A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


*» ek an lig in i  k o ‘ rsating. 2 1 .8 4 .  /  va  g - x   v a  v  ning shunday  fu n ksiyalard an   iboratki, =  v a  =


Download 9.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet31/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   27   28   29   30   31   32   33   34   ...   39


ek an lig in i  k o ‘ rsating.
2 1 .8 4 .  /  va  g - x   v a  v  ning shunday  fu n ksiyalard an   iboratki,

v a 
= 
m unosabat o ‘ rinli  bo‘ lsin.  F araz q ila v lik ,
dx 
cx  dy
— = 0, 
/ ( i,2 ) = g ( i,2 )  
= 5  va  /(o,o) = 4 b o ‘ lsin.  U  holda,  f(x, v)  v a  g(x, v)  lam i 
ax-
toping.
2 1 .8 5 .  B irin ch i  tartibli  x u su siy  ho silalardan   —  = i+ excosv  va
dx

 

2y-e*
sin v 
ham da 
(in2,o) 
nuqtadagi  q iym atin i 
2 + in 2  
g a t e n g   bo‘ lgan
dy
(/(in2,o) = 2 + in2),  w=f(x,y)  funksiyani  toping.
2 1 .8 6 .  A g a r  u = f{x,y,r)  fu n k siya  biror  E  sohada  d ifferen sialla­
nuvchi  bo‘ lib ,  x— +v— + :— = pu  tenglam ani  qanoatlantirsa,  u  holda.
dx 
dy 
dz
uning  p -  d arajali  b irjin sli  fu n k siya bo‘ lishini  isbotlang.
21 .8 7 .  A g a r  u = f(x,y,z)  fu n k siya  biror  E  so h ada  ik k i  m arta 
d ifferen siallan u vch i  bo‘ lsa,  u  holda,
i x i x + yi
+ : i ) u = p {p ~l)“
ten g lik n in g o ‘ rin li  ekan ligin i  isbotlang.
2 1 .8 8 .  U shbu  u = xyy x  fu n k siya  x— +y— ={x+y+\nu)u  tenglam an i
dx 
dy 
~
qano atlan tirish in i  isbotlang.
2 1 .8 9 .  U shbu  « = 
fu n k siy a 
=o  tenglam ani
z - t  y - z  
dx  dy  dz  dt
qanoatlantirishni  isbotlang.
266

Q u yid agi  fun ksiyanin g  м 0  nuqtada  м^м  y o 'n a lish   b o 'y ic h a  
hosilasini  toping:
2 1 .9 0 ./(лг,у) = 5х + 10х2у + / .   ЛЛ,(1,2),  Л/(5,-1)
2 1 .9 1 . 
f ( x , y )  = xy 2: \
 
M0 (3,2,l),  A/(7,5,l).
2 1 .9 2 . 
f ( x , y ,
r) = arcsin 
,  M„(\, 1, l),  M(l,  5,4).
V-v! + y !
21.93.  Ushbu 
f ( x , y )  

lx* 
+y' 
+x)>
 
fu n ksiyanin g  M0(l,2)  nuqtada, 
Ox 
o ‘ q  bilan  135'  burchak  tashkil  qilgan  nurning  y o 'n a lish i  b o 'y ic h a 
hosilasini toping.
21.94.  Ushbu 
f ( x ,
v)=
w a g  
  funksiyaning 
x2 + y 2 =2x
 
aylan an in g
X
'U" ( i ’ ~2^)  nuclta s‘8a  o 'tk az ilg an   tashqi  norm alning  y o 'n a lish i  b o 'y ic h a
hosilasini  toping.
21.95.  Q u yidagi 
f ( x , y , : ) =
\n{e'+ey +e')  fun ksiyanin g  л/„(о, 
0

0
)
nuqtada, 
Ox, Oy,
  Or 
koordinatalar  o 'q lari  bilan,  mos  ravishda, 
v a  
j
burchaklam i  tashkil  q ilgan  nurning y o 'n a lish i  b o 'yich a hosilasini  toping.
2 1 .9 6 -2 1 .9 7 -  m isollarda  berilgan  
f ( x , y )
 
funksiyaning  ^ n u q tad a 
kam ayish   va  o 'sish   y o 'n alish larin i  toping  va  har  bir y o 'n a lish   b o 'yich a 
hosilasini  toping.  Shuningdek, 
f ( x ,
 
1
)  funksiyaning 
p„
 
nuqtada  v  vektor 
y o 'n a lish id a g i  hosilasini toping.
21.96. 
f { x , y )
 
= cos
x
 
cosy, 
v=3/ + 4y.
21.97. 
f ( x , y , : )  
= ln(2.r + 3y + 
6 r), 
/>
„(-l,-l.l),  v = 2 i + 3 j+6k .
Q u yidagi  sk a lar m aydonning berilgan  nuqtadagi  gradientini toping:
21.98.
 
u ( x , y )  = x 2
-2лу + Зу-1, 
g r a d u
 
= ?
21.99.
 
u ( x , y )  =
 
5д.-:у-З ху3 +y4, 
g r a d u
2 1 . 1 0 0 .  
и = x 2 + y 2,  g i dadu\^
 
= ?
21
. 1 0 1 .  
и = yj4 + x2
  + у : . 
gradu\^
  ^  = ?
21
.
102
.
  u  = 
arctg—

gradu\v
 
= ?
21.103.  о = 
a r c t g -
 
sk a ly a r m aydonning  (i; l)  va  (-i;-i)n u q ta la rd a g i 
gradientlari  o rasid agi  burchakni toping.
21.104. 
r, 
=ylx2 +y2,  : : =x-3y+yl3xy 
fu n k siyalam in g  
(3. 4) 
nuqtadagi  gradientlari  o rasidagi  burchakni  toping.
267

21 .105.  grad(
  tenglikn i  isbotlang.
21.106.
 
г  = f>(u,v), 
и = ч/(х,у),  v = 
L(x.y) 
fu n k siy a lar  b erilg an d a,
grad:  = — gradu+— gradv  te n g lik n in g  to‘ g ‘ riligin i  ko ‘ rsating.
du 
8v
2 1 .107-21.111  m iso llard a fu n ksiyan in g orttirm asini  uning 
d ifferen sialig a alm ash tirib , q u yid a  berilgan  ifodalarni  ta q rib iy h iso b lan g:
2 1.10 7 . 
(l,0 2 )J 
“ . 
2 1 .10 8 . 
7 ^ ,0 4 ’ 

6,032 
.  2 1 .10 9 . 
(1,02)’  (0,97); . 
2 1 .1 1 0 . 
s in 3 2 °c o s59°. 
2 1 .1 1 1 . 
ln(o,9J + 0,99’ )  
2 1 .1 1 2 . 
^ 2 ,0 3 : +5e°-o :.
M ustaqil yechish  uchun  m isollarning ja v o b la ri 
2 1 . 1 .   u  -  
2x +
 6
x y 3,
  u,  -  3 y 2  + 
9x~
  + y " .
21.2.  „■  = 
2L**L.
v* 
v
2 1 .3 . 
ux  =
 >r + — ,  w'  = XT—
, wj  = ДГ); 

г-• 2 1 .4 . 
=>-cos(x)’ + >r),
vr 
v  г 
vr
и
  = (x + r )  cos  (x y + y r ), 
u,   =  v -
 cos(xy + y r ) .
21.5. 
u ^ = —
£
-------^ + fg (x + y )  COS'(x + yj 
V

+ v)ex/,{ -  -4-] -21.6.  u\ =— 
co s—cos — + -A rsin—  s in —,
2 / 

о 
\л  J r-
(x + y) 
V,  V

V
X  
X
—  co s—co s-
5—— s in —s i n i .  
21.7.  ux 
= e '( x s i n y  + s in y  + co sy), 
y ‘  
у  
x  
x  
у  
x
u f  =
 
e '( x c o s v - s i n v ) .  
2 1 . 8 .  

y x ’" '

u\ .   =   x y   ■
 
In 
X
 .
2 1 .9 .  И, =, ^ Г ‘ . ( _ 4 ]  = _ £ Ш ,  H;, = £ ( Z j , „ ;= (£ )
Vxj 
v  x  ) 
xyxj  
y\ xj 
yxj 
x
2 1 .1 0 .1 1 '= -  

2r
■Jx2 + y 2 
'
 
У-/
y^x‘ + y
n  

 
x y - J l x
2  - 2 v : 
vx'-j2x'-  +2
y :
2 M L  
' ! * < - / )   ■ 
I * ' - » ' )   '
21.12. 

sin2xlng(l +sin- x)'"1 
u,  = —
(l + sin2 x)1”  ln(l

sin2 x)
21.13. 
иx = xy~'y:*'zx +xyy z: ‘  Inr, 
«/, =xV :“ ln i-n V ':‘ 
«' = x'W  Iny + Л ' : - 1.  21.14.  & = cos# + sin$,  — = -/-sin
d r  
86
7 1   9 1  
s/   _ _   1  • 
L ? 1   1 ft 
d P  = R l . 8 p _ = n T .

‘  ЭЯ, 
/?,2  ’  o/?2 
Я ,2  ’ 
dR, 
R 2 ' 
'
 
'  
dn 
V  ’  dR 
V 
ЭР 
nR  d P  
nRT 
8T ~   V  ’  dV 
V2  '
21.17.  «:(1;1)=1,  «•(l;l) = -2,21.18.U;(l;2) = i   H
;(l;2) = - i

6
268

2 1 .2 1 .
 
u^(0;0) = 0,  u,  = (0;0) = 0. 
F u n ksiya 
0
(
0
:
0

nuqtada 
d ifferensiallanuvchi  em as.
21.22.
 
«,(0:0),  uj(
0
:
0
)la r  m avjud  em as, 
u(x,y)
 
fu n k siya  0
( 0 ; 0 )  
uuqtada differensiallanuvchi.
2 1 .2 3 .
 
ц^(0;0) = uj (0:0) = 0;  u(x,y) 
fu n k siya 
0(0;0) 
nuqtada 
differen siallan uvch i. 
2 1 .2 4 . 
u^(0,0) = u^(0,0) = 0; 
u{x,y)
 
fu n ksiya 
0 (0 ;0 ) 
nuqtada diferensiallanuvchi  em as.
2 1 .2 5 .
 
и'(о,о) = иДо,о) 
= 0;н(х,у) 
fu n k siya 
0
(
0

o) 
nuqtada 
differensiallanuvchi.
2 1 .2 6 .
 
uj(o,o) = uv(o,o); 
u(x,y)
 
fu n k siya 
0
(
0
;
0

nuqtada 
differen siallan uvch i. 
2 1 .2 7 . 
»'(o,o) = h)(o,o); 
u ( x , y )
 
fu n k siya 
0
(
0
;
0

nuqtada differen siallan uvch i. 
2 1 .2 8 . 
a)
 
0; 
b)  2.
2 1 .2 9 . 
a

0, 
b)
 

2 1 .3 0 . 
Noto‘ g ‘ ri. 
2 1 .3 1 . 
Noto‘ g ‘ri
(//>1 
bo‘ lgan d a). 
2 1 .3 2 . 
To‘ g ‘ ri. 
2 1 .3 3 . 
Noto‘ g ‘ ri  (n>\
hoM ganda). 
2 1 . 3 4 .
'N oto'g'ri. 
2 1 .3 5 . 
T o 'g 'r i. 
2 1 .3 7 .
(Xx1 
- 6xi2 
+ 3x2}>)dx 

{x1
 - 6
x 2y)d y.
  2 1 .3 8 . 
4 ( y ’  + 2 x 2y

з ) ( 4 :т а !х  + (3 у !  + 2 x 2)dy).
2 1 .3 9 . 
2 1 .4 0 . 
v{x2  + v 2y 2(,vdx-xdy).
X}> 
{ x  
у   J
vdv
21.19. 
ur (l;l) 

\-n, 
uy(l;l) 


-  
я .  21.20. 
uI(l;-l) 

2, u j(l;-l)=  
1.
21.41. 
2~y'x —j - ( y d x - x d v ) .
 
21.42.  4=

V > ’
dx +
x + J x 2
  + 
у 2
21.43.  ^ c g ^ l d x - Щ ы .   21.44.
J y  
J y \
 
2у  

x2 + y 2
21.45. 
(l + xy)1’1 
( y 2dx 

(xy
 
+ (l + xy)ln(l + 
xy ) ) dy )

21.46. 
a ) d x - d y , b )
 
0.
21
.
47

i  
dx
1
21.48. 
du\N
 = - s in  x (y  + r ) ■
 [(.v + 
r)dx
 + 
xdy
 + 
xdz],  du\x = ~ ~ - ( ~ d x  + d y  + d :
  I.

13 
v» l L,
21.49. 
du[{ = e xy(ydx + xdy),  du^ =
 
0 .]21.50. 
du[t
 
= x ’ 
dx
 + In x 
d y j ,  
d u
= 12dy.
 
21.51. 
du\v =
 (l + l n x y ) *  + — 
dy,   du[u  =dx+dy .
21.52.  du[=-\d=.  21.53.  dul = -^(2dx + 3dy-l2±).
21.54.  £/„|M = (2dbc + 
ln4
2 1 .5 5 ./ ; = 2x/;,  /;=ev.~-2 1 .5 6 ./ >  
f
+y2 
/;,  /; = 
2x}--

W + x y 2)2
 

\(x  + xy
  )
269

21.57. 
f t =
I + (x + 
111
 
y )
/; =
y(l + (x + lny)J)
/.'•
21 .5 8 . 
>’- ^ r   /„<&+
21.59.rfp =  2xf'v -
(x  + y )
( ”
t
>>■
• ' • M s
(X+y)
21 .6 0 .  dtp 
=(2x
 
+ /J + yr/'J, )cfo + (2y /„ +/„' + 
xr/„,)c/v 
+ (2r/„ 
+yx/^,)at.
= -1.  2 1 .6 6 .  ^ U „ 0) = 2 ; f '
r>i* * 
 
Яс
21.61.
dt
21 .6 7 .  i t
dt
/>1  y-o 
d w  
d w
  sincr  dll’
i i . o o .   —  = cosox 
d r  
г  
дет
= -(s in  l + c o s 2 )sin l + (co sl + co s2 )co s! + 2 (sin ! + c o sl)sin 2 .
d w  

d w
 
coscr 
c w
—  = sin o’ —  + -------------.
8v  
d r  
r   d a
2 1 . 6 9 .  —
= 0,  dW
dt
dt
-o.  2 1 .7 0 .  —  = 1,  dw 
dt
= 1
21 .7 1 .  —  = arctgt +1,  C
tt-L 
dt 
dt
dt

 к +1.  2 1 .7 2 .  2!L\
dr
=  12.
2 1 .7 3 .  £ £
du
21.74.
du
= - 7 .
,»Ц0: 0)
ЭИ''
= 1.  21.84. 
f ( x ,
 y )  

i  
+ 4; 
g (x , y )  

|  
+
1  

2 1 .8 5 . 
n =  / ( x ,y ) = x  + y J  + e ' c o s y .  
2 1 .9 0 .-1 8   2 1 .9 1 .  Ц-.  2 1 .9 2 .  i
2 1 .9 3 . 
- Д   21.94.
^L.  21.95.
y o 'n a lish d a  
o ‘sad i, 
42
л/2  r  V 2-
---- 1 + — /
2
 
2
y o ‘ nalishda 
k am ayad i.
7  -* 
V
— ,U
l
 = —
io 
h
2 1 .9 7 . 
« = — /+— /+—

y o ‘ n alish d a 
o ‘ sad i; 
- u   = - - i - - j - - k
7  


1
1
1
y o ‘ n alish d a 
k am ayad i; 
/  
P0 ; u  
I = 
7 ; /   p 0; - «   = - 7 ;  
/   />;И,  = 7 ; u , =
2 1 .9 8 .  grcafo  |M(l.j.) = 
2 (x -  
y) i + 
(3 -  2 x ) у
21 .9 9 . 
grarfw  |M,  .  = ( l 0 x y - 3 y ’ ) i  + ( 4 y 3 
- 9 x y ' )
 j  
21 .1 0 0 . 
grarfw|(;  2)  = 6  i + 4  j
21
.
101

gradu|(2. 0  = J  i + y  j .  
21
.
102

gradu|( l l ) :
1 ■?  1 -  
— l + — I. 
2
 
2
270

2 1.10 2 .р  = я\  2 1.10 7 . 
1
,
08
.  2 1.10 8 .  10,05.  2 1.10 9 .  l.oo.  2 1 .1 1 0 .  -0,03. 
2 1 . 111.  0,273,2 1 . 112.  3,037. 
22 
-§.  К о‘ р o'zgaruvchili  funksiyaning yu q ori  tartibli xususiy 
hosilalari va  differensiallari
22.1. 
Y uqori  tartibli  xususiy  hosilalar. 

= f(x„x2,...,x„)=f(M) 
f u n k siy a   {Л/}сЯ“  ochiq  to 'p la m d a   b e rilg a n   b o 'lib ,  u n in g   har  bir 
м(х1,хг,...,ха) 
n u q ta sid a  
x u s u s iy   h o sila la r g a   e g a   b o 'lsin .  Bu
x u su s iy   h o sila la r,  o ' z   n av b atid a, 
xl ,x2,...,xm
 
o 'z g a r u v c h i l a m i n g   fu n k s iy a s i 
sifatida,  {M)  to 'p la m d a   a n iq la n g a n   b o 'lsin .
(/ = 
1,2,...„иг) 
f u n k s iy a   ham ,  biror  Me\M)  n uqtada  xk  a rg u m en t
b o 'y ic h a   x u s u s iy   h o sila g a   e g a   b o 'lis h i  m u m k in .  Bu  xk  a rg u m en t 
b o 'y ic h a   x u s u s iy   h o sila-  b e rilg a n   u = f(x ux2,...,x„)  fu n k s iy a n in g   ikkinchi 
tartibli  xususiy  hosilasi  d e y ila d i  v a   u 
а'“ 
/<;>, 
(, = 
i,
2
,...,m; 
* = 
1,2
...
dxkdxl
 
x,t* ’  AA
kabi  b e lg ila n a d i,  bunda,  i* k   b o 'ls a ,  u  hold a, 
u 
x u su s iy   h o silag a,
dxt dx,
aralash   xususiy  hosila  d e y ila d i,  * = /  b o 'lg a n d a  
8  "  = f"  deb  yo z ish
8xt dxt
o 'r n ig a ,  —“  = f :   kabi  y o z ila d i .  X u d d i  sh u n d ay ,  f(x„x2,...,x j  f u n k s iy a n in g
OXk
u chinchi,  to 'rtin ch i,  v a   x ok azo ,  tartibli  x u s u s iy   h o sila la rin in g   t a ’ rifi 
b eriladi.  /(.r,,.r.,...,xj  f u n k s iy a  
a rg u m en tlari  b o 'y ic h a  
( « -
1
)-
tartibli  x u s u s iy   h o s ila la r g a   e g a   b o 'lsin .  Bu 
( « -
1

tartibli  x u s u s iy
h o sila la r h am , 
m
(
x

x
2....,x:,)e\Ki\  n u q tad a  ,r,_  a rg u m e n ti  b o 'y ic h a   x u su siy
h o sila g a   e g a   b o 'lsin .  Bu  h o sila, 
и
 / ( * , , * . . . . . . f u n k s iy a n in g   .r,  ,x,.,...,,r,
argum entlar  b o 'y ic h a 
м  
nuqtadagi 
n-tartibli  xususiy  hosilasi 
d eyilad i. 
Sluinday  q ilib , 
x,i ,x,t ,...,xm_i ,xm
 
argum entlar  b o 'y ic h a  n-tartibli  xusu siy 
hosilani,
______
сГм
______ _ 
d  
(  
8 " ~ ' u
 
'j
дхтдхт-\,—>дх,.дх^ 
8xm 
dxt dx^ j
kabi  yo zish   m um kin.  A g ar 
....i„  indekslarning  ham m asi  birdaniga bir-
b irig a   teng  b o 'lm a s a ,  u  h o ld a  -----— -----  x u s u s iy   h o sila  n-tartibli
Sxm...dxl dxH
iiralash xususiy hosila  d e y ila d i.
271

22.1-m isol.  Ushbu 
/ ( x ,y ) = ln ( x 2 + y 2) 
fu n k siya  ?LL + ?-/- = o  ten g la-
5x‘ 
d y
*
m ani  qano atlan tirish in i  k o 'rsatin g.
Yechilishi. 
B erilgan   fu n k siyan in g 
*  va 
у
 
bo‘y ic h a   ikkinchi 
tartibli  x u su siy   h o silalarin i topam iz:
d f ( x , y ) _ 
2x 
d f ( x . y )  
2 у
dx 
x 2 + y 2 
d y  
x 2  + y 2  '
8 2f ( x , v )
  _ 
2 ( y 2 - x 2) 
d 2/ ( x , y ) _ 2(x2 - y 7)
д х 2 
( x2 + y 2) 2 ’ 
d y 2 
( x7 + y 2) 7
^ 2  r  
2  r
-j^-+—~- = 
0
 
te n g lam ag a  ikkin ch i  tartibli  x u su siy  h o silalarn i 
k eltirib  q o 'y a m iz :
d 2f ( x , y )   8 ‘ f ( x , y )  
2 ( y 2 - x 2) 
2( x2 - y 2)
dx2 
8)’2 
( x2 + y 2) 2 
(x
 2 + y 2) 2
D em ak,  b erilgan   fu n k siya tenglam ani  qanoatlantirar ekan.
22.1-teorem a. 


f ( x , y
)  fu n k siya 

M \ a R 2 
ochiq  to‘ p lam da 
an iq lan gan   boMib,  shu  to ‘ plam da 
/ ',  
f'„ J ' „
 
x u su siy  h o silalarg a  e g a  
bo‘ lsin.  A g ar  aralash   h o silalar 
M t, (x„, y0) e  {M}
 
nuqtada  u zlu k siz  bo‘ lsa,  u 
holda,  shu nuqtada,
/*(.*о,Уо) = f „ ( x 0, y 0)
bo‘ ladi.
22.2-misoI.
 
U sh b u
f ( x ,
_v) = * 2
- 2 x y 2
 
fu n k siyan in g  ikkin ch i  tartibli 
x u su siy  h o silalarin i  toping  ham da  ?-£- 
v a 
aralash   x u su siy
д хд у  
д удх
h o silalarn in g  o ‘ zaro ten g ligin i  ko ‘ rsating.
Yechilishi.  B erilgan   fu n k siyan in g birinchi  va  ikkin ch i  tartibli 
x u su siy  h o silalarin i  topam z:
f x
 (x, y )  
= 2 x -  2 y
2,  /,;  = 
-Axy,
f ' s
 (*. J ’) = 2. 
f'y,
  = 
-Ax,  f [ y (x,
 y )  = 
-Ay,
  / J,  = 
-Ay.
22 
r  
rs

r
Endi,  aralash   x u su siy  h o silalarn i  —— =——  te n g lik k a keltirib
дхду  
дудх
q o ‘ yam iz :
e2f   = d2f   _  u
дхд у  
дудх
22.3-m isol.  Ushbu 
u = a r c t g -
 
fu n ksiyan in g  ikkinchi  tartib li  x u su siy
V
h o silalarin i toping.
Yechilishi.  B irin ch i  va  ikkin ch i  tartibli  x u su siy   h o silalarn i 
topam iz:

ди 

ди
дх 
х2
  + 
у 2 
д у  
х 2  + у 2  ’ 
д 2и  _  х 2  + у 2 
д 2и 
2ху 
& а Г ( х 2+у: )”   ^ Г " " ( х 2+У3)2 
д 2и
  _ 
х 2 -  у 2 
д 2и 

д удх
 
(х 2  + 
у
2)" 
Ф ’2 
(х ! 
+ у 2)2
л2 
л2
Bu  m isolda  —   va  — -  aralash  x u su siy  h o silalar  b ir-b iriga  teng.
cW x 
5xdy
U m um iy  holda.  bu  aralash  x u su siy  h o silalar  b ir-b iriga  teng  boMmasligi 
ham  m um kin.
Misolni Maple tizimidan foydalanib yechish:
>

Katalog: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r

Download 9.01 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   27   28   29   30   31   32   33   34   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling