A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet18/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   39

9.71.  ^-(з + 4У2).9.72. 
- I d L = .
  9.7 3.1 а2.9.74. 
2
0:f— -
6  v 

 
б 
I  8
9.75.  а2(
2
» + зЛ-б)/з,9.76.  у(л- + б-з7з).  9.77.
10-§.  A n iq   in t e g r a l y o r d a m id a   c h iz iq n in g  y o y i  u z u n lig in i  h iso b lash
10.1. 
D e k a rt  k o o r d in a ta la r   s is te m a s id a   b e r ilg a n   c h iz iq n in g  
y o y i 
u z u n lig in i 
h iso b la sh . 
F araz 
q ila y lik , 
a b
 
y o y , 
fazoda
*   = 
x{t\  у
 = y ( 4   г  = r(f), 
t
 e  
[a, p )
,  ten g lam ala r  sistem asi  o rqali  an iqlan gan  
bo‘ lsin.  B unda, 
x ( c ) ,y ( / ),r ( / )  
fu n k siya lar, 
[a.p]
 
kesm ad a  u zlu ksiz
d ifferen siallan u v ch i  fu n k siyalard ir. 
Bu holda, 
ab
  y o y n in g  u z u n lig i,
138

( l o . i )
form ula b o 'y ic h a   hisoblanadi.
a b
 
y o y  tekislikda  berilganda,  uning uzunligi,
/ ■ 1 Ш
Й Г 4  
(1 0 .2 )
a
form ula o rqali hisoblanadi.
A g ar  egri  chiziqning  ( л е -y o y n in g )  tenglam asi  oshkor,  y a ’ ni

= /(*),  дге[л,/>] 
ko 'rin ish d a 
berilsa, 
( / ( * ) - uzluksiz 
d ifferen siallan u vch i),  uning yo y  uzunligi,
/ = JVl+[/(*)]: <£c 
(10 .3 )
form ula orqali  topiladi.
1 0.1-m iso l.  Ushbu  у = |лг5/\ 
0<.v<9 
egri  ch iziqn in g  yo y   uzunligini 
toping.
Y e c h ilis h i.  B erilgan  egri  ch iziqn in g yo y   u zu n ligin i. (1 0 .3 ) 
form uladan fo yd alan ib , topam iz:
л
  s  - 
i  

I
— /—  

I
 
г
y x  = — • — - л:4  = лг4; 5 = J^/l +(yx\dx = J \ l  + x'd x
^  ’  

U
O xirgi  integralda,  Vi+V* = f  alm ashtirishni  bajarib,
{  '  
r
 
15
ekan ligin i  topam iz.
10.2-m iso l.  Ushbu  * = 
a ( r - s ir w )  
v = 
a (i- c o s / ), 
0<г<2я-,  egri 
ch iziqn in g y o y   uzunligini  toping.
Y e c h ilis h i.  B erilgan   egri  ch iziqn in g yo y  uzun ligin i,  (1 0 .2 ) 
form ula orqali topam iz:
x]
  = a (l -co s/ ),  y,  = asm /, 
f i x ,) 1
  + (j-, 1Л  = 2 a sin  — 
d t,
l~   [lasxw^-dt -
 -  4a cos —


2  ,
O
 
- I
10.3-  m isol.  Ushbu  x = 
u ( l - s i n r ) , y  = a (/ -c o s / ),r  = 4 f ls in ^ ,  0 

  egri
ch iziqn in g yo y   uzunligini  toping.
Y c c h ilish i.  B erilgan egri  chiziqning yo y   uzun ligin i, (1 0 .1 ) form ula
orqali  topam iz:
-r, 
= -asint, y,
  = a (l — cos/), 
=  2 a c o s ( x ‘ ) :  + 0 ’i ) !  + ( - ,) Z =
n
- 8  
a.
0
139

D em ak, 
I =°j2adt = 2at0.
0
1 0.4-m iso l.  Ushbu
r s in   . 
f COS 
(D

=  —
dip; у
 =  -----
dtp.
  1 
< I < t„
,  
 



tenglam a  bilan b erilgan   egri  ch iziqn in g u zu n ligin i  toping.
Y e ch ilish i. 
R avshanki,  / = 1  boMganda,  egri  chiziq  koordinatalar 
boshidan  o 'tad i.
cos /
=  ( - a s i n  г)2  + ( c ' ( l - c o s r ) ) :  +  ( 2 a c o s ^ ) :  =  2 a 2(l - c o s t  +  2 c o s 3 i )  =  4 a 2.
,rsm®  ,  v  sin/ 
r cos 


  ,, 
COS /
x,  =
 [j —
T-d

 =---- , 
y,
  = [  ----
v-d

  =----
,  


\  V 
I
FTwi
 
T^TT 
sin 2 1 
co s2 / 
1
V  /■ 

t
Sh u n d ay q ilib ,  izlan ayo tgan  ch iziq n in g u zu n ligi,  (1 0 .2 )  form ulaga 
asosan,
s^
 J 
+ | v<
 
>2(i‘

= ln,« •


{
10 .2.  Q u tb   k o o rd in a ta la r  sistem asida  b e rilg a n   ch iziq n in g  yoyi
uzu n lig in i  hisoblash. 
A g ar 
a b
 
egri  ch iziq   y o y i  qutb  koordinatalar 
sistem asid a 
r = r(

  teng lam a  bilan  b erilgan  bo‘ lib, 
r(
 
fu n k siy a 
[

  da  uzlu k siz  va  u zlu k siz  h o silag a  eg a  bo‘ lsa,  u  holda, 
egri  ch iziq n in g 
y o y  uzunligi,


AB
 = £’ 
J[r(

 

\r!
(p)f 
dip
 
(10.4)
form ula bo‘ y ic h a  hisoblanadi.
10 .5 -m iso l.  Ushbu 
r = a^-sm

  tenglam a bilan  berilgan

6
chiziq y o y in in g   uzunligini  toping.
Y e ch ilish i. 
B erilgan   chiziqning,  /- = a(l-sin
rr = - a
 cos 
ip.  J r '  +{rr ):  = л] a 2 (\-simp)2 + a2
 cos: 
tp
 =

ayj]
 -2sinp + sin2  + cos2 


=
 о72^/1 -sin^
e k an lig in i  topam iz.  Endi,  izlan ayo tgan   ch iziq y o y in in g  u zu n ligi,  (1 0 .4 ) 
form ula yo rd am id a topiladi:
I
__________  
.___________
I =  ja y f l ■
 
^1
 -sin 


 = ал/
2
 ■
  J
^J\
 -  sin 
ip dtp =
a .
140

10.1.  у = Inx,  -  < -v < —. 
10.2.  v = 1-lncosx, 0 < x <


3
10 .3. 
у  = 
Vl 
— -v‘  +o/csin 
x,
  0 < 
x
 S  —. 
10 .4 . 
y  — e x
  ( 0 < x < x o).
10.5.  x = — v2 -  — In v (l < v < 
e).
 
10.6.  v! = ^ - f o < x < | a
4 ' 

2 a -  x
  I, 
3
10 .7 . 
y = 
J | (l-x ), 
(o<
x0 
<
x
<
l). 
10 .8.  x 

-|V(r-i
)’  (o<-x<
2 V 3)
.
10.9.  y = ln(x2-l), 

< x < 
5.
10.10. 
у = 
ach—
 
chiziqning,  ,-)(0;я)  nuqtadan,  fi(6;A)  nuqtagacha
<3
boMgan qism i.
10.11. 
у
 = in sin 
x
  chiziqning,  ab ssissalari.  у   va  у   bo‘ lgan  nuqtalar 
orasidagi  qism i.
4
10.12.  y 2  = x3  ch iziqn in g 
x = -
  to‘ g ‘ ri  chiziq bilan  k esilgan  qism i.
1 0 .1 3 .
  r = y - l   ch iziqn in g 
Ox 
o ‘ q  bilan  k esilgan  qism i.
1 0 .1 4 .
  v:  =(x +1)’  ch iziqn in g 
x = 4
  to‘ g ‘ ri  chiziq  bilan  kesilgan  
qism i. 
1 0 .1 5 .  v = arcsine'*
  chiziqning,  x = 0  dan  дг = 1  gacha  boMgan 
qism i.
Q u yidagi  berilgan  ch iziq larn in g ko’ rsatilgan  kesm alardagi  yo y 
u zu n liklarin i  toping:
10 .1 6 . 
,x 

a(t
-sin 
t),
 
у = 
a(l 
-co st)
 
(0<<<2;r).
1 0 .1 7 .  x = a(cos( + rsin(), у = a(sin 
t-tco st),
  (O < f < 2л-).
1 0 .1 8 . 


acos3
1
,
 
у = 
asin3
1.
1 0 .1 9 . 
x = у 
= e'(cosf-sin/), 
0
< ( < 1.
10 .2 0 . 

— a
 
cos' 
/, 


asin5< 
(0
1 0 .2 1 .  x = 
a
 
(slit
 -  г), у = 
a
 
(cht -
 l) (0 < 
t < T)
10
. 2 2 .  


sin4
1
, у
 = 
cos3
t,
  f o < r < -
M u s t a q i l   y e c h i s h   u c h u n   m i s o l l a r
Q u y i d a g i   b e r i l g a n   c h i z i q l a r n i n g   k o ‘ r s at i l gan  k e s ma l a r d a g i   y o y
u z u nl i k l a r i n i   t opi ng:
10.23.  x= f 
s- ^ d P,  v= \c
-^-d




 

V
10 .24.
  x = 
2acost,  у  =
 2 a s in t,  r  = 
at,
 
(0 < 
t <
 2л-).
10.25.  .y =-/ 3 + - f 2, v = - —f3 
+ - Г ,  
г =- f 3 + Г2, 
0 < r  
< 1.





3
141

1 0 . 2 6 .   л  = 
с'
 (cos 
t
 + sin f),  у  = e ' (cos 
I
 -  sin 
t
),  г  = 
hi,
 0 < 
t < 2n.
10.27.
  .v = o(cosf + In rg ^ ), 
у 
= a s in r ,  0 < г„ 
< I < —.
Q u yida  berilgan   ch iziq larn in g k o ‘ rsatilgan  k esm alard agi  yo y  
im in lik la rin i  toping:
10.28.  /• 
= cos5
^,0<

 
10.29.  /■ = 


2, о 

 < 
n.
10.30. 
r = aip
  A rxim ed  sp iralin in g   radiusi 
2ал
b o 'lg an   doiraning 
ich id agi  qism i.
10.31. 
r
 

aemr 
(m 
>
 0, 0 

r  

a).
 
10.32./- 
=--- —
---
,U|<—.
1 + cos 


2
10.33. 
r
 = 
ath ^ , 0  < 2л.
 
10.34. 
i- =  a ( i - c o s ^ )  
kardioida.
10.35. 
r  = aip\0<

 
10.36. 
r =aip4,
  0 < 
tp
 < 3.
10.37. 
r
 = 
a ( l - s i n p ) ,  



 

- 1—.
10.38.  ;  = 
a ( i 

co sp ) 
kard o id an in g uzunligi.
10.39. 


 —\ l < г < 3.
M u sta q il  yech ish  uchu n  m iso lla rn in g   ja v o b la r i
10.1  ^  + In2,10.2.  In(2 + Vl)  10.3.  — .
20 

'
 
3
10.4. 
-  
л/2 

-  -  In -'-±V1 
I .  10.5.  —
.
1 + V2 
4
10.6. 
4^1
 + V 3 i n l i ^ j  10.7.  10,8.  10.8.  14/3,10.9.
3 + In2.
10.10. 
10.11. 
- ! n 3 .  
10.12.  H i .   10.13. 
V 6 in (V 2 + V 3 )
27
10.14. 
10.15.  1п(е + л / ^ 7 ). 10.16.  8a,  10.17. 
2m\
  10.18.
6a.
10.19. 
2{e-\).
  10.20. 
2^5 + ^ l n ( 2  +
1 0 . 2 1 .   2 | c A ^ V ^ T - l| - V 2 1 n
4lc it7
-  + jdTr

J
 
1 + V2
10.22. 
0,5л/5  + 0 ,2 5 ln(2 + л/
5

10.23. 
Inf,,. 
10.24. 
2 a S n .
10.25. 
^ - ( 2 7 л / 3 - 2 л / б )  
10.26. 
- J l r
 

4 e 4'1 
- J h 2 + 4  + l,\n  '№***- + I’2  ~ h
10.27. 
- a l n s i n f 0. 
10.28 
-(2 я - + 3л/з) 
10.29. 
U-JU2 +4)'
 
- 8 ] .

3
142

10.32. 
p[V2  + lti(l + 
42)\.
 
10.33 
a(2/r-thtr).
 
10.34 
8я.
10.35 

["
205
- —1пз1.  10.36 
l 4- ^ .  
10.37 
2а.
 
10.38. 
16а
2

4
 
J
 
15
10.39. 
2
 
+—
in3.
2
l l - § .   A n iq   in tegral y o rd a m id a   aj'lan m a  jism n in g   h a jm in i  hisoblash
1 1 .1 . 
D ek art  k o o rd in a ta la r  sistem asida  berilg an   ay la n m a 
jism n in g   h ajm in i  hisoblash. 
Faraz  q ila y lik ,  b izga  biror 
т
  jism   berilgan 
bo‘ lib.  uning 
Oy
 
o ‘qqa  parallel  bo‘ lgan  kesim larin in g  yu zasi  in a ’ lum 
b o 'lsin .  Bu  yuza,  .r  o 'zgaru v ch in in g  fu n k siyasi  boMadi,  uni 
s = s{x) 
o rqali  b e lg ilay m iz  (1 1 .1 -chizm a).
A g a r 5  = 5(x)  fu n ksiya  [а; л]  kesm ada  u zlu ksiz boMsa, 
т
  jism n in g  
v
  hajm i,  ushbu

’ = I  
S(x)dx
 
(1  1 .1 )
10.30. 
а^Х\14л- 
+1 +  1 n(
2
л- + V4
к'-
 + l)j.  10 .3 1. 
- I - - — а.
11.1 
-m isol. 
Ushbu  —
T  ,  •--- + -r-  = 
1
a' 
b~ 
c~
ellip so id  
sirt 
bilan 
chegaralangan 
jism n in g  hajm ini toping.
Y ech ilish i. 
D astlab 
berilgan 
tenglam a 
b o 'y ic h a 
ellipsoidni 
yasaym iz.
E llipsoidni 
Oxz
 
te k islik k a  parallel 
boMgan, 
у e
 [ -
b, b\
 
kesm ada  o 'zg aru v ch i,  y = p  te k islik la r  bilan  kesam iz. 
Kesimda ellip s hosil  boMadi:
-v‘ 

p 2  , 
p 2 
r\ 
x ‘
 
r 2
д ‘ 
c ‘ 
b‘ 
b~ 
a
с,"
Bunda ellip sn in g yarim  o ‘ qlari,
a, 
= ^ b ' - p - .
  Bu  k esim lam in g   y u z la ri,  p g a   bogMiq
boMgan,  ellip s bilan  ch egaralan gan  y u z a g a  teng boMadi:
S (p )= x a,b l  = ^ - ( b ‘ - p '‘ ).
О
form ula  b o 'yich a hisoblanadi.
143

s(p)
  k esim lam in g   yu zasin i 
(1 1 .1 )  form ulaga  keltirib   quyib, 
('jism n in g   hajm ini  topam iz:
' = 
-p '-W
 =2 
^ ] ( b ' - - P%
 = 2 ^ 1  
Ь ^ р -Е 1'Ф
-  — n abc.
3
I
Faraz  q ila y lik ,  у = 
f(x )
 
fu n k siya  [a,6]  kesm ada  an iqlan gan   va 
u zlu ksiz  bo‘ lib,  v.re[a, 
6] 
uchun  /(x)>o  boMsin. 
Y uqoridan 
y  = f(x ) 
fu n k siya  g ra fig i,  yon  tom onlardan 
x = a ,x  = b
 
v ertik al  to ‘ g ‘ ri  ch iziqlar, 
quyidan 
Ox
 
o ‘ qdagi  [a,6]  kesm a  bilan  ch egaralan gan   shaklni 
Ox
 
o ‘ q 
atrofida  aylan ish id an   hosil  boMgan  aylan m a 
т
  jism n in g   hajm i  (1 1 .2 - 
chizm a),
Vx = „]f'-(x)d x
 
(1 1 .2 )
form ula bo‘ y ic h a  topiladi.
A g ar 
D
  egri  ch iziq li  trap esiya,  yuqoridan  /(*),  pastdan  g(x) 
u zlu k siz  egri  ch iz iq lar  bilan,  yon  tom onlardan  esa, 


a
 
v a 


b 
to ‘ g ‘ ri  c h iziq lar  bilan  ch egaralan gan   boMsa,  uning 
Ox
 
o ‘ q  atrofida 
ay lan ish id an  hosil  boMgan aylan m a 
т
  jism n in g  hajm i  ( 1 1.3-chizm a),
v,  = n \ [f'{x)-g7(x^dx
 
(11-3)
form ula bo‘ y ic h a  topiladi.
11.3- chizm a.
у = 
y(x)
 
fu n k siya, 
\a,f)}
  kesm ada 
x = x(t),  y  = y(t)
  param etrik 
ten g lam alari  b ilan   b erilgan   boMsin.  Bu  fu n k siy a lar 
[a,p]
  da  u zlu k siz, 
v< e 
[a.ft]
  kesm ad a  >(/)> о  v a 
x(t)
  fu n k siya,  u zlu ksiz,  m an fiy  boMmagan 
x ( t )
 
h o silag a  e g a,  ham da 
a = x(a\  b = y(p)
 
boMsa,  u  holda, 
T
 
aylan m a 
jism n in g  hajm i,
144

lorm ula  bo’y ic h a topiladi.
A gar 
x(t)
  fu n ksiya 
[a,/ ?] 
kesm ada  kam ayuvchi  v a 
a = .x(a\  h --  yip) 
b o 'lsa,  u  holda,  yuqoridagi  shartlar  b ajarilgan d a, 
т
  aylan m a  jism n in g  
haj mi,
P
V = - x j y 2( t ) x( t ) d t
form ula bo’y ic h a  topiladi.
y  = * l y , {t)x(t)dt
 
(
11
.
4
)
11.4- chizm a. 
11.5- chizm a.
Oy
 
(x = o)o‘ q  atrofida  aylan tirish dan   hosil  boMgan  ^ a y la n m a  
jism ning  haj mi 
(1 1 .4 -,  1 1 .5 - 
chizm a),  yuqo rid agi 
(1 1 .2 ),  ( 1 1 .3 ),  (1 1 .4 )  
form ulalarga o ’ xshash  qu yid agi
d
Vy
 = я-Jg 
2(y)dy,
I'y  = n\[f'-(y)-g2b)]dy,
p
V = 
tt
\
x
 2(l)y{l)dt
a
form ulalar b o 'y ic h a  topiladi.
11.2 -m iso l. 
Q u yid agi, 
y 2  =2px,y = 0,x = a
 
ch iziq lar 
bilan 
ch egaralan gan   shaklni, 
Ox
  (y = o)o‘ q  atrofida  aylan tirish dan   hosil  boMgan 
aylan m a jism n in g  hajm ini  toping.
Y ech ilish i.  D
  soha,  yuqoridan 
y2 =2px
  uzluksiz fu n k siya  bilan, yon 
tom onlardan, 
x = a
  va  ,v = 

to’ g ’ ri  ch iziq lar,  pastdan  esa. 
Ox  (y = 0)
  o ‘ q
145

а

л  ра~
bilan  ch egaralan gan .  Endi, 
D
  egri  ch iziq li  sohani 
Ox
  (y = o)o‘ q  atrofida 
aylan tirish d an   hosil  boMgan  a ylan m a  jism n in g   hajm ini,  (1 1 .2 )  form ula 
b o 'yich a h iso b laym iz:
2
Vx
 = 
я j y 2dx = x j2  pxdx = 2pn —
2
  0
1 1.3-m iso l. 
Q u yid agi, 
x = a
 
(r-sinf), 
у = a
 
(l-cosr),  (l < r <2/r),y = 0 
ch iziq lar 
bilan 
ch egaralan gan  
shaklni 
o.v(y = o) 
o ‘q 
atrofida 
aylan tirish dan   hosil  boMgan  ay lan m a jism n in g  hajm ini  toping.
Y ech ilish i. 
A ylan m a jism n in g  hajm ini  (1 1 .4 ) form ula  b o 'y ic h a 
topam iz:
~*
 
•> 
2* 
~*( 
i
 V
Vx
  = 
я
 j* л * (l —
 cos /)х fl(l —
 cos 
t )dt =яа'
 J(l-co s()'A  =8 
л а'
 Jj sin: — 
dt
 =5 
яа\
о 
о 
oV
1 1 .2 . 
Q u tb  
k o o rd in a ta la r  sistem asida 
b e rilg a n  
a y la n m a  
jism n in g   h a jm in i  hisoblash . 
A g ar 
ab
  egri  ch iziqn in g  ten g lam asi  qutb 
koordinatalar  sistem asid a 
r  =  r(ip), 
o< a 
< q > <  

<
2
n
,  k o 'rin ish d a  b erilgan  
b o 'lib , 
[a,p\
  kesm ad a 
r(

  -  u zlu ksiz  b o 'lsa ,  u  holda,  qutb  nuri  atrofida
T =
 {('%p) 
a
  aylan m a  sektorning hajm i,
V  =  ^ j - j  r''(/p)sm 
(11-5)
form ula  b o 'y ic h a  topiladi.
A g ar 
ab
  egri  chiziq  ten g lam asi  qutb  koordinatalar  sistem asid a 
r = r(

  - y < a < p < / ? < y ,  k o 'rin ish d a  berilgan  b o 'lib , 
[a.p]
  kesm ada 
r(

uzluksiz 
b o 'lsa , 

holda, 
«» = -  
qutb 
nuri 
atrofida
7  = |(/%?>): 
a <

  aylan m a sektorning hajm i,
v  = ^ y \ r 3(

form ula b o 'y ic h a  topiladi.
1 1.4-in iso l.  Ushbu  r = a(l + cos<3)  kardiodaning  qutb  o 'q i  atrofida 
aylan tirish d an   hosil  b o 'lg an  ay la n m a  jism n in g   hajm ini  toping.
Y ech ilish i. 
r = a(i + cos«?)  kard io d an in g 
qutb 
o 'q i 
atrofida 
aylan tirish d an   hosil  b o 'lg an   ay lan m a jism n in g  hajm ini,  (1 1 .5 )  form ulaga 
ko 'ra,  topam iz:

= — jV ((p )sin (arfp  = —  | а 3(1 -со л ^ У  sin 
tpdtp
 =
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling