A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet14/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   39

2
 
I
-----  i
x'  vco sxd x^ —
I
 
24
tengsizlikni  isbotlang.
Y e c h ilis h i. 
f(x) = x2, g(x)=
 VcosI  deb  olsak,  (7.16) formulaga 
asosan,
^x
2
 -Vcosxalr:
0
bo'lishi  kelib chiqadi.
j x 2dx

cosdx = — 

7‘
24
A g ar 


  funksiyalar,  [я.
6
|  kesm ada  differensiallanuvchi 
bo'lib, 
xe[a,b]
  uchun, 
A<

  bo'lsa, 
f(x)
  esa, 
[A, B]
  kesmada 
uzluksiz bo'lsa, u holda
y(x)
F(x) =  J f{t)d t;  a  <  x < b 
*>(«)
funksiya 
[a,b]
  kesm ada differensiallanuvchi  bo'ladi va
105

4- 
{/(')* = 
ААх))  ч' (х)-/($>{*))■ <р {х)
 
(7.17)
гМ
formula o 'rinli.
7.14- misol.  Ushbu
r  dt
j, I + r
4
hosilani  hisoblang.
Y e c h ilis h i.  (7 .1 7 ) formulaga asosan,
 
*f 
d t 

;  

3 * ’ 
2x
- ■ 3 x ----;■■■ 
2.T = -
Л 7 7  

  ^+”7 '
7.15-m isol.  Ushbu
,  , 
fO,  *  e   [ o ;6 ] ,  -T  Ф с
,
8 . W 4  
,
[ Л ,  
JT  =   C
funksiya uchun,
b
J g c (jf)&  = 0
a
e k a n l ig i n i  isb o tlan g.
Isboti. 
[a,/yj  k e s m a n in g ,  /5 = {<...
= b
  }  b o 'lin is h in i 
o la m iz .  F a ra z   q i l a v l i k ,  с  nuqta,  q ism   k e s m a la r n in g   b ir id a   y o ts in ,  m isol 
uchun, 
с е [ х т ,х „ нЛ]
  b o 'ls in .  B e r ilg a n  
g c
(л)  f u n k s iy a n i n g  
P
  b o 'lin is h g a  
mos  k e l g a n   in tegral  y i g 'i n d i s i n i   tu z a m iz : 
£k
  deb,  q is m   k e s m a la r n in g  
ch ap   ch etk i  n u q talarin i  o la m iz :
V,(gc)=
*«0
q o lg a n   y i g ' i n d i l a r  n o lg a   teng.  S h a r tg a   k o 'r a ,
Ы Ф И
b o 'lg a n i  uchun,
K f e J  - 1 4 ^ - 1 + ^ ,J - 
b
B u n d an , 
lim  a r {g  ) = o, 
y a ' n i  
g<
 (x}lx = 
о  e k a n l ig i  k e lib  c h iq a d i.
7.16-m isoI.
 
A g a r  
/ (л -) 
f u n k s iy a  
[ a , b ]  
k e s m a d a   in t e g r a lla n u v c h i 
b o 'lib ,  u n in g   q iy m a t in i  biror 
ce[a\b\
  n u q tad a  o 'z g a r t ir s a k ,  n a tija d a , 
y a n g i   hosil  b o 'l g a n  
f { x )  
f u n k s iy a  
ham, 
[a. b\ 
kesmada 
in te g ra lla n u v c h i 
b o 'lis h in i 
va
\ l(x )d x  = \f(.x)dx 
te n g lik n in g   o 'r in li  e k a n lig in i  isbotlang.
106

/ (* )=  
w +
gc(Y) =
Yechilishi.  Shartga ko'ra,
\f(x\ 
x e [ a , b ] , x * c  bo'\ganda, 
[/(*)* f(x),  x = c   bo’\ganda.
Demak, /, 
(*)=/(*)+g<
 (x), bunda,
[
0

x e  [ a\b] , x*c   bo'Xganda, 
[/4,  x = c   bo'Xganda.
Aniq  integralning 4° - xossasiga,  hamda 7.15- misolga asosan,
f j  (x)dx = J  f(x)dx + 1 g c [x)dx = | f(x)dx.
7.2 
-  eslatma.  7.15-  v a  7.16-  m isollarga  asosan,  quyidagi  xulosani 
chiqarish  mumkin: 
f ( x )  
funksiyaning  integrallanuvchiligi,  uning  b a ’ zi 
berilgan  nuqtalardagi  qiym atlariga b o g‘ liq  boMmaydi.
M ustaqil yechish  uchun  m isollar
Q uyidagi 
funksiyalarning  berilgan  kesm ada  integrallanuvchi 
ekanligini  ko ‘ rsating:
о < x < 
1
 
bo'\ganda,
 
11

0
 < x < 
1
 
bo'\ganda,
7 .1.  /(*) = ■
 0, 
x = 0  bo'\ganda, 
7 .2 .
/(x) 
= j 0, 
1 < 
x
 < 2 
bo'\ganda,
- 1 ,  
x = l  bo'\ganda. 
[3, 
2 < x < 3  bo'Iganda.
7 3
 
f( x )  -  
j cos~’ ® < 
x -
 * 
bo'\gauda,
 
у   ^  / (^ )_ 
|^ +—, 
1
 S jr < 
2
  io'lga'irfa, 
( 2 ,  
x = 0  bo'iganda. 
[x, 
2 ^ x < 3   bo'iganda.
7.5.  A g ar 
/ (
a
)  
funksiya 
[a,b\
  kesm ada  integrallanuvchi  boMsa, 
uning shu kesm ada chegaralangan  ekanligini  isbotlang.
7.6. 
f ( x
)  funksiyaning  [« ,
6
]  kesmada  integrallanuvchi  boMishi 
uchun, 
\/e
> 0
  olinganda  ham,  shunday 
S = S(e
)> 0
  son  topilib,  [a,
6

kesmaning,  diametrlari 
dan  kichik  boMgan,  har  qanday 
P ,v

P2 
boMinishlarida
К  (/')-<’■<■,(/)|tengsizlikning bajarilishi zarur v a etarli  ekanligini  isbotlang.
7.7. 
[a,b] 
kesmada  har  qanday  chegaralangan  monoton  funksiya­
ning shu kesm ada integrallanuvchi ekanligini  isbotlang.
7.8.  A g a r  /(*)  va  g(.v)  funksiyalar 
[a, b]
  kesm ada uzluksiz,  /> = {**}£,, 
bu  kesm aning boMinishi,  £ 
e [ x w .  x,.], 
7
,  e[x,_,,  x,],  Дх,  =x, - x , . , ,   i = \2,...,kr 
boMsa,  u holda,
107

]_'т J ]  
f(£ ,
 )g(/;, 
\\x,
  = j  
f(x)g{x)dx
tenglik o'rinli  ekanligini  isbotlang.
7.9. 
A g ar 
/ ( .
y
)  
funksiya  [
0
; l]  kesm ada monoton  bo'lsa,  [
0
; i] 
kesm ada
ekanligini  isbotlang.
7.10. 
A g a r 
f(x)
  fu n ksiya 
[a,b\
  kesm ada  chegaralangan  va 
qavariqligi  yu q o riga  qaragan  (botiq)  bo'lsa,  u  holda uning shu  kesm ada 
integrallanuvchi  bo'lishi  va
tengsizlik  o'rinli  ekanligini  isbotlang.
7.11. 
A gar 
f(x)
  funksiya 
[a,
 ft]  kesm ada  Rim an  m a'n o sida 
integrallanuvchi  bo'lsa,  u  holda,
tenglik  o'rinli  ekanligini  isbotlang.
7.12. 
A g ar 
f ( x )  
funksiya 
[a ,
6

k esm ada 
integrallanuv­
chi, v.ve[a,ft]  lar 
uchun  c < 
f(x)
  bo'lib. 
# ( .
y
)  
funksiya 
[c,d\
  kesmada 
uzluksiz 
bo'lsa, 

holda, 
g(/(.v)) 
funksiyaning 
[a, b]
 
kesm ada 
integrallanuvchi  ekanligini  isbotlang.
7.13.  Kvadrati  integrallanuvchi  bo'lib,  o 'zi  integrallanm aydigan 
fu n k siya g a misol  tuzing.
7.14.  Y ig 'in d is i 
integrallanuvchi  bo'lib,  q o 'sh ilu vch ilarn in g  har 
biri  integrallanm aydigan  fu n k siya larga misol  tuzing.
7.15. 
/(x)g(x) 
funksiyaning 
[a, 
6

kesm ada 
integrallanuvchi 
bo'lishidan,  /(.v)  vag(.v)  funksiyalarning  [я .
6
]  kesm ada  har  doim 
integrallanuvchi  bo'lishi  kelib ch iqad im i?
7.16.  A g ar 
f{x)
  fun ksiya 
[a,b]
  k esm ad a  aniqlangan  (a,ft)  kesm ada 
uzluksiz  bo'lsa,  u  holda 
[a,b]
  kesm ada  integrallanm aydigan  fu n k siya g a 
misol  tuzing.
Q uyidagi  integrallarni  baholang:
lim s ,,( f) =   |im S,.(/) = } f{ x )d x
л р
 —M) 
J
1
x
"10 + 3 cos x
dx
10 8

7 .1 9 . 
j   =
  f  , 
dx
 

7 .2 0 . 
J   =
  f
e - ' d x .
,,^ 1 2 + x - x 1 
n
'
  v<
’ 
J?
7.21. 
J  

[ —?L=dx. 
7.22. 
 
=  f 
xarctgxdx.
I
 л/l + x 
£
з
Quyidagi  tengsizliklarni  isbotlang:
7.23. 
(i- , - « ) ( « >
0
). 
7.24.  0,5<  f - = ^ =  < — ( « >l).

2
« V 
1
 
I J T x 2"
 
6
7 . 2 5 . -  < [ 
ф 

7.26.  A < 
<
2
e.

-  v l   .v 
x 3 
4 л/2 
^  
J
7.27.  2 <[-£*_< I.

\ l + x ‘ 
2
”7
  ">o 

k}' dx 




"rdx  , 

I
7.29.   
<  — < -  va 
— <1
 + -+...+--------------
к + \ 
■  x 
к 


it  ■  ,v 

- 1
7.30. 
- L < 1  
[ ;rt ^ g - V < - .  
7.31. 
Г " Ц . а <
1
.
V9 
л-J  V T T s  


2 + x
Q uyidagi  integrallarning qaysi  biri  katta (integralni  hisoblamasdan 
xulosa qiling)?
7.32. 
| л/l 

: dx 
yoki 
jx d x . 
7.33. 
j s i n ' ° x A  
yoki 
jsin  x*£v.
о 
о 
I) 
0
n

. 2 . 2  
,  

2
7.34. 
fe~xdx 
yoki  je  r 
dx.
 
7.35.  Jyoki 
cos2 
.
0
7.36.  j ^ x   yoki  }5!П£л. 
7.37.  j  
yoki  j £ .
0
  * 
0
 
X
 
1/2
  » ^ 
1
 /
2
V-V
7.38. | s i n  . r i   yoki 
je~‘ 
sinxdx.
 
7.39. j —
yoki   j —  .
о 
о 
i  \  1 +  
X
 

x
1
 

2
 
2
7.40. j V  
sin2 
xdx
  yoki  J л* sin
2
 
xdx
 
7.41. 
Jin 
xdx
  yoki 
J(lnx)2<&
о 
о 



4  / 


2x
7.42. 
j
 ln.vA:  yoki  J(lnx
2
 
)±c  .
 
7.43.  } 
e~x
 
cos 
"xdx
  yoki 
je x
 
cos
2
 xdx


О 
ж
7.44. 
A g ar 
f ( x )  
funksiya 
{ p - а ,   p 

a) 
kesmada uzluksiz va o bsuvchi 
bo‘ lsa,  u  holda,
2 a f ( q - /]'■)<  j f ( x 2 - 2 p x  + q )tx < 2 a f(a 2  + q - p 2) 
tengsizliklarni  isbotlang.
109

,„♦1  _   .41
Ushbu
[xmdx = -------- -— , m Ф -1,  [imxdx = 2
1
 
"' + 1 
Jo
a
m unosabaflar va  7 .6  -m iso ld agi  (7 .1 5 ) ten g sizlik lard an  fo yd alan ib , 
q u y id a g i  integrallarn i  baholang:
7 .4 5 .  f  /  
rix.
 
7.46.
J„Vl + x> 
\
7.47. 

Vl
2
 

x ■
 sin 
xdx.
 
7.48. 
| +  
ln
2
 
x  x2dx

1
xl 
xy
7 .6 -m iso ld agi  (7 .1 5)  form ula  v a 
x
—— 0)
6  
r  
X
6  H--------
120
ten g sizlik d an   fo ydalan ib  q u yid ag i  integralni  baholang.
7.49. 
J
  = I*’ 5 Sm 
Xdx
 
7.50. 
J  =
 
Vx sin 
xdx.
 
7.5 1.  JVxsinxrtLv.

X
 
0
X 2 
X 2
 
X3
7
.
6
-m is o ld a g i  (7 .1 5 )  form ula v a  
x - y  < ln ( l+ x ) < x - y  
+ y t x > 0 )  
te n g siz lik lard an   fo yd alan ib ,  q u yid ag i  integrallarn i  baholang:
7
.
5 2
. |
1
п(
1
-+£)л  
7.53. J Vx ln(i + 
x)dx.
0.5 
X
 
О
Koshi  -  B u n yak o v sk iy  te n g siz lig id an   fo yd alan ib ,  q u yid ag i  ten g siz­
lik la m i  isbotlang:


I
7.54. 
JVT + x 2 V x ’  +1 
dx
 < —

7.55. 
j\ll + x*dx
 < V k2
.


0
7.56. 
|
X 2 
Vsin
xdx
 


7.57.  J Vtl 

X 2 
)sin 
xdx
 
In  + у
.

0
Q u yid agi  h o silalam i  hisoblang:
d '
7 .5 8 .— 

Vl
+ r 
dt.
 
7 .5 9 .— 
fcos 
nt^dt.
dx I 
dx
7 .6 0 .— 
f " 
dr.
 
7.61. — 
\\ntdl
  (x > 0 ).
dx 

dx \

/t 
j  b
7 .6 2 .
—   fcos
(t2)dt
  (x > 0 ) . 
7 .6 3 . 
—  f s in x 2A '.
dx  i 
da
 •
i1
 

.
7 .6 4 .  A g ar 
x = jtlntdt,
  v = J r : inrrfr (r >o)  bo‘ lsa,  u  holda, 
ni toping.
*  In —
 
//v
7 .6 5 .  A g ar  x = J-^ / r,  v = J e \ t  bo‘ Isa,u holda, 
-j-
  ni  toping.
2  “ 
5
Q u yid agi  lim itlam i  h isoblang:
110


ып 
ж
j C0S.r:A- 
jj t gxdx
7.66. 
lim - ------------

7.67. 
lim  — — ------
.
*-*<> 

х-*м) Ф
  ____
-Js'mxdx
0
A niq  integral  yordam ida  q u yid ag i 
fu n ksiyalarn in g  berilgan 
kesm alardagi  o 'rta qiym atini  toping.
7 .6 8
./ ( x )  = —
,  [1:15]. 
7.69. 
/ (x ) = co s3 
x,
 [0 ;jt].
x + x ‘
7 .7 0 ./(a) = sin
4
 
x,
 
[
0

я]
 
7 .7 1 ./(*) = —
.[
0
:
2
]  .
e'
  +1
7.72. 
f i x )  —
 sin " x,  [0 ;Л-J  . 
7 .7 3 .
/ (x ) = 20 + 4 s in x  + 3 co sx,  [0;2гг].
7 .7 4 .
f{x)= -Jx,
 
[0;100], 
7.75./(x) = 
s in x s in ( x  

a ) ,  [0:2я-]
7.76. 
Ellips  fokal 
»• = — —

fo
= —1  radius  vektor

-  
E
 cos 
rp \  
a  J
u zun ligin in g o 'rta  q iym atin i toping.
7.77.  [
0
:^]  kesm ada  /(/) = sin^--/  fu n k siyan in g  o ‘ rta qiym atini 
toping,  bunda 
a
 -param etr.
7.78. 
q>
  ning qanday q iym atid a  /(r) = sm ^ ^ -+ p j  funksiyaning
T 
• 
^
[
0
: - ]   kesm adagi  o ‘ rta q iym ati  —  g a  teng boMadi?

'  
Я
h
Q u yidagi  m isollarda, 
£
  ning qanday  q iym atid a, 

f(x)dx 

f ( g \ b  
-  
a),
a <£ 
te n g lik  o 'rin li  boMadi?  Bunda
7 . 7 9 . / W  = 2 * - 4 * 1.  a = 0, 

= 2. 
7 . 8 0 . /(.r) = lg2x. a = -  —,  6 = 0.
4  
4
7.81./(x) = 
In.t, 
a = \,  b = e2
Q u yidagi  m isollarda,  f   ning qanday  q iym atid a,

b
l f (x)g( x)dx 

f(£)\g(x)dx 
ten g lik  o 'rin li  b o 'la d i?  Bunda
7.82.  / (j) = 
x,
 g(A-) = 
\1\ - x
’ , 
a
 = 
0,6
 = 
1
7.S3.  /(.V) = 
X
- . 
---  v. 
a  ■
  0
,b
 := 1
7.84.  / j,x) -  x +), g(;c) = l/Vl - x ’ , a
 
= 0, !> -  1.
7.85. 
fix)
 = 
1/^1
 —
 
x2, g[x) -
 x + I, 
a
 -  
0,b
 = !.
7 .8 6 .
/ (x )
 = 
x,  g (.t) 

cosx. 


b = ~.
7.87. 
/ О ) 
-  
cos 
r, 
g (x ) 

x, 
a = 
0, 
6
 = 
’L
111

Mustaqil yechish  uchun  misollarning  jav o blari
7.10.  Ko‘ rsatm a. 
A,
  >0, 
A2  >0,  А, 

A2
  =1, 
А,/(х,)-
1- A ,f(x,)<  f(A,x,  + A2x2)
!, 
x  ratsional son bo'lganda,
ten g sizlikd an  fo yd alan in g.  7 .1 3 .  /(.i
7.14.  /(*) =
1, 
x  irratsional son  bo'lganda.
1, 
x  ratsional son bo'lganda,
0, 
x  irratsional son  bo'lganda.
1, 
x  ratsional son  bo'lganda,
0, 
x  irratsional son  bo'lganda.
1, 
x  ratsional son bo'lganda,
1, 
x  irratsional  son  bo'lganda.
g(x) =
7.15. 
f ( x ) = g(x
0, 
x= a,  x = b.
7.17. 
7 .1 8 .—я-<■/<-*.  7 .1 9 .- < J < — .

2  V 2 
13 


2
7 .2 0 .
- < J
<
1
,
7
.
2 1

< j < — .
  7.22. —  

 —  7.32. B irin ch isi.
e  
2 0  
10 

9
7.33.  Ikkin ch isi.  7.34.  Ikkin ch isi.  7.35.  B irinchisi.  7 .3 6 .Ik k in ch isi.
7.37.  B irin ch isi. 7 .3 8 .  B irin c h isi.7.39.  Ik kin ch isi.7.4 0.  Ikkin ch isi.
7.41.  B irin ch isi.  7 .3 2 .  Ik k in ch isi.  7.43.  B irin ch isi.7.45. 
< J < -.
16 
8
7.46. 
7
.
47.2
 
4 n < j
 
<2
 
7.48. —
 < y < ^ X 3- i )
4  
4  

3  v 
f
7.49.
 
0,5 - 0,125/18  < 
J  
< 0,5 - 0 , 125/18+,0 3 125/600.
7.50.
  0 ,8 [0 ,4 (0 ,6 4 )2  —
( 0 ,6 4 ) 4]<  
J
 
< 0 ,8 [(0 ,6 4 )2  - — (0 ,6 4 )4  + ^ ( 0 , 6 4 ) 6].
7.51.
 
0 .8 [ y ( 0 ,5 1 2 ) 2 - ^ ( 0 , 5 1 2 ) 4] 
< J <
 0 ,8 [ y ( 0 ,5 1 2 ) 2 - ^ ( 0 , 5 1 2 ) 4 + ^ ( 0 , 5 1 2 ) 6].
7.5 2. 
7 . 5 3 . 7 . 5 8 .  
2 x J i+ 7 .
16 

35 
945
7.5 9.  -sinrcos(^cos
3
 x)-cosxcos(;rsm
3
 
x).
 
7 .6 0 . 
--- --  
.7 .6 1 . lnx.
7.6 2.  .e£ii+JLcos-L  7 .6 3 .  -sin a!  7 . 6 4 . - r .  7.6 5.  Д   7 .6 6 .  l.
2V* 

x 2
 
In 
t
7.6 7.  l.  7 .6 8 .0 ,3 6 4 8 ,7 .6 9 .  0 , 7 . 7 0 . -   7 .7 1.0 ,2 8 3 .7 .7 2 .0 ,5 .7 .7 3 .2 0 .
8
7.7 4. 
6
—.  7 .7 5 .  —cosa.

2
7.7 6.  -= £ =  = 
6
-e llip sn in g  kichik o ‘ qi  uzunligi. 
7 .7 7 . 
1
 ~c o s .
V 1 - е 2 
ляг
112
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling