A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet27/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   23   24   25   26   27   28   29   30   ...   39

(x+y)sin — sin— 

у
<|*|+|yj<2£=s. 
Bundan, 
ta ’ rifg a 
k o ‘ ra,
lim/(x, v)=lim(x+v)sin—sin— = 0  e k an lig i  kelib  chiqadi.
x—>0 
’  
x-+ 0 
x
 
V
V-+0 
y - * 0
Shunday  q ilib ,  b erilg an   fu n ksiyan in g  M->o  da  ch eksiz  k ich ik  
fu n k siya ek an lig i  isbotlanadi.
19.7- 
misol. 
U shbu  /(x,y)= (x+ y)sin -sin -  fu n ksiyanin g  0(0;0)

у
nuqtada takro riy lim itlari  m avju d m i?
Yechilishi. 
limlim/(x,y)- 
takro riy  lim itning 
ljm 
/ (x ,y)-ic h k i
y * 0 , бглтланган
lim itin i  q araym iz. 
A w a lo ,  berilgan  
f ( x , y )
 
fu n ksiyani  q u yid agich a 
tasv irla ym iz:  /(*,>•)=xsin--sin-+  v sin -s in -.  Bunda,  b elgilan gan   v*0
X V  
X V
uchun, 
birinchi 
q o 'sh ilu v ch in in g  
*->o 
dagi 
lim iti, 
y a ’ ni 
limx-sin—sin—=0; 
ikkin ch i 
q o 'sh ilu v ch id ag i 
y -s in - 
ko 'p aytuvch i,
« «  

у 
у
v * —(n<=z)  boMganda,  noldan  farq li  o 'zg arm as  son,  sin-  ko 'p aytuvch i

x
esa,  ^ -> o d a lim itg a eg a em as,  dem ak,  ikkinchi  q o 'sh ilu vch i  lim itga ega 
boMmaydi.  U   holda,  /(*, v)=*sin-  sin—+ v sin -sin -  funksiya,  belgilangan

у   ' 

у
у  ( у -t- о, у 
ф
 пж)  uchun,  .t -> о  da  lim itg a  eg a  boMmaydi.  Shunday  qilib, 
ichki  lim it  m avjud  em as,  shunga  k o ‘ ra,  limhmf(x,y)  takroriy  lim itning
m avjud  em asligi  k elib   chiqadi.  X uddi  shunday,  lim lim 
f { x , y )
 
takroriy 
lim itning ham  m avjud em aslig in i k o 'rsatish  m um kin.
1 9 .5 -
eslatma. 
1 9 .6 - m iso lda 
/(x,y) = (x+y)sin-  sin -  funksiyaning

у
o(
0
;
0

nuqtadagi  k arrali  lim iti  m avjud  va  uning  nolga  teng  ek an ligi 
isbotlangan  edi.  19.7-m isolda  esa,  uning  takro riy  lim itlarin in g  m avjud 
em aslig i  k o 'rsa tild i.  D em ak,  fu n k siyan in g  nuqtada  k arrali  lim iti  har 
doim   m avju d ligid an ,  u n in g  shu  nuqtada  takro riy  lim itlari  m avjud ligi 
kelib ch iq m asligi to ‘ g ‘ risid a x u lo sa chiqarish m um kin ekan.
227

19.8-  m iso l. 
f(x,y)=  
2^  2  fu n ksiyan in g  0(0;0)  nuqtadagi  takro riy
lim itlari ni  hiso b lan g.
Y c c h ilis h i.  T ak ro riy  lim itlarn i  topam iz:
lim  lim  / ( x , y )  =  lim
(
>
lim
lim
2
 
xy
= lim f 4 1
x -* 0
i - » 0
x2
  +  v 2
Xuddi  sh u n d ay, 
i i m i i m / ( . r , . v ) = o  
ek an lig in i  ko ‘ rsatish  m um kin.
1 9 .6 -e sla tm a .  19.2-  m isolda  f ( x , y ) = - ~ - -   fu n k siyan in g  
0
(
0
;
0
)
x + y
nuqtada  karrali  lim iti  m avjud  em aslig i  k o 'rsa tilg an   ed i.  D em ak,  19.2  v a 
19.8 
m iso llarga 
asosan, 
b erilgan  
nuqtada  takro riy 
lim itlarn in g  
m av ju d ligi  va  u larn in g   ten g ligid an ,  bu  nuqtada  fu n k siyan in g   karrali 
lim iti  m avju d ligi 
har  doim   k elib   chiqaverm as  ekan,  degan   xu lo sa 
chiqarish  m um kin.
19.6-  m iso l.  U shbu
X  — у
 + 
X*
  4- 
у 2
/(*•>■) =
X +   V
у ф -х   bo'\%anda.
О, 
У = 
- x  bo' \ganda,
funksiyaningx-> 0,  y->o  dagi  takro riy  lim itlarin i  hisoblang.
Yechilishi. 
у
 
b elg ilan g an   v a  у * 0  boMsin.  U  holda,

x — y  + x 2 + y 2 
 V+ V* 

lim f(x , v) = lim — =
----------=
— = —— -— = -  I + v\
Г-.П  
• 
М О  
x   +   y  
у
bundan,  limflim
f ( x ,
 
v)] = lim(-i+ v) = - l   boMishi  kelib  chiqadi. 
Endi  *
v-*0  I
-*0
 

v-*0 

*
b elgilan gan   va 
х ф О
 
boMsin.  U  holda,
.. 
r , 
■,  ..  x - y  + x 2 + y 2 
лг + дг
2
lim 
f{x ,y )=  
Inn
---- -----------—  = -------- = 


,
y
,
,-.0 
v-*0 
x + V 
,Y
bundan  limfiim 
f(x , 
v)l = limfi + .
y
) = l  boMishi  kelib  chiqadi.
Д--Ю
  J’-M) 
x
—>0
Shunday  q ilib ,  b erilgan   fu n k siyan in g  takro riy  lim itlari  m avjud, 
lekin  ular o ‘ zaro  teng em as.  v a ’ ni  iim[lim/(*,; )] 
ф
 
iim[iim 
f(x ,y )\ .
’ 
x-+0  y
-¥0
 

-»0
  x
-+0
1 9 .7 -e slatm a.  19.6-  m isoldan  ko ‘ rin ad iki,  fu n k siyan in g  karrali  va 
takroriy  lim itlarin in g   teng  boMishi  uchun,  maMum  sh artlam in g 
b ajarilish i  kerak boMar ekan.
1 9 .2 -teo rem a. 
u = f{ \ f)
  fu n k siya  {M} = f c y ) e  
R2
 :|.y-.y°|«/„|y-y°|
 
to 'p lam d a b erilg an  boMib, 
у  
q u yid ag i  shartlam i  qanoatlantirsin:
228

1) 
(.r,.v )-> (.r°,y°) 
da  f(x ,y )  funksiyaning 
lim 
f { x , y ) =  
в karrali  lim iti 
m avjud;
2)  har  bir  tayin lan gan   *  da 
lim
f (x,y)=
 
m avjud, 
har  bir 
tayin lan gan   r d a  
lim
/(.r,
v) 


 
m avjifd b o 'lsin .  U  holda 
lim  lim  
f ( x , y )
 
va
'  
*->x° 

x-*x° y-* y
lim   lim  
f { x , y )
 
takroriy  lim itlar ham  m avjud  va ular  в  ga teng bo‘ ladi.
*-»x° y-> y°
N atija.  19.2- teorem aning  shartlari  bajarilganda,
lim 
im / (* ,> )=   lim  lim / ( x ,y )
y-»r°
m unosabat o ‘ rinli.
M ustaqil yechish  uchun  m isollar
Q u yidagi  lim itlam i  hisoblang:
19.1. 
lim 
e’ cosx. 
19.2. 
lim —'

19.3. 
lim 1п|дг + v + r|. 
19.4. 
lim —
sm 
xy
-» 0  
X
19.5. 
lim  
19.6. 
lim(l + x v : )
x’y
19.7. 
lim  
°X + 
hy 
19.8. 
lim
- 1
  + 1 J
.x  + У 
J l S  x  + 'V
19.9.  Hm,X- у --.. 
19.10.  lim(jt + >)~^
U
3
  +  v
3
 
r_>ac
y-*x |  I  |-  | 
y-*
19.11. 
lim(x" 

v ‘ |
r—
>04 
'  '
y-+ 0
19.12.  Ushbu 
lim 
f(x,v)  ni  hisoblang,  bunda
X
  * 
- , x ! y  Ф
 0 
bo'\%anda
,
J\ + x 2y - \ ’
2, 
x ' y
 = 0 
bo'\ganda.
Q u yid agi  karrali  lim itlam i  hisoblang:

19.17.  Iim(l + JC!V, )?^T. 
19.18.
£S 

^ ( * : + / )г
19.19.  Iim(x3 + v2)sin^-!—
*-* 
X'
 + 
у
У-+ЯВ
19.20.
  Ushbu 
lim 
f ( x , y )
 
ni  hisoblang,  bunda
v-*
 I
I x
2
 
+ 2x y -3 y 2
/ M =


,  x *  у   bo’lganda, 
x  - y
[4/3 

x
 = 
у  
bo'\%anda
Quyidagi  karrali  limitlaming mavjud emasligini  isbotlang:
19.21.  lim—

19.22.  l i m ^ .
X +
 V
>—
*0
19.23.  lim ^ - ^  
19.24.  lim1-n^  + -v).
x~+y  
^1, 
у
\
x* +y1
19.25.
  Ushbu 
f{ x ,y )= p T 7 ’  (* ’ ,,) ,t ( 0 ’0) 
6o'lga"
[0  , 
(jr.y) = (0,0) 
bo'\ganda.
funksiyaning  (0, o)  nuqtada karrali  limiti  mavjud emasligini ko‘ rsating.
19.26.
  Ushbu
x+y
1н-----— I  , x + y * 0  
bo'lgaiida,
X +
 V
x  + y  = 0  bo'lganda
fu n k siyan in g  
*->«>, y->co 
d agi  karrali  lim iti  m avjud  em asligin i 
isbotlang.
Q u yid ag i 
lim   lim / ( * ,у )  
v a  
lim   lim f { x , v )
 
takro riy  lim itlarn i  hisoblang:
x~*x  y - * v  
y-> y°  x~*x°
1 9
.
2 7
.  
f
( x ,  v )   =  
=   o ,  v °   =   o .
x  - x y  + y*
1 9
.
2 8
.  
f ( x ,
 
v )   =  
x °
  =  
o, 
v° 
=  
o.
2х + у
1 9
.
2 9
.   / ( , . , )   =  
x °  =
 
o, 
v °   =  
0.
X~
  +   V '
1 9
.
3 0
.   / ( * ,  
y )
 
=  
4
±
4
,  
X °   =   00 ,  V °   =   00
Х - + У 4
1 9
.
3 1
.   / ( x ,   v )  =   —


X°  —
  oo,  v ° =
0
.
1 + 
xy
1 9
.
3 2
.  
f(x,y)=  sin—

 

x " = o o ,   v ‘ ' = o o .
2x 

y
1 9
.
3 3
.   / ( * ,  
v) 
=   —
< g  
—  

AT°  =
0
,  V °   =   oo.
xy 
l + xy
2 3 0

19.34.
 
f(x, 
у )  = lo g , 
(x
 + у ) , 
 
= 1, 
у "
  = 0.
19.35. 
f(x ,v )= smix+‘g2>’tg- *
L,  ^»=0,  v°=0.
6
*  + 3y 
l + xy
Quyidagi  berilgan  funksiyalarning 
(r°, y ° )  
nuqtada  karrali 
va 
takroriy limitlari  mavjudmi?
19.36. 
J(x,y) 
=
 4 ^ 4 .   *° 
=
0
,  y ° =  
o.
X
  + V"
19.37. 
f( x ,y )  =
 logv(x + v),  *° = U  v° = 0-
19.38.  /(:t,v)=sinx+sin-,  *°=o,  v° = o.
x + y
M ustaqil yechish  uchun  m isollarning ja v o b la ri
19 .1. 
19.2.  0,5.  19.3.  l.  19.4.  a.  19.5. 
2
.1 9 .6 .  e3. 19.7.  o.
19.8.  о  19.9.  о  19 .10 .  о  1 9 .1 1 .  о  19 .12 .  2.  19 .19 .  о.
19 .14 . 
о  19.15. 
о  19 .16 .  о  19 .17 . 
1. 
19 .18 .  о  19.19. 
1.
19.20. 
19.27.  1 , 1 . 1 9 . 2 8 .  
L ,   L
  19.29.  I   va  1 . 19.30. 
0
  va  i.
.3  
2
 
3 '  
2 2
19 .3 1.  -   v a  i.  19.32.  о  va  l.  19.33.  о  va  l.  19.34.  l  va  ■».
2
19.35. 
j
  va 
19.36. 
Karrali 
limit  mavjud  emas, 
lim  lim  
f ( x , y
) = - l  
va 
lim  lim 
f ( x , y ) =
 I. 
19.37.  Karrali  limit  mavjud  emas, 
lim lim  
f ( x .
 v)=  1 
va 
lim lim / (x , v)=  ®.
v-»i  V-.0 
y-M
 »-.! 
J  X
19.38.  lim 
fix, 
y)= limlim 
/(x, v) 
= limlim 
fix, 
v) = I.
x-w) 

•  ’  
r-M) y -w l 
'  
■  '  
y - M li- м  
'
)-*>
20-§.  K o‘ p o'zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi
20.1.
 
Uzluksiz funksiyaning  ta ’ rifla ri. 
» = f[M)  fu n k s iy a   { W | c r  
to‘ p la m d a   b e rilg a n   b o 'lib ,  A = A(a„a2,...,am)  n u q ta  {M\  t o 'p la m n in g   lim it 
nuqtasi  v a   Ae{M}  b o 'lsin .
2 0 .1 -ta ’ rif.  A gar  м  -> a  da  и= /(.w)  fu n ksiyan in g  lim iti  m avjud 
b o 'lib ,
lim / ( M )  

/(/f) 
y o k i 
lim 
f{xl,x2,...,x j= f(a l,a3,...,aj
f-* A
x1~*a 1
b o 'ls a ,  u  h o lda  f(M )  f u n k s iy a   A  nuqtada  uzluksiz  deb  a ta la d i, 
a
 =  Hm  M
b o 'lg a n i  uchun,  f u n k s iy a n i n g  u z lu k s i z lik  shartin i,
231

ko ‘ rinishda  ham yo zish   m um kin.
{,w* 
to 'p lam n in g  fu n k siya  u zlu k siz lig i  shartini  qanoatlantir- 
m ayd igan   nuqtalari  fu n ksiyan in g uzilish nuqtalari d eyilad i.
2 0 .2 -ta ’ r i f  (G eyn e  ta ’ rifi).  A g ar 
to 'p lam n in g  nuqtalaridan 
tu zilgan ,  a  g a   intiluvchi  har  qan d ay  {A/,,}  ketm a-ketlik  o lin gan d a 
ham,  unga  mos  kelgan  
{f(M
J}  ketm a-ketlik,  ham m a  vaqt  / (
a
)  g a  teng 
b o 'lsa ,  /(a/)  fu n k siya  a  nuqtada  uzluksiz deb atalad i.
2 0 .3 -ta ’ rif.
 
(Koshi  ta ’ rifi).  A g ar 
V t> o s o n   uchun,  s h u n d a y   
to p ilsa k i, 
р (м ,л )< 8  
te n g s iz lik n i  q a n o a tla n tiru v c h i  barch a  A/e{M| 
n u q talard a,
te n g siz lik  b a ja rilsa , 
)
  fu n k siya  a  nuqtada  uzluksiz deb ataladi.
A g ar 
f{M)
  fu n k siya  {A/}  to 'p lam n in g  har  b ir  n uqtasida  u zlu ksiz 
b o 'lsa , u  holda  /(л/)  fu n k siya  {A/}  to'plamda uzluksiz d eyilad i.
U shbu  Д
н
 = / (
а
/ )-/ (
л

ay irm a g a  
/(л/) 
fu n k siyan in g 
a 
nuqtadagi  orttirm asiyoki to'liq  orttirmasi d eyilad i.
A 
v a  
м  
nuqtalar, 
mos 
ravish d a, 
alta7,...,a„ 
v a 
x,,xj,...,x„,k
0 0
rd in atalarga eg a b o 'lsin .  Ushbu
or,  -<
3
i  = Д х,, 
x2 - a 2  = Ax2,...,xm- a m = Axm 
b elgilash lard an   fo yd alan ib ,  fu n k siya  argum en tlarin in g 
Д х ,,Д х
2
,...,Дх„, 
o rttirm alariga  moc  keluvchi  orttirm asi  uchun,
Au = f ( a t  + Д х ,,  a 2 + Ax2 ,..., a m + Дх„,) -  / ( a , , 2,..., a„ ,) 
ifodani  h o sil  q ilam iz.  R avshanki, 
u = f(M )
  fu n k siyan in g 
a
  nuqtada 
u zlu k siz  b o 'lish i  uchun, 
uning  orttirm asi 
a
  nuqtada  ch ek siz  k ich ik  
b o 'lish i  zaru r v a  y e ta rli, y a ’ ni:
lim  
Ди = 
lim 
Д/ = 
lim 
(/(Л/)-/(/()) = 0  yo k i 
lim  
Ди = 0 
(2 0 .2 )
A / -M  
М - * Л  
k ( - * A
 
7/ 
J
 
Д х,-Й ) 
4  
7
Дх, ->0
Дхж—
И)
b o 'lish i zaru r v a ye tarli.  (2 0 .2 ) sh artga  и = /(лг)  fu n k siyan in g  
a
  nuqtada 
u z lu k siz lig in in g  ayirma shakli deyiladi.
K o'p 
o 'z g a ru v c h ili 
fu n k siyan in g 
bitta 
argum enti 
b o 'y ic h a  
(q o lgan lari 
b elg ilan g an   deb)  u z lu k siz lik   tushunchasini  ham   kiritish 
m um kin. 
Bu 
tushunchani 
kiritish  
uchun, 
и
 = /(a/) = /(x,,x2, ...,x j 
fu n k siyan in g,  u n ing  an iq lan ish   so h asig a  te g ish li  A/(x,,x,,...,xj  n uqtadagi, 
xususiy  orttirm alari  deb  ataluvchi  tushunchalarini  k iritam iz.  Boshqa
Hm /(AY
)
 = /(lim  А/) 
( 2 0 . 1 )
23 2

argum entlari  b elgilan gan   deb  qarab,  funksiyaning  birinchi  argum entiga 
A x, 
orttirm a beram iz.  Ushbu
x,  + A t, , 
x , ......
xm
koordinatalarga  ega  b o 'lgan   nuqta  funksiyaning  an iqlan ish   sohasida 
yotsin.
Bu  orttirm a,  funksiyaning 
A/(. x, , x, , . . ., xJ 
nuqtadagi,  x  argum entning 
Ay,  orttirm asiga  mos  keluvchi,  xususiy  orttirmasi  d e y ilad i  v a 
kabi 
b elgilan ad i:
x u = 
/ ( x ,  
+ Ат,

X;
......x „ ,
) -  
/ ( x , . x , .......
x m
)
.
F u n ksiyan ing  qolgan  argum entlari  orttirm alariga  mos  keluvchi 
x u su siy  orttirm alari  ham,  shunga o‘ xshash  aniqlanadi:
A
ri U =
 /(-X,
, x 2
  + A
t ,
xm )
- / ( x ,
, x 2
......x  J
Д* 
u = f ( x l , x 2,...xm +Axm) - f ( x l, x 2, . ..,x„).
A gar  Дх4  —
> 0  da  fu n ksiyanin g  лx j   x u su siy  orttirm asi  ham  nolga 
in tilsa,  y a ’ ni 
lim   A i , /  = 0 
b o 'lsa , 
/ ( x , , * , ,  
fu n ksiya 
m
(
x
, ,
x
, , . . . ,
x
, J
A x*-X I
nuqtada x*  о ‘zgaruvchi bo ‘yicha  uzluksiz d eyilad i.
2 0 .1 -e s la tm a . 
A g ar 
/ (x ,,x 2.... x j  
fun ksiya 
[M)
nuqtada  (b ir  y o 'la )  u zlu ksiz  b o 'lsa,  fun ksiya  shu  nuqtada  har  bir 
o ‘zgaruvchi  b o 'y ic h a  ham  u zluksiz  b o 'lad i,  lekin  fu n ksiyanin g  biror 
nuqtada  har  bir  o 'zgaru v ch i  b o 'yich a  x u su siy  u zlu ksiz  bo 'lish id an, 
uning  shu  nuqtada  (b ir  y o 'la )  uzluksiz  b o 'lish i  har  doim   ham  kelib 
ch iqaverm aydi.
2 0 .1 -  m isol.  Ushbu
X  + X'
 V*  + V
-— ,  ( x .y ) *  (0,0) 
bo'\ganda.
X  + y
(x ,y )= (0 ,0 ) 
bo'\ganda
fu n ksiyanin g 
R 2
 
da  u zlu ksiz ekan ligin i  ko 'rsatin g.
Y e c h ilis h i.  v(a.6)e R: 
{(a, b)*
 
(0,0)) 
nuqtani  olam iz:
,
 

x 4 + x 2v :  + v 4 
a*  + a 2b 2  + b* 
,  ,s
lim / ( x ,y )  = Inn-------   - 
--  -  = ------- j— ;----- = 
f ( a , b
)
*-*. 
x  +  v 
a  +b~
y-> b 
y -* b
te n g lik  o 'rin li  b o 'lad i.  Bu  esa,  berilgan  funksiyaning  2 0 .1 -ta’ rifg a  ko 'ra, 
(.и,b)  nuqtada u zlu k sizlig in i  bildiradi.
233

Endi,  berilgan  funksiyaning  (0;0)  nuqtada 
uzluksiz  ekanligini 
ko‘ rsatamiz. 
Buning 
uchun 
quyidagi 
almashtirishni 
olamiz:
Х —
 ГООЬф,  V = rS\l\

Iim/(x, v)= lira f{rcostp, r%m
=
 lim#-: (cosJ  + sin4 
x-*0
>-*o
Demak,  lim/(x,v)=/(0;0)=0.  Bundan  /(r.y)funksiyaning  (0;0)
x-**t
y-*0
nuqtada uzluksiz ekanligi kelib chiqadi.
20.2-  misol. 
Ushbu 
/ ( x , y ) = 2 x - 3 y + r  
funksiyaning  я 2  da  uzluksiz 
ekanligini  ko‘rsating.
Yechilishi 
>o  songa ko‘ra,  s  
= -
 
deb 
olinsa, u holda,
6
p ( M ( x , y , r \ M (l(xa , y 0,=Q) ) = J ( x - x o y  + ( y - у лУ
  + ( r - r „ y  
< 8
tengsizlikni qanoatlantiruvchi 
\/M(x,y,:)e Rm
  nuqtalarda.
[f(x, 
-V,
: ) f i x „, y„
, r „
)(
= |(2x 
-  
3.v + r )  -  
(2x„ -  3y„ + 
-,)| < | 2 (r - x„ 
)| 
+
+ ф '
-Уо\ + \---о1^6у/(х-х„У + C v-y„y + { :- :„ y   <68  = e 
tengsizlik  o ‘ rinli  boMadi.  Bundan,  20.3-  ta’rifga  ko‘ ra. 
/ ( x ,> ) = 2 x - 3 y + r  
funksiyaning 
\/M„(x„,y0, : a) 
nuqtada uzluksizligi  kelib chiqadi.
20.3-misol.
  Ushbu 
fix , 
v)=  x.~2v+4  funksiyaning 
VM0{x0,v0)e 
R2
x
  + 
у
  + 3
nuqtada  uzluksiz ekanligini  ko‘rsating.
Yechilishi. 
A/„(x0; y 0)  
nuqtaga 
Дх, 
лу
  ortirmalar berib,  berilgan 
funksiyaning toMiq orttirmasini topamiz:
4 / t * o > J 'o )  =   / ( * o   +  д * .   Vo  + A j ' ) - / ( ^ o . - l ' o )  =
(jc,,  + Д х)-  2 (y0  + Д у) + 4 
x(, 
-  2
y„ + 4
  _
(x0 + Дх)2  + ( y 0 + Д у)2  +3 
x 2  + Уо  + 3


J 'o  
+ з)[(*„ 
+ Д х ) -  2(у„  + Д у) + 4 ] -  (х„ - 2у„  + 4)[(х0  + 
Ах)2
  + (у„  + Д у)’  + 3]
(*,!  + 
У1
  + з ) ( х 0  + Лх):  + (у„  + Д у)2  + 3]
Bu  tenglikdan   Нтд/(х0,у0)=о  e k a n lig i  k elib   ch iqad i.  (20.2)  shartga
Д>>-*0 
*
k o ‘ ra,  b erilgan   fu n ksiyan in g 
V M 0(x0, y 0) 
nuqtada  u zlu k siz  ek an ligi  kelib 
chiqadi.

Katalog: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r

Download 9.01 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   23   24   25   26   27   28   29   30   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling