A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


-   m iso l.  Ushbu /(*,>’)= - 7 .  ,  x4   + г'4  ф  0  bo'Xganda,  x


Download 9.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet28/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   ...   39

20.4-
  m iso l.  Ushbu
/(*,>’)=
- 7
.  , 
x4
  + г'4 
ф
 0 
bo'Xganda, 
x  +y
0, 
x*
  + y 4  = 0 
bo'\%anda
234

funksiyaning 
0
(
0
,
0
)  nuqtada  har  bir  o‘zgaruvchisi  bo‘yicha  uzluksiz, 
ikkala o‘zgaruvchisi  bo'yicha bir yo'la uzluksiz emasligini ko'rsating.
Yechilishi. 
/ ( x ,y )  
funksiyaning 
0
(
0
,
0

nuqtadagi 
xususiy 
orttirmalarini  qaraymiz:  x  bo'yicha xususiy orttirmasi
Д 
,11
 = /(Дх,0) -  /(0,0) = 0 - 0  = 0.
R avshanki,  lim л  « = 0.  Bundan 
f { x , y )
 
funksiyaning 
0
(
0
,
0

nuqtada  *
Ar-*0
argum ent b o 'y ic h a  u zlu k sizlig i  kelib  chiqadi.
X udi  shunday,  /(x.y)  fun ksiyanin g 
0
(
0
.
0
)  nuqtada 
у 
argum ent 
b o 'y ic h a  ham  u zlu k sizligi  k o 'rsatilad i.
Endi, 
/(x,y) 
fun ksiyanin g 
0
(
0
.
0

nuqtada 
ik k ala  o 'zgaru v ch i 
b o 'y ic h a  b ir  y o i a   u zlu ksiz  em asligin i  ko 'rsatam iz. 
M (x ,y )
 
nuqta 
0
(
0
,
0

nuqtaga, 
0
(
0
,
0

nuqtadan  o 'tuvch i 
у  

fct 
to 'g 'r i  c h iziq lar b o 'y lab   intilsin. 
U  holda.
x V  
A-V 
к2
ИГЛ —:—:---г = I'm—----
7—7
 =
-----
1
x* 
+  v  
*-*x4+k4X4 

4- 
к
v
-*0
D em ak, 
M{x, y)
 
nuqta,  turli  to 'g 'r i  ch iziq lar 
( k
 
ning 
har  xil 
q iym atid a)  b o 'y ic h a , 
0
(
0
,
0
)  nuqtaga  intilgan da  lim itn in g  qiym ati  turlicha 
b o 'lad i.  Bu  hoi,  q aralayo tgan   lim itning  m avjud  em asligin i  bildiradi. 
Shunday  q iiib ,  berilgan  fu n ksiyanin g 
0
(
0
,
0
)  nuqtadagi  karrali  lim iti 
m avjud em as ekan.
20 .5 -  m iso l Ushbu
i
C O S .r-C O S J- 
л 
1
  II 
,
----------------- , 
x -  у
 *  0 
b o
  Ig 
a n a a
,
x - y
0, 
x - y  = 0 
b o ' l g a n d a
fun ksiyani 
0
(
0
,
0
), 
л ф - )   nuqtalarda 
har  bir  argum enti  va  ik k ala
argum enti  b o 'y ic h a  b ir y o 'la   u zlu k sizlik k a tekshiring.
Y e c h ilish i.  K osinuslar ayirm asi  form ulasidan  foydalanib,  berilgan 
funksiyani  q u yid agi  k o 'rin ish d a yo zib  olam iz:
/(x,y)=
_  . 
X + у   .  x -  v  
-2 s in -----—s in -----—
------------
-
------------
2
— _  л-  -   v ^  
0
 
b o 'lg a n d a ,
x
 -  у
l, 
л —у = 0 
bo'lganda,

X -


 
t
sin ---- — 
s i n -
1 )  lim / (x , y )  = — lim sin  —^-lim — .....- — = - lim s in  *  + -   lim ——-  = 0 1  = 0 = / (0 ,0 )
’ 
x
-
mj
 v  J ’ 
i-»o 
2
 
x —v 
*-*" 
2  <-">  I
x - y
 
x-rt 
2
2
  ~  
2
235

D em ak,  /(.г,у)  fu n k siya 
0
(
0
;
0
)  nuqtada  ik k ala  argum enti  b o 'y ic h a  
bir  y o 'la   uzluksiz.  U  holda,  20 .1 -eslatm aga  asosan,  har  bir  argum enti 
b o 'y ic h a   ham   uzlu k siz b o 'lad i.
• 
x ~ у
2
)
lim 
f ( x , y )  =
 - lim s in ( x  + >’)lim -
x~y
2
=
 -1,
lekin 
J = o  b o 'lg an i  uchun, 
f { x , y )
 
fu n k siya 
nuqtada
ik k ala argum enti  b o 'y ic h a  bir y o 'la  u zlu ksiz em as.
- 2 s in -
Ushbu 
f \ x , j
П  
К  
X  +  —  
X
-------


- s i n -
---------- - — , 
x Ф
 — 
bo'
 lg 
anda,
я
 
4
x = —  bo' \ganda
fu n ksiyani  q araym iz.  F u n ksiyan in g b erilish ig a k o 'ra ,  v*  uchun 
/(*,^1 = 0, ju m lad an ,  u  x = ^   da ham  n o lga teng b o 'lad i.
П 
71
x -i
—  
x
 —
lim У'^лг, —  j =  lim -
л 

4
-  2 s in ----- —s in -----

X-
*■ 
4
Jl
X
-------
4
x  + — 
s in -----
1
 

?
- —  = -  lim sin  ■

■■ 
lim -------- —

2 
4  4 )
D em ak, 
fu n k siya  x = ~  da u zlu ksiz em as.
Endi
к
7 + y
- 2  sin —------sin
2
я
~\~У
2
я
4 ~ У
0.
i
,  v 
Ф —  bo'
 lg 
a n d a

4
funksiyani  q araym iz.  F u n k siyan in g b erilish ig a  k o 'ra ,  Vy  uchun,
lim / 1 — , y   |=  lim -
я  
я
+   y  
у
->  ■
  4 
- 4  
— 2sin  —------sin

т 

4 ~ У

.
 
4
------- 
------
h У  
S i n
——
- —  = -  lim sin —------ lim -----------
2 3 6

Л
л
=- £ *
а и
, 1  |=о.


1  4  4  ,
D em ak,  / (Д -J’j   fu n k siya  y = -|  nuqtada uzluksiz em as ekan.
20 .6 -  m iso l Ushbu
/ M =  
v
X  + y
fu n ksiyanin g uzilish  nuqtalarini toping.
Yechilishi.  B erilgan   fu n ksiya.  kasr  rasional  fu n ksiya  b o 'lib ,  uning
surati  ham,  m axraji  ham  u zluksiz funksiyalardan  iborat.  Shuning uchun,
fu n ksiyanin g  uzilish   n uqtalari,  *’ + y'= 0  shartni  qanoatlantiruvchi
nuqtalardan  iborat boMadi.  Bu tenglam ani  у  ga nisbatan  echam iz:  y= -x.
Shunday  q ilib ,  b erilgan   fun ksiyanin g  uzilish  nuqtalari,  y = - r
t o 'g 'r i ch iziqn in g nuqtalaridan  iborat ekan.
x„ 
ф
 
o.  y„ # o v a  
x„4
  vv, 

0  boMsin.  U holda,
x + v
 

1
lim ——
=  lim -
.
x + y  
x ‘ -  xy + y -
 
x0  -  
x0y 0
  + y 0
.V-».V„ 
У~*Уи
D emak,  у = -.т(х*о )  to‘ g ‘ ri  chiziqning  nuqtalari,  f(x,y) -
fun ksiyanin g y o ‘ qotilishi  m um kin boMgan  (birinchi  tur)  uzilish  nuqtalari 
boMar ekan.
.. 
x + v
 
.. 
1
lim——
= Inn —r-----------
7
 = +CO
x + y
 
^  X  -  
xy
 +  V *
m unosabatdan esa,  o(o,o)  nuqta berilgan  funksiyaning cheksiz (ikkinchi 
tur) uzilish  nuqtasi  ek an ligi  kelib  chiqadi.
20.2.  U zlu k siz  fu n k siyalar  ustida  arifm etik  am allar.  M urakkab
fu n ksiyan in g  u z lu k siz lig i. 
и = f{M)  va  v = g(\f)  funksiyalar
to‘ plam da  berilgan,  Л е « “  nuqta  esa, 
{M}
  to'plam ning lim it nuqtasi
va 
Ae{M
!  boMsin.
20.1-teorem a.  A g ar  / (M)  v a  g(M)  fu n k siyalar  A  nuqtada  uzluksiz 
>a,  f(M)±g(M),  f(M)  i 
nuqtada u zlu k siz b o 'lad i.
b o 'lsa, 
f(M)  g(M)  ham da 
fu n k siyalar  ham  shu
g \M
)
237

2 0 .2 -e s la tm a . 
Ikkita 
fu n k siyan in g  
y ig 'in d is i, 
a y irm a si, 
k o 'p aytm asi  va  nisbati  u z lu k sizlig id a n ,  ulardan  har  b irin in g  u zlu k siz lig i 
har doim   ham   kelib  ch iqa v erm ayd i.
2 0 .7 -in iso l. 
Ushbu 
{ m} 
= 
{ (x ,y )e   R 2
  :|*)< 
l y
 < i}<= 
R 2
 
to 'p lam n in g 
rasional  nuqtalari  (  har  ik k a la   koordinatasi  ham   rasional  son)  to 'p lam in i 
(л/;, 
j deb b e lg ilay m iz .  {m}  to 'p lam d a
f t
 
л  
_ J 1, 
(х’У)е {м ?1
(о,  {х,у)^{м}/\м r x
v a
A(x,y)=
-1, 
( x , y ) e { M „ }
0,  (r,y)e 
{
m
}
i
[
m
p ) 
fu n k siya lam i  q araym iz.  B u fu n k siya larn in g  y ig 'in d is i
/ ( * ;.y )+ / j(r ,y )  = 0  ((x ;v )e  {Л/}) 
b o 'lib ,  u  shu  to 'p la m d a  u zlu k siz,  lekin  /,(дг;у), /2(х ;у )  fu n k siyalarn in g  
har biri  {m}  to 'p lam d a u zlu k siz em as.
2 0 .3 -e sIatm a. 
Y u q o rid agi 
20.1-teo rem a  q o 'sh ilu v c h ila r  soni 
ix tiy o riy   ch ekli  b o 'lg an   holda ham  o 'rin li.
u = f ( M ) = f ( x „ x . , . . . . , x m)
 
fu n k siya 
{и} 
| м } с г )  
to 'p lam d a  b erilgan 
b o 'lib , 
xl,x2,...,xm  o 'zg aru v c h ilarn in g  
har  biri,  o 'z   navbatida, 
{jV}  ({/v}e Rk(k = 
1,2
....))  to 'p lam d a,
X, 
..,rt ),
ъ
-
р
& . Ь .- . Л  
( 2 0 3 )
Xm
 
f t )
ko 'rin ish d a 
b erilgan  
b o 'lsin . 
r = ( f , , f J e { j v } c K *  
b o 'lg an d a 
M = M(x,,x,,....,xm)<=:{M} 
deb 
q araym iz. 
N atijad a, 
har 
bir 
м (х 1,х2,...,хт )е {м}  nuqtaga,  (2 0 .3 ) form ula yo rd am id a,
"  = / (p , 
.....

 
0> ->  
9>Л‘,
 
......
tk) = F ( t )
nuqta m os q o 'y ila d i, y a ’ni  m u rakkab  fu n k siya hosil  b o 'lad i.
2 0 .2 -te o re n ia .  A g ar  
2,
(/ = 1,2,. ,.,m)  fu n k siya larn in g   har  biri 
г„ = (г,\г;’,...,г°)  nuqtada  u zlu k siz  b o 'lib ,  /(а/) = /(х,,х,,...,л„)  fu n k siya  esa, 
= 
nuqtaga mos,
m0(*0)= (*;•,*?.... ............................................................i.. 
=
р
М
л
-
х
И
nuqtada  u zlu k siz  b o 'lsa ,  и = F(t„t,,...,tt )  m u rakkab  fu n k siy a  t„ = 
nuqtada u zlu k siz b o 'lad i.
2 3 8

20.3.  Nuqtada  uzluksiz  bo‘ lgan  funksiyalarning  lokal  xossalari
и = f ( u )
  fu n ksiya  {AY}e/r  to 'p lam d a  b erilg an   bo‘ lsin.  Bu  to'plam dan 
{Af> nuqtani  olib,  uning etarli  k ich ik  atrofini  qaraym iz.

“Xossa.
  A g ar  /(A/)  fu n ksiya 
M„
  nuqtada  u zlu ksiz  b o 'lsa ,  u  holda, 
fu n ksiya 
M„
  nuqtaning etarli  kich ik atrofida ch egaralan gan  boMadi.
2-xossa.
  A gar  /(A/)  fu n k siya  M0  nuqtada  u zluksiz  b o 'lib , 
/(ay„)>o  (/(.v/)<0)  b o 'lsa, 
M„
  nuqtaning  etarli  kich ik   atrofidagi  А/ 
nuqtalarda ham  /(a/)>0  (/(ay)3-xossa.
  A g ar 
f(M )
  fu n k siya 
M„
  nuqtada  u zlu ksiz  b o 'lsa ,  AY„ 
nuqtaning  etarli  kich ik  atrofidagi  ix tiy o riy  
м ,   e { M ) ,
  Л/,  e{ M }  
nuqtalar 
uchun, 

/(a/,)-/(ay,)|< 
с
 
ten g siz lik  o 'rin li  b o 'lad i.
2 0 .4 .U z lu k siz   b o 'lg a n   f u n k s iy a la r n in g   g lo b a l  x o s s a la ri.
2 0 .4 -ta ’ rif.  A gar  shunday  с  va  с   so n lar  m avjud  b o 'lib ,  v aye 
{
m
}
uchun  c< /(л/)< с   ten g siz lik   o 'rin li  b o 'la sa , 
u =
 /(л/)  fu n k siya  shu 
[M] 
to 'p lam da 
chegaralangan
  d eyilad i.
2 0 .3 -teo rem a(B o lsan o -K o sh in in g   b ir in c h i  te o re m a si). 
u = f ( M )  
fun ksiya 
\\i)
c /г  b o g 'lam li 
to 'p lam d a  b erilgan   va  u zlu ksiz  b o 'lsin . 
A gar  bu  fu n k siya  to 'p lam n in g  ikkita 
A{a,,a2,...,aJe{M },  в{ь1,ь,,...,ьт)е
 {Л/} 
nuqtasida  har  x il  ishorali  q iym atlarg a  e g a   b o 'lsa ,  u  holda,  shunday 
C(c,.c2,....c,„)e{\f)
  nuqta  to p iladiki,  shu  nuqtada  fu n k siya  nolga  aylan ad i, 
y a ’ ni  /(c) = / ( c , , c , = o.
2 0 .4 -teo rem a(B o lsan o -K o sh in in g   ik k in c h i  te o re m a si).  » = /(ay) 
fu n k siya 
{H)<=R"‘
  b o g 'lam li  to 'p lam d a  b erilgan  va  uzluksiz  b o 'lib ,  jAY} 
to 'p lam n in g ik k ita 
л(а„а,,...,ат),  B(bl,b.,...,bm)
  nuqtasida 
/(
а
)
ф
 f(B
)  b o 'lsa ,  u 
holda, 
/(
a
)
  v a  /(e)  q iym atlar orasida  har qanday  с   son  o lin sa ham , 
\M) 
to 'p lam d a  shunday  C (c,.c.,...,cj  nuqta  to p ilad iki,  /(c) = /(c,,c,,....c„)=c 
b o 'lad i.
2 0 .5 -te o re m a  (V e y e r s h tr a s s n in g   b ir in c h i  te o re m a si). 
A gar 
u =
 /(ay
)
  fu n ksiya,  { M } c«"-chegaralan gan   yo p iq  to 'p lam d a  b erilgan  va 
u zlu ksiz b o 'lsa ,  fu n k siya shu 
\M\
  to 'p lam d a ch egaralan gan   b o 'lad i.
2 0 .6 -  te o r c m a (V e y e rs h tra s s n in g   ik k in c h i  te o re m a si).  A gar 
j
(
m
) 
fu n ksiya  ch egaralan gan   yopiq 
{M}aRm
  to 'p la m d a  u zlu ksiz  b o 'lsa,  u  shu 
to 'p lam d a o 'z in in g  aniq yuqori  ham da aniq q u yi  ch egarasiga erishadi.
20.5.  K o ‘ p  o'zgaruvchili  funksiyaning  tekis  uzluksizligi.  /(AY) 
fu n k siya 
{M)c.R'"
  to 'p lam d a b erilgan  b o 'lsin .

20 .4 -  t a ’ rif.  A g ar  v
^ > 0
  son  uchun.  shunday  s> 
0
  to p ilsak i,  {Л/} 
to 'p lam n in g 
p ( M \ M ’ ) < S
 
tengsizlikn i  qanoatlantiruvchi 
nuqtalarida
j
ten g sizlik  b ajarilsa,  /(л/)  fu n k siya 
to‘ plam da tekis  uzluksiz d eyilad i.
2 0 .4 -e s la tm a .  F u n ksiyan in g  tekis  u z lu k siz lig i  ta ’ rifid ag i  o  son 
faqat  c>o  g a b o g‘ liq   boMadi.
20.7-teorem a 
(K an to r 
teoremasi). 
A g ar 
/(л/) 
fu n k siya 
ch egaralan gan  yo p iq   to 'p lam d a  berilgan  va  u zlu ksiz  boMsa,  fu n k siya shu 
to 'p lam d a tek is  u zlu k siz b o 'lad i.
20.5-eslatm a. 
C h egaralan gan  
[M) 
to 'p lam n in g 
VA/'.We {Л/j 
nuqtalari  o rasid ag i 
p ( M ' , M ’ )
 
m asofaning  aniq  yuqori  c h e g a ra sig a   j
M)  
to 'p lam n in g diametri d eyilad i.
Natija.  A g a r 
f ( M )
 
fu n k siya  ch egaralan gan   yo p iq   to 'p lam d a 
berilgan  v a  u zlu k siz  b o 'lsa ,  u  holda  Ve>o  son  uchun  shunday  
topilib,  {л/}  to 'p la m n i, diam etri  s  dan  k ich ik  boMgan,  {м,)е{лу]{/ = 
1
,
2
,..д) 
b o 'la k la rg a   boM ganim izda.  bu  boM aklarning  har  birida  ham ,  /(л/) 
fu n ksiyan in g tebranishi  e  dan  k ich ik  boMadi.
20.8-m isoI.
 
Ushbu 
u=
  * , + > . 
fun ksiyani 
{ m } = { ( x , v ) : 0 < x : + 
v
2
 
X~   +   V
to 'p lam d a tekis  u z lu k siz lik k a tekshiring.
Yechilishi.  B erilgan   fu n ksiyan in g  surati  .r3  + y 3  va  m axraji  x 2  + y 2 
{m} 
to 'p lam d a 
uzluksiz. 
D em ak, 
fu n k siya 
{m} 
da 
u zlu k siz 
(
0
(
0
,
0
)€ {a/}),  {m} 
to 'p lam   yo p iq   to 'p lam   em as.  Sh un in g  uchun,  bu 
holda  Kantor  teorem asini  q o 'lla b   b o 'lm a y d i,  lekin  «(*,>■)  fu n ksiyani 
0
(
0
,
0
)  nuqtada  q ayta  an iq lasak ,  y a ’ ni  г/(0;0) = 0  desak,  u  holda  u(x,y) 
fu n ksiya 
0
(
0
;
0

nuqtada 
u zlu k siz 
b o 'lad i. 
H aqiqatan 
ham , 
x = pcosp, у —
 psin
  alm ashtirishni  o lsak,  x - » o ,y - » o   da  p -* 0 ,  y a ’ ni 
iimu(.r,y) = lim«(pcosp,psinp) = limp = 
0
  Sh un day  q ilib ,  г/(дг,у)  tu n k siyan i
>•-*0 

P
0
(
0
.
0
)  nuqtada  q a y ta   an iq lasak ,  y a ’ ni  г/(0;0) = 0  desak,  u  holda  b erilgan 
fu n k siya  {л7}= {(x,j-):xJ +y2 <
1
}  yo p iq  to 'p lam d a  u zlu ksiz  b o 'la d i.  D em ak, 
Kantor  te o rem asig a  asosan,  b erilgan   fu n k siya,  m arkazi  0(0;0)  olib 
tashlangan  {л/}-  doirada, y a ’ ni 
[
m
]
 
to 'p la m d a tekis u zlu k siz  b o 'la d i.
2 0 .9 -  m iso l  U shbu  
= f ( x , y ) = a r c s m
-   fu n ksiyan i an iq lan ish  sohasida
tekis  u z lu k siz lik k a  teksh irin g.
Yechilishi.  B erilgan   fu n k siyan in g an iq lan ish  sohasi:
240

{М}={(х,у):|л-|<|у|, у*о}.
Bu  sohada 
f ( x , v )  = a r c s i n -
 
fu n k siya  u zlu k siz  fu n ksiyalarn in g
V
su p erp o zisiyasi  sifatida,  uzluksiz.  Endi  bu  fu n k siyan i  {
m
}  sohada  tekis 
u z lu k siz lik k a tekshiram iz:  M
и ,
(n = i,2.~)  nuqtalar uchun
n  n) 
\n  n
r f w e h l H H W l  
4 s *
i - i U
i . r
II  n) 
\n  П)
F u n ksiyan in g bu  nuqtalardagi  q iym atlari,
|н(ЛУ„)-н(л/’,)| = |a/rsm 1 -a rc s in (-1 )|  = 2 a/ rsin  I  = 
ж >
  1  = 
e
m unosabatni  qanoatlantiradi, y a ’ ni  20.4- ta ’ rifn in g sharti  b ajarilm ayd i. 
D em ak,  berilgan  fun ksiya  \M}  to 'p lam d a  tekis  u zlu k siz em as.
M ustaqil yechish  uchun  m isollar
Q u yid agi  fu n k siyalarn in g u zilish   nuqtalarini  toping:
2 0 .3 . u = 
1п (9 -л г  - y J )  
20.4.  u '
XV 
X
 + 
у
x
 
™   ^  
1
20.5.  « = 
S i n - .  
20.6.  Sill -
xy
Q u yidagi  fu n k siyalarn in g  ham m a  uzilish   nuqtalarini  toping  va  ular 
ich ida  ik k ala  argum ent  b o 'y ic h a   y o 'q o tilish i  m um kin  b o 'lgan   uzilish  
nuqtalarini  ko 'rsatin g:
20.7.  u = 
20.8.  u - f ^ r .
X- +V 
x + y
20.9.  u --
1

.3
— 
— . 
x
 + 
у  Ф
 0 
b o ' \gan da,
x + y
3, 
x
 + v = 0 
bo' \ganda
20.10. 
U
-----
7
----
!---- -

.  2 0 .1 1 . 
U
  = 
j r s i l l  

  ; Л -
SHTX + SHTV 
X'  + у
20.12.  H=  sin  * SI1? -
sin 
x
 + sin ”  V
( 1  
(-f: + J '2
- l ) sin1
----- J------r ,  
x 2 + y 2  *\bo'\%anda,
Z U .  I  J .  
U
  = 

I — X   —
  V
[o. 
x 2 + y 2  =
 1 
bo' \ganda.
Q u yidagi  fun ksiyalarn i  k o 'rsa tilg a n  nuqtalarda har bir argum enti
v;i  ham m a argum entlari  b o 'y ic h a  b ir y o 'l  u z lu k siz lik k a tekshiring:
241
1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling