A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet15/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   39

/г 

я + 
2
 
2
 
2
8-§.  A n iq   in te g r a ln i  h iso b lash
Наг  doim ,  har  qanday 
integrallanuvchi 
fu n ksiyanin g  aniq 
integralin i,  integral  yigM ndining  lim iti  sifatid a  qarab,  hisoblash  oson 
boM averm aydi,  y a ’ ni  integral  y i g ‘ indini  tuzib,  uning  lim itini  hisoblashda 
ancha  n o q u laylik lar  v a  q iy in c h ilik la rg a   duch  kelinadi.  Shuning  uchun, 
aniq  integralni  yuqo rid agi  ta ’ r if  bo‘y ic h a  hisoblash  usulidan  boshqa 
soddaroq  usulin i  topish  zaru riyati  tu g ‘ ilad i.  Bu  u su llam i  q u yid a  keltirib 
o 'tam iz.
8 .1 . 
N yu ton -L eyb n is 
fo rm u la si. 
Y uqorida  ko ‘ rdikki,  agar 
f ( x )
  fu n k siya 
[a,b]
  kesm ada  uzluksiz  b o 'lsa ,  u  holda  u  shu  kesm ada 
b o sh lan g'ich   fu n k siyalarga  ega  boMadi.  A niq  integralning  11°  -xo ssasiga 
asosan,
W = j  
f(t)dt
F un ksiya, 
f( x )
  fu n k siyan in g b o sh lan g'ich   fun ksiyalarid an   biridir. 
F(x) -  f( x )
 
fu n ksiyanin g 
[a,b]
 
kesm adagi 
ix tiyo riy 
b o shlang'ich 
fu n ksiyasi  boMsin.  M a ’ lum ki, 
ф(х)
  v a 
F(x)
 
boshlangMch  fun ksiyalarn in g 
biri,  ikkinchisidan  o 'zg arm as songa farq q ilad i, y a ’ ni

= F(x) + C,  a < x < b .
Bundan, 
x = a
  deb olib,

= F{a)+C,  C = -F (a
) 
ek an lig in i  topam iz, y a ’ ni  v.xe[a,
6
]  uchun,

f(x)dx 

F(b)~ F{a)
 
(8.1)
N yuton  - L eyb n is  fo rm u lasiga eg a b o 'lam iz.  Odatda,  (8 .1 ) form ula, 
integral hisobning asosiy formulasi,
 
deb ham  yu ritilad i.
8 .1 -e sla tm a .  O datdagidek,
F ( ^ = F ( * ^ = F ( & ) - F ( a )  
bclgilashni  o lsak,  u holda,  (8 .1 ) N yuton -  L eybnis  form ulasini,
7.78. 
<р = 2кл,  <р = -  + 2кл,  k e Z .
 
7.79. 
О  £  = j ,   113

)f(x )c h = F {x \ b
a
a
k o 'rin ish d a ham  yo zish  m um kin.
ь
8 .1-m iso l. 
Ushbu 
^xmdx,  m^-\
 
integralni  N yuton-L eybnis
a
form ulasi  orqali  hisoblang.
Y ech ilish i. 
M a ’ lum ki,  integral  ostidagi  / (* )= *"'  fu n ksiyan in g
x*+\
b o sh lan g 'ieh   fu n k siya si, 
F (* )= ------  
dan  iborat.  N yuton-L eybnis
m
 + 1
fo rm u lasiga asosan,

\h  b 
- a
----- L  =------------
■ni
 * ~i
m
 + 1 1 
m
 + 1
b o 'lad i.  X u su siy holda, 
m = 
- 1  b o 'ig an d a,
i y = inN ‘ =inH - |nH  •
Sh un day  q ilib ,  aniq  integralni  hisoblash  m asalasi,  integral  ostidagi 
integrallan u vch i 
fu n k siyan in g  
b o sh lan g'ieh  
fu n k siyasin i 
topish 
m a sa la sig a  
k e ltirila r  ekan. 
L ekin  
har 
qan d ay 
integrallan uvch i 
fu n k siyan in g   ham   b o sh lan g'ieh   fu n k siyasin i  topish  oson  b o 'lav erm a yd i. 
Shuning  uchun,  aniq  integralni  hisoblashda,  boshqa  u su llard an   ham 
fo yd alan ish g a to 'g 'r i  kelad i.
8
.
2
.A n iq   in te g ra lla rd a   o ‘ z g a ru v c h ila rn i  a lm a s h tiris h   usuli.
8
.
1
-te o re m a.
 

= g(t)
  fu n k siy a  [
a ,p ]
  kesm ada  an iq lan gan   uzluksiz 
d ifferen siallan u v ch i  va  un ing  q iym atlari  to 'p lam i 
[a,b]
  kesm adan  iborat 
b o 'lib , 
g(a) = a,  g(fi) = b
  b o 'lsin .  A g ar 
f( x )
  fu n k siya 
[a,b]
  kesm ada 
u zlu ksiz b o 'lsa ,  u holda,
\f{x)dx = \f[g{t)]g[l)di
 
( 8 . 2 )
form ula o 'rin li.
Bu  form ulaga, 
aniq  integralda  о 'zgaruvchilarni alm ashtirish 
form ulasi  d eyilad i.
8.2
  -m isol. 
(8 .2 ) form ulani  isbotlang.
Y ech ilish i.  f( x )
  fu n k siy a  [a ,6]  k esm ad a  u zlu k siz  b o 'lg a n i  uchun,
7 .5 -n atijag a  asosan, 
f ( x )
  fu n k siya, 
[a,b]
  kesm ada, 
ф
(
х
)
  b o sh lan g'ieh  
fu n k siya g a  eg a  b o 'lad i.  Bu  holda, 
F{t) =
 tf>[g(0], 
[a
 < 
t < p)
  m urakkab 
fu n k siya h o silag a eg a:
F 'W  = O '[g (r ) ]- g (/ ) = / [g (0 ]g (r ) .
114
b
\x“dx

Bundan, N yuton  -  L eybnis fo rm u lasiga asosan,
J /[g(')k (f>* = J 
F(t)dl = F (fi)- F{a)
 = 
0[gC9)] 
-
- 0 [ g ( a ) ]  = 
Ф(Ь)-Ф(а)=\/{х\1х.
8.3-m isoI.  Ushbu
■dt
integralni  hisoblang.
Y e c h ilish i. 
x = cost
  alm ashtirishni  olam iz.  Bu  alm ashtirishning 
to 'g 'rilig in i  ko 'rsatish   uchun,  8 .1 -   teorem aning  shartlarini  tekshirib 
k o 'ram iz: 
x = g(t)=cost
  fu n k siya 
R
  da  uzluksiz,  yan g i 
t
  o 'zgaru v ch i.
uzluksiz.  Demak,  8 .1 -  teorem aning  ham m a shartlari  b ajarilad i.
8.4-m isoI.  Ushbu
integralni  hisoblang.
Y ech ilish i. 
alm ashtirishni  bajararniz:  .v,  = 0  b o 'lgan d a,
i,
  -Я, .r,  =in3  b o 'lg an d a. 
t7 = 2 .
  D em ak,  дг  o 'zgaru v ch i,  [0;ln3]  kesm ada 
o '
zgarganda,  yan g i 
t
  o 'zg aru v ch i 
[V
2
;
2

kesm ada  o 'zgarad i. 
x  

i n ( r - i )  
funksiya, 
t = 4er 7 1
  fu n k siya g a tesk ari,  [-/
2
,
2
]  kesm ada  monoton,  uzluksiz
B ularni e ’tiborga olgan  holda.
115

Shunday  q ilib ,  8.1-teorem aning  ham m a  shartlari  o ‘ rin li,  shuning 
uchun,  (8 .2 ) form ulaga asosan,
fe 'V e '+ l  . 
f(/2 —
 1)-/-2й* 
}2
t'dt
! - ? т г ь = А ^ +4 > - . ) =^
=

2
 Д
1
 -  
7174
 ] *  = 
-  2» * «  ^  Л = 2I2 ~ 
2
' ^  ~ ^  + 2arc(g T ] =
= 4 -  -/ir -  2 V2  + 2 
arctg^-.
8.3.  BoM aklab  in te g ra lla sh   usuli.
8 .2 -te o re m a . 
A gar 
u = /t(x)
  v a  v = v(x)  fu n k siyalar, 
[a,b\
  kesm ada 
uzlu ksiz  v a  u zlu ksiz  h o silalarg a  ega  boMib,  ularning  x o sila la ri,  shu 
kesm ada integrallan uvch i bo‘ lsa, u  holda,
(8 .3 )
л/2,
yo k i
j  
udv
 = 
uv
 
‘ 
- j  
\du

h 

u(x)v  (x)dx  =
 
u(*)vW ‘ - J  
v(x)u  (x)dx
form ula o ‘ rinli.
8 .5  -m isol. 
Ushbu
л
jx  arctgx dx
integralni hisoblang.
Y ech ilish i. 
Integral  ostidagi  fu n k siyalar,  8 .2 -   teorem aning  barcha 
shartlarini 
qan o atlan tirish iga 
ishonch 
hosil 
q ilish  
q iy in  
em as. 
и
 = 
arctgx,  dv=xdx
 
deb olib,  (8 .3 ) fo rm u laga asosan,
л  

i 
x a rc tg x d x  = [du  = -------v =  ~ ]  =

— arctgx
\ + x
X ^ x 'd x . 
я
  
1 ,
r l = — 
-  
arctgx]
\ + x~
 
3  2  2
я   \  я
 
л/З 
я  _  7я
 
л/3
2
~ Т  + _6  ~~3 
7 '
I  уз
- -   Г— 
2
,
1
-
Misolni Maple tizimidan foydalanib  yechish:

in t(x * a rc ta n (x ),x = 0 ..sq rt(3 ));
2ж_л/3

2
8.6 
-m isol. 
Ushbu
I
Лл = J  *n" 
a  > 0, n e  N,
(8.4)
116

integralni  hisoblang.
Y echilish i. 
/ ( x )  = x “  l n " x  
fun ksiya  <0;i]  kesm ad a aniqlangan va 
uzluksiz,  ham da  iim/(x)=o. 
f( x )
  fun ksiyani q ayta an iq laym iz, y a ’ ni
x-»+0
x = 0  da  f{ x ) =
 0  deb olsak, u holda 
f( x )
  fu n k siya  [0;i]  kesm ada uzluksiz 
boMadi, y a ’ ni  u  [0;i]  kesm ada integrallanuvchi  boMadi.
B erilgan (8 .4 )  integralni  boMaklab in teg ra llaym iz:
J ,
а
 

j x “
  In" 
xdx
 
= [u 
=  
In" 
x,dv = x “dx,  du
  =  
n
In" '1 .x
dx,
Y«+i 


=  -


=  


  x " 1 
In" 
X
а
 + 1 
а  
+ 1
-----
—  f x “  In" 
'xdx =

+1 
,
Bundan,  ketm a-ket boMaklab  integrallash  n atijasid a.
J„ ,
  =(-0"  , 
= И ) " (  ^ yT
\x“dx =
(.a
 +1) 
(a
 +1) 
i
= (-!)"■
(a +
l)"*1
rekurrent form ulani  hosil  qilam iz. 
8 .7  -m isol. 
Ushbu
jx -  \nxdx
,
integralni hisoblang. 
Y echilish i.
J x l n 2 
xdx
  =
I
= ——  J 
x  In 
x dx
.  ’  „  , 
21n x   , 
и =
 
In  x; 
du
  = 
(In"  x )  
dx =
----------
dx;
x
2  
,
X
= —
I n   X
dv = xdx;  v = —
2
2
rx2  2lnx
Г2  x~
dx
 =
и
 
=  l n x ;  
du
  =  
( l n x ) 'a ! r  
=  — 
dx;
’ 
x 2
X

л
 
i
= - -----------l n x
dv = xdx;
  v   =   —

2
2
} £ ! *  

2  x

e2  e2  +  1  f ^  
1
) J  

4 '


2\
 


Misolni Maple tizimidan foydalanib yechish:

in t(x*(ln (x))A
2
,x = l..e x p (l));
8.8-misol. 
Ushbu
\Qjx]Pl:(x)dx = 0 
-1
117
(8.5)

tenglikni  isbotlang,  bunda,  ^,(*)=—  
d
  ^  
—   L ejan d r k o 'p h ad i

"n! 
dx"
0t = 
0,1,2,...),  Q„(лт) 
esa, d arajasi 
m < n  
boMgan ix tiy o riy   ko ‘ phad.
Y ech ilish i. 
R avsh an ki,  — ^
^
 
(k
 = 
0
,
1
,
2
....)  fu n k siya 
x = -\
  v a  * = i
nuqtalarda n u lga ay la n a d i.  B erilg a n   integralni  ketm a -  ket boMaklab 
in tegrallash  n atijasid a,
и
 = Qm (*), d v  =
dx 
dx
-i
dxn~
e k an lig in i  keltirib   ch iq aram iz,  chunki  2i"'+l)(* )= 0 .  Bundan  (8 .5 ) te n g lik ­
ning o 'rin li  e k a n lig i k e lib  chiqadi.
M u sta q il yech ish   uchu n  m iso lla r
Q u yid agi 
in teg rallarn i,  N yuton-L eybnis 
fo rm u lasiga  asosan, 
hisoblang:
8 .l.j{ 2 x -i)d x .
 
8.2 . 
J5
x“dx.
 
8 .3 .J
2
-Jxdx.
8.4. 
J
2jx-ldx.
 
8.5. j(x + \\x-2)ix.
 
8.6.|Гзг + 4

1 4 ^
dt.
1/3 
I
8.7.  J(l + 
cos)dx.
 
8 .8 .j( :r  
+yfx)dx.
 
8 .9. j   лг:
-x'-

о 
о V
8.10. J(l + 
x ) 
dx
 
8.11. 
| ( V a - V x )  
dx.
 
8.12.  J 
^  3
1 dt.


1  ^
Q u yid agi  in tegrallarn i,  Nbyuton  -   L eyb n is fo rm u lasiga  asosan, 
h isoblang:
8 .1 3 .  jV - 4 x + 7 ) f c . 
8 .1 4 .  j - i * .  
8 .1 5 .  J A .
-i 
i x 
\ tyt
8 .1 6 . f — ^  
dx.
 
8 .1 7 .  fx_''
3
( l- x J'3),/2^:. 
8 .1 8 .  f sin
2
 5.vtic.
„ (2x +
1

i/g 
{
8 .1 9 .  Jsec
2 tdt.
 
8 .2 0 . 
jctg'-^dx.
 
8 .2 1 .  |sec.Y(gi-A.
.
118

яП
8 .2 2  
j  
5(sin .v 
f 11 cos xdx.
 
8.23. 

8 .2 4 . 

—Ж
=—
dt.
и 
о  V l 
+ 3 s in 2x  
ii 
V 2secf
dx
8.25.  f 
- 2 L - .
 
8.2 6.  Г-.________
,„S0S- X 
i j 5  + 4 x - x 2
1г(  г
 
|  >
8 .2 7 .  j
 
cos 
ecx ctgxdx.
 
8 .2 8 . 
j j ^
-------
7y-x
Q uyidagi 
integrallarga, 
N yuton-L eybnis 
form ulasini 
formal 
ravishda  qo‘ llaganda,  noto‘ g ‘ri  n atijaga kelinishini  izohlang:
8.29. 
t
------8.3 0. 
8 .3 1 .  J —.

p  + fgvvjcos-.V  
',<*1, 
x j
 
Д 
x 
Q uyidagi  integrallarni  hisoblang:
8.3 2. J(2.r + 
5 k r. 
8.3 3. J 
(x-  + fxftx.
 
8.3 4. 
j\[xdx.
-2
 

-1
8.35. 
\\Txdx.
 
8.36. 
|  
8.3 7. 
]\f7^idx.
3
j

.r
8.38.  J (l 
+ cos 
x)Jx.
 
8.39. 
j  msec xdx.
 
8 .4 0 . 
j(8 j-'2  + sin 
y)fy.
8 .4 1. • jf~r---- V ku- 
8.4 2.  J
8. 43.   J д-|лг|сз!лг.
i \  
-
 

)
 
_4 
_n
Q uyidagi  integrallarn i 
hisoblang:
8.44. 
]r d x .
 
8.4 5.  f —

8.46.
I
 
; i  + *  
i.v in x
8.47.  f
sin 2 
xdx.
 
8 .4 8.  f
— ——-------. 
8.4 9 .  f — *

.
■ 4.r‘  + 4.r + 5 ,  x  -  2.v -  8
8.50.  f cos('n*>fr 
8 .5 1 .  f

x
 
■ ,v(l + 
h r x)
8.52.  I
*\Ц -  x ' dr
 
8.53. 
\-±-

I -
  +1
Q uyidagi 
aniq 
integrallarn i, 
o ‘zgartiruvch ilarn i 
alm ashtirish 
yordam ida hisoblang:

 
 
0  
_______ 
Jt
8.54. 
j j v  + \dy.
 
8.5 5. 
J

 +1 
dx.
 
8 .5 6 .
| 3co s'.v sin rfr.
0
 
-1 
0
8.57. 
f cos2 .tsinjrdtr. 
8.5 8. 
\-r ^ L - d x .
 
8.5 9.  Г7- ^ Ц л
L
 
(4 + 
x
~) 
« ( *  + * 7
я
7  
к П  
7 к
8.60. f(l 
-cos3r)sin3f< *. 
8 .6 1 .  f (1 
-c o s 3 r )s in 3 fd f

8.6 2.  Г 
dt.
0
 

a
 V4 + 3sin r
11 9

8.63.  f - 

C0S-.-= d t.
 
8.64.  f 
J x 5 

2х(5л:4 

2
]dx.
 
8 .65. 
fcos  32xsin2x:W 4  + 3sin / 
Г  
?,
x
~4
 

*/3
8.66.  J(l 
- s in 2 f ) 3/2 
cosltdt.
 
8.67. j"
sin 
jtxdx.
 
8.68. 
jctgxdx
. .


*/6
8.69.  Т -^ Н -Л . 
8.70.  f O x .  
8.71.
J  ГЖ’  r  
J  r  
'   у ‘ + Л
8
.
7
2
.
8
.
7
3
.
i  ДГ 
J  COS‘ 
X
dt.
8.74. 
} (
i
- 2
x
)
ja
 
8 .7 5 . 
js in 2 
i+ -



2 >
Q u yid agi  in tegrallarn i,.  o ‘zgaru v ch ilarn i  alm ashtirish  usulidan 
fo yd alan ib   hisoblang:
8.76.  f 
f l
__  
8.77.  f  / f o *   / 
8 .7 8 .  f
i  W l  + дг
2
 
W e ' + e "  

*
8.79.  |
^ ----- . 
8.80. 
Г------- —------ . 
8.81.
i x  + yla2 - x 2 
t
 l + s in x  + co s*  
i  J x ( l- x )
dx 
o o - i
 
г/  , 
-Л  

o o *  
V l + x 2
8.82. 
f


 

8.83. 
\(e* +e 
'\gxdx
 
8.84.  f 

x  dx.
8.85. 
Ushbu  j(x 2
- 6 x  + \i)ix
  integrald a,  x 2 - 6 x  + 13 = /
1
alm ashtirishni  olish m u m kinm i? Javo b in gizn i  sharhlang.
I
8.86.U shbu 
JV l
-x 'd x
 
integralda, 
x = sinr 
alm ashtirishni
0
o lish m um kin m i? Javo b in gizn i  sharhlang.
к 
j
8.87.U shbu 
f------ r— 
integrald a, 
tgx = t
  alm ashtirishni  olish
q 1+ sin 
x
m um kinm i? Javo b in gizn i  sharhlang.
B o'laklab integrallash formulasi yordamida, aniq integrallarni hisoblang:
8 .8 8 .
 
fxe~‘ dx
 
8.89. 
jx\nxdx.
 
8.90. 
J V  sin 
2tdt.


0
8 .9 1 . 
jx arc lg (x 2)dx.
 
8 .9 2 .  J
xtg 2xdx.
 
8.93.  |.x’ 
\nxdx.


1

e•
8 .9 4 . JxV 'dlt. 
8.95.  J
jc ln
-Jxdx.
 
8.96. 
jlnxdx.
0  


1/2 

1/4
8 .9 7 .  | 
x
 • cos 
mcdx
.. 
8.98. Jln(l + x2)a!x:. 
8.99. Jarcsin 2лп£с.
120

Q u yidagi 
integrallarni, 
boMaklab 
integrallash  
form ulasidan 
foydalanib  hisoblang:
8.100. 
j  x
 cos 
xdx
.
 
8.101. 
j(3x + 2)lnxdx.
 

8.102. 
'je'smlxdx.


о
8.103. 
j x
 

smxdx.
 
8.104.  J 
xarctgxdx.
 
8.105.  j  ^П Л 
dx.

1


x
8.106. 
j s i n 4 л-cos’ xdx.
 
8.107. 
je*
 cos2 xdx.
 
8.108. j  
-
 

^ - « a !x f a >   *

- , ’Г   г л
)
i
____  
i
8.109. 
Jsin.vsin2.vsin3.vrf.r. 
8.110. 
j x
' 5v l 
+ 3x*dx.
 
8.111.  j  
arc cos xdx.
о 
о 
о
Q u yid agi,  u zilish ga  eg a  boMgan  ch egaralan gan ,  fun ksiyalarn in g 
aniqm as  integrallarin i  toping:
8.112 

j  sign xdx.
 
8.113.|j/g/i(sinx)dtc. 
8.114. Г[.г]Л.
8.115. 
jx[x]dx.
 
8.116. J (- 1У'1 |l, 
|(| с  
I  bo'lganda,
|0,  Ы > /, 
bo'lganda,  l>
  0.
8.117. 
jf(t\ ii
 
,  bunda 
f(t)=
Q u yid agi.  u zilish g a ega  boMgan  ch egaralan gan ,  fun ksiyalarn in g 
:iniq  integrallarini  hisoblang:
8.118.  j  
sign(x - x ’ 
)ix.
 
8.119. 
^[ex\dx.
 
8 .1 2 0 . j[x] 
s in —  
dx.
о 
о 

6
x
 
H+l 
1
8 .1 2 1 .
|.rs/gn(cosjr)rfx 

8.122. 
j\n[x\dx,n 
e N.
 
8.123. 
| i;g « (sin  Inx)dx.
Katalog: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r

Download 9.01 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling