
,/(/*)-»(>  da 
J
  limiti  mavjud boMsa,  u holda, 
f(x)
  funksiya 
[a,b]
  kesm ada 
Riman т а  ’nosida integrallanuvchi
 deyiladi.
Integral  yigMndining 
J
  lim itiga 
f(x)
  funksiyadan 
[a,b]
  kesma 
b o 'yich a olingan 
aniq integral (Riman т а  ’nosida)
  deyiladi v a  u
77

\f{x)dx = J
 
(6.3)
a
simvol  orqali  belgilanadi  (6 .3 )  da,  / -   integral  ostidagi  funksiya, 
a
  s o n -  
integralning  quyi  chegarasi, 
ь
  son  esa,  integralning  yuqori  chegarasi, 
deb  ataladi.  Integral  ostidagi 
x
  o ‘ zgaruvchini  boshqa  o ‘ zgaruvchiga 
almashtirish  ham  mumkin, y a ’ ni
[f(x)dx
 = 

\f(:)d:
a  
о  
a
va  h.k..

h
o
T a ’ rif bo 'yich a,  J
f{ x ) ix  = 0, 
j
f(x)dx  = -  
J
f(x)dx 

a < b  
deb olamiz).

a
h
6.1-misol.  /(;
x) = x
 
fu n ksiya  ixtiyoriy 
[a,b]
 
kesmada  Riman 
m a ’ nosida  integrallanuvchi  ekanligini  ko'rsating.
Y e ch ilish i.  fa.
6
]  kesm aning 
\/p = {xk}"^
 
bo‘ linishini  olamiz. 
Natijada 
\a.b]
  kesma  [x0, *,],[*,, x2]....l v - i - * J   boMaklarga  bo'linadi  va
£,
 
fa   el-v,_,,x,]), ( = 
deb  b elgilaym iz. 
r
  boMinishga  mos
kelgan  integral  y i g ‘ indini  tuzamiz:
-Л /)= ст г (1Л4,\)=±
 / f a  К   = 
t
 
)= t  
=
=
 |f(*f -  
x 0
)+ Й  -  
x \
  )+ ••  + Й  -  *»-i )| = 
\ { x l   -  x o ) =  \k> 2
 -  a 2)-
Bundan  lim 
(TpU) =
 - ----— = 
[xdx.
0
 

J
b~  -  a 
'd(py+o~'
 
2
Demak,  /(.
x) = x
  funksiya  ixtiyoriy 
[a.b\
  kesmada  Rim an  m a ’ nosida 
integrallanuvchi  ekan.
Aniq  integralning  ta ’ rifidan,  har  qanday  Rim an  m a ’ nosida 
integrallanuvchi  funksiya  chegaralangan  boMishiga  ishonch  hosil  qilish 
qivin  em as,  lekin  har  qanday  chegaralangan  funksiya  har  doim  ham 
integrallanuvchi  boMavermaydi.
6.2  -  misol.  Ushbu
,  , 
11.  x  ratsional  son 
bo'\g,anda.
D(x j --- ■!
[
0
,  ,r 
irratsional son bo'Xganda 
Dirixle 
lunksiyasi 
[a,i]c/f  («<*) 
kesm ada 
Rim an 
m a ’nosida 
integrallanuvchi  em asligini k o ‘ rsating.
Y e c h ilis h i.  [a ,
6
]  kesm aning  VP  bo‘ linishini  olib,  quyidagi
7 8

<тДд{бЛ) = £ о & .)Д х *. 
к*
 1
aP(D\{n
 t b X D f c K
k=l
y ig 'in d ila m i  tuzamiz. 
£k
 e [xt.,, л-,.]  nuqta  sifatida 
kesmadagi
ixtiyoriy  rasional  nuqtani, 
i;t
  sifatida  esa  (//t e[xt_,,xt ]),  shu  kesmadagi 
ixtiyoriy  irrasional  nuqtani  olamiz.  U  holda, 
D(gk) = i,
 D(//( ) = obo'ladi. 
Shuning uchun,
= 6 - a ,   a  ,.{D; {//t }) = 0
k=\
Demak, 
b - a *
 
0
  uchun  Dirixle  funksiyasining  integral  yig 'in d is i,
6.2-ta’ rifga  binoan,  lim itga  eg a emas.  Shuning uchun,  Dirixle  funksiyasi 
\a,b\
  kesm ada  integrallanuvchi  emas.
6.3-m isol.  Ushbu
^  ^  j.r,  x  ratsional  son  bo'lganda,
{ - * ,   x  inatsional  son  bo'lganda
funksiyaning  [a,
6
] e «   (
a
)  kesmada  Riman  m a ’ nosida  integrallanuvchi 
em asligini  ko'rsating.
Y e ch ilis h i.  p -  
J = 
[a,b] 
kesm aning  ixtiyoriy  bo'linishi  bo'lsin.  Unda 
 

[a, b] 
kesm a 
J UJ 7,...,J„  
kesm alarga  bo'linadi.  & е[дг*_,, 
xk ] 

J k 
nuqta 
sifatida, 
kesmadagi  ixtiyoriy  rasional  nuqtani, 
efo.,,*,.])
sifatida esa,  shu kesm adagi  ixtiyoriy  irrasional  nuqtani  olamiz.  U  holda,
«*/»(/; {f*}) ■
=
 Z  /fe) •
 
a
»* = Z  & ' 
a
** •
A-l 
A
=1
(/■;{'/*})=Z  
)
а
г* = Z  
) •
 A** 
k=\ 
k
-1
y ig 'in d ila m i  tuzamiz.  Bunda  <
t
,,(/;{&})  y ig 'in d i  /,(*) = *  funksiya  uchun
integral y ig 'in d i  bo'ladi  va  u 
6
.
1
-m isolga asosan,

2
 _ 
2
  *
Iim 
(Tp(f :
  j£k }) = 
— ~
 =
 {
xdx.
d(ry*o 
2
 
J
bo'ladi. 

  y ig 'in d i 
esa,  /2(*) = -*  funksiya  uchun  integral 
y ig 'in d i  bo'lib,
lim  p(f\  {nk }) = - b 
--  = -jx d x . 
о 
2
 
J
bo'ladi.  Shunday  qilib,  berilgan  integral  y ig 'in d i  yag o n a  lim itga  ega 
emas.
79

Demak,  berilgan  funksiya  [integrallanuvchi  emas.
6.4-m isol. 
[a,b
|  kesm ada  chegaralanm agan  funksiyaning  Rim an 
m a 'n o sid a  integrallanuvchi  em asligini  isbotlang.
Y e ch ilis h i. 
f(x )
  funksiya 
\a,b]
  k esm ad a  chegaralanm agan  boMsin. 
\a,b\
  kesmani  chekli 
/3
 = {xt }".,  nuqtalar  sistemasi  yordam ida  chekli 
sondagi 
.v, ]  k esm alarga  boMamiz,  u  holda, 
fix )
  funksiya  shu 
kesm alarning,  hech  b o lm a g a n d a ,  birida  chegaralanm agan  boMadi. 
U m um iylikn i 
buzm aslik 
uchun, 
f(x)
 
fu n ksiya 
[*„,*,] 
kesm ada 
chegaralanm agan 
boMsin, 
deb 
faraz 
qilamiz. 
Qolgan
[лг,.д:2] ,
[
х
2,
хъ
] , . . . ,
x„]
  kesm alardan 
Vnuqtalarni 
olib,
ularni  b elg ilay m iz  va ushbu
° > (/ ) = o -p (/ ,!^ } )=  f ( b : h r 2  + ... + /(c„)Ax„ 
yigMndini  tuzamiz.  Endi 
f(x)
  funksiyani  [jc
Katalog: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r

Download 9.01 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling